高三數(shù)學(xué)理高考二輪復(fù)習(xí)專題學(xué)案系列課件：專題四數(shù) 列新人教版學(xué)案14 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

1.1.數(shù)列通項的求法數(shù)列通項的求法, ,由遞推關(guān)系式確定數(shù)列的通項由遞推關(guān)系式確定數(shù)列的通項. .2.2.數(shù)列的性質(zhì)、通項、求和數(shù)列的性質(zhì)、通項、求和. .3.3.數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程. .4.4.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. . 學(xué)案學(xué)案14 14 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 1.(20091.(2009四川四川) )等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的公差不為零的公差不為零, ,首項首項a a1 1= = 1, 1,a a2 2是是a a1 1和和a a5 5的等比中項的等比中項, ,則數(shù)列則數(shù)列 a an n 的前的前1010項之和項之和 是是 ( )( ) A.90 B.100 C.145 D.190 A.90 B.100 C.145 D.190 解析解析 由題意知由題意知,(,(a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+4+4d d),),即即 d d=2=2a a1 1=2.=2. S S1010=10=10a a1 1+ =10+90=100. + =10+90=100. ,421212121daaddaad2910B B2.(20092.(2009安徽安徽) )已知已知 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5=105, =105, a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6=99,=99,以以S Sn n表示表示 a an n 的前的前n n項和項和, ,則使得則使得S Sn n達到達到 最大值的最大值的n n是是 ( )( ) A.21 B.20 C.19 D.18 A.21 B.20 C.19 D.18 解析解析 (a a2 2- -a a1 1)+()+(a a4 4- -a a3 3)+()+(a a6 6- -a a5 5)=3)=3d d, , 99-105=3 99-105=3d d,d d=-2.=-2. 又又a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5=3=3a a1 1+6+6d d=105,=105,a a1 1=39.=39. S Sn n= =nana1 1+ + =- =-n n2 2+40+40n n=-(=-(n n-20)-20)2 2+400.+400. 當(dāng)當(dāng)n n=20=20時時, ,S Sn n有最大值有最大值. . ndanddnn)2(22) 1(12B B3.(20093.(2009江西江西) )公差不為零的等差數(shù)列公差不為零的等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項項 和為和為S Sn n, ,若若a a4 4是是a a3 3與與a a7 7的等比中項的等比中項, ,S S8 8=32,=32,則則S S1010等于等于 ( )( ) A.18 B.24 C.60 D.90 A.18 B.24 C.60 D.90 解析解析 由由 得得( (a a1 1+3+3d d) )2 2=(=(a a1 1+2+2d d)()(a a1 1+6+6d d).). d d0,20,2a a1 1+3+3d d=0. =0. S S8 8=8=8a a1 1+ + d d=32,2=32,2a a1 1+7+7d d=8. =8. 由由得得 S S1010=-3=-310+ 10+ 2=60. 2=60. ,7324aaa256, 2, 31da2910C C4.(20094.(2009湖北湖北) )古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)各種形狀來研究數(shù), ,比如比如: : ( )( ) 他們研究過圖他們研究過圖(1)(1)中的中的1,3,6,10,1,3,6,10,由于這些數(shù)能由于這些數(shù)能 夠表示成三角形夠表示成三角形, ,將其稱為三角形數(shù)將其稱為三角形數(shù); ;類似的類似的, ,稱圖稱圖 (2)(2)中的中的1,4,9,16,1,4,9,16,這樣的數(shù)為正方形數(shù)這樣的數(shù)為正方形數(shù). . 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( )( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析解析 由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項a an n= = 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項b bn n= =n n2 2, ,只只 有有1 2251 225滿足滿足a a4949= = =b b3535=35=352 2. . ,2) 1( nn25049C C題型一題型一 數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用【例【例1 1】設(shè)】設(shè)p p、q q為實數(shù)為實數(shù), , 是方程是方程x x2 2- -pxpx+ +q q=0=0的兩個的兩個 實根實根. .數(shù)列數(shù)列 x xn n 滿足滿足x x1 1= =p p, ,x x2 2= =p p2 2- -q q, ,x xn n= =pxpxn n-1-1- -qxqxn n-2-2 ( (n n= = 3,4,). 3,4,). (1) (1)證明證明: : (2) (2)求數(shù)列求數(shù)列 x xn n 的通項公式的通項公式; ; (3) (3)若若p p=1,=1,q q= ,= ,求求 x xn n 的前的前n n項和項和S Sn n. . 、;,qp41(1)(1)證明證明 由求根公式由求根公式, ,不妨設(shè)不妨設(shè) , ,則則.2424,2424,24,24222222qqppqpppqppqppqppqpp(2)(2)解解 設(shè)設(shè)x xn n- -sxsxn n-1-1= =t t( (x xn n-1-1- -sxsxn n-2-2),),則則 x xn n=(=(s s+ +t t) )x xn n-1-1- -stxstxn n-2-2, ,由由x xn n= =pxpxn n-1-1- -qxqxn n-2-2, ,得得 消去消去t t, ,得得s s2 2- -psps+ +q q=0,=0,s s是方程是方程x x2 2- -pxpx+ +q q=0=0的根的根. .由題意可知由題意可知 當(dāng)當(dāng) 時時, ,此時方程組此時方程組,1111tstsqstpts或的解記為).(),(211211nnnnnnnnxxxxxxxx,qstpts.,21ssx xn n- -t t1 1x xn n-1-1 、 x xn n- -t t2 2x xn n-1-1 分別是公比為分別是公比為 的的等比數(shù)列等比數(shù)列. .由等比數(shù)列的性質(zhì)可得由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 兩式相減兩式相減, ,得得 ).(,)(.)(,)(.,.)()()(1111222122221212221222122121nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxpxqpxxxxxx即.)(,)(21212121nnnnnnxxxxxxxx21,ss當(dāng)當(dāng) 時時, ,即方程即方程x x2 2- -pxpx+ +q q=0=0有重根有重根, ,p p2 2-4-4q q=0,=0,即即( (s s+ +t t) )2 2-4-4st st=0,=0,得得( (s s- -t t) )2 2=0,=0,s s= =t t. .不妨設(shè)不妨設(shè)s s= =t t= = 由由可知可知,).(),(,11nnnnnnx綜上所述.1. 1, 1,)(111112121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxaxxxx為公差的等差數(shù)列是以數(shù)列即得等式兩邊同時除以即(3)(3)解解 把把p p=1,=1,q q= = 代入代入x x2 2- -pxpx+ +q q=0,=0,得得 x x2 2- -x x+ =0,+ =0,解得解得 4141.21.)21)(3(3)21()21(2)21(1)21()21(3)21(221)21(1)21()21(3)21(221)21()21()21(21,)21()21(1323232nnnnnnnnnnnnnnnnSnx【探究拓展探究拓展】本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列求】本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列求 和以及數(shù)列與方程的綜合題和以及數(shù)列與方程的綜合題, ,考查學(xué)生分析問題、解考查學(xué)生分析問題、解 決問題以及推理論證的能力決問題以及推理論證的能力. .變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原 點點, ,其導(dǎo)函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)為f f( (x x)=6)=6x x-2,-2,數(shù)列數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, , 點點( (n n, ,S Sn n)()(n nNN* *) )均在函數(shù)均在函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象上的圖象上. . (1) (1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項公式；的通項公式； (2)(2)設(shè)設(shè)b bn n= = T Tn n是數(shù)列是數(shù)列 b bn n 的前的前n n項和項和, ,求使得求使得T Tn n 對所有對所有n nNN* *都成立的最小正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)m m. . ,31nnaa20m解解 (1)(1)設(shè)二次函數(shù)為設(shè)二次函數(shù)為f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx( (a a0),0),則則f f(x x)=2)=2axax+ +b b，由于由于f f(x x)=6)=6x x-2-2得得a a=3,=3,b b=-2,=-2,所以所以f f( (x x)=3)=3x x2 2-2-2x x. .又由點又由點( (n n, ,S Sn n)()(n nNN* *) )均在函數(shù)均在函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象上，的圖象上，得得S Sn n=3=3n n2 2-2-2n n. .當(dāng)當(dāng)n n22時時, ,a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1=(3=(3n n2 2-2-2n n)-3()-3(n n-1)-1)2 2-2(-2(n n-1)=6-1)=6n n-5-5；當(dāng)當(dāng)n n=1=1時時, ,a a1 1= =S S1 1=3=31 12 2-2=6-2=61-5=1.1-5=1.所以所以a an n=6=6n n-5(-5(n nNN* *).). (2)(2)由由(1)(1)得知得知因此因此, ,要使要使 ( (n nNN* *) )成立成立, ,m m必須且僅需必須且僅需滿足滿足 即即m m1010，故滿足要求的最小正整數(shù)，故滿足要求的最小正整數(shù)m m為為10.10. ).1611 (21)161561()13171()711(21),161561(215) 1(6)56(3311nnnbTnnnnaabniinnnn故20)1611 (21mn,2021m題型二題型二 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用【例【例2 2】(2009(2009江西江西) )各項均為正數(shù)的數(shù)列各項均為正數(shù)的數(shù)列 a an n,a a1 1= =a a, , a a2 2= =b b, ,且對滿足且對滿足m m+ +n n= =p p+ +q q的正整數(shù)的正整數(shù)m m, ,n n, ,p p, ,q q都有都有 (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a= ,b= = ,b= 時時, ,求通項求通項a an n; ; (2) (2)證明證明: :對任意對任意a a，存在與，存在與a a有關(guān)的常數(shù)有關(guān)的常數(shù) 使得對于使得對于 每個正整數(shù)每個正整數(shù)n n, ,都有都有.)1)(1 ()1)(1 (qpqpnmnmaaaaaaaa,.1na2154(1)(1)解解 由由將將a a1 1= ,= ,a a2 2= = 代入上式化簡得代入上式化簡得 故數(shù)列故數(shù)列 為等比數(shù)列，從而為等比數(shù)列，從而 即即 可驗證可驗證 滿足題設(shè)條件滿足題設(shè)條件. . ,)1)(1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)(1 (121211nnnnqpqpnmnmaaaaaaaaaaaaaaaa得2154.113111,2121111nnnnnnnaaaaaaa所以11nnaa,)31(11nnnaa,1313nnna1313nnna(2)(2)證明證明 由題設(shè)由題設(shè) 的值僅與的值僅與m m+ +n n有關(guān)有關(guān), ,記記為為b bm m+ +n n, ,考察函數(shù)考察函數(shù) ( (x x0),0),則在定義域上有則在定義域上有故對故對n nNN* *, ,b bn n+1+1g g( (a a) )恒成立恒成立. .)1)(1 (nmnmaaaa.)1)(1 ()1)(1 (111nnnnnaaaaaaaab則)1)(1 ()(xaxaxf. 10,1, 1,21, 1,11)()(aaaaaaagxf【探究拓展探究拓展】本題考查數(shù)列的通項公式的求法、不等】本題考查數(shù)列的通項公式的求法、不等 式的解法及利用函數(shù)的單調(diào)性解題的基本方法式的解法及利用函數(shù)的單調(diào)性解題的基本方法, ,考查考查 了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，要求較高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，要求較高. . .1,)()(21)(1,)()(21)(1)()(21)(1)(21)(1)(,21)(0),()1 (222nnnnnaagagagagagagaagagagagagagagagaab即有取解上式得注意到又變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 的前的前n n項的和項的和S Sn n= = n n=1,2,3,=1,2,3, (1) (1)求首項求首項a a1 1與通項與通項a an n； (2)(2)設(shè)設(shè)T Tn n= = n n=1,2,3,=1,2,3,證明證明: : (1)(1)解解 由由S Sn n= = n n=1,2,3, =1,2,3, 得得 所以所以a a1 1=2,=2, 再由再由有有 n n=2,3,4, =2,3,4, 將將和和相減得：相減得： a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1= (= (a an n- -a an n-1-1)- )- (2(2n n+1+1-2-2n n),), n n=2,3,4,=2,3,4, 123134nna,32,2nnS.231niiT,32231341nna,3243134111aSa,322313411nnnaS3431整理得整理得a an n+2+2n n=4(=4(a an n-1-1+2+2n n-1-1),),n n=2,3,4,=2,3,4,因而數(shù)列因而數(shù)列 a an n+2+2n n 是首項為是首項為a a1 1+2=4,+2=4,公比為公比為4 4的等比數(shù)的等比數(shù)列，即列，即a an n+2+2n n=4=44 4n n-1-1=4=4n n, ,所以所以a an n=4=4n n-2-2n n ( (n n=1,2,3,).=1,2,3,).(2)(2)證明證明 將將a an n=4=4n n-2-2n n，代入，代入得得 .23)121121(23)121121(23,),121121(23) 12)(12(2232),12)(12(32)22)(12(3132231)24(341111111111nninnniinnnnnnnnnnnnnnnnTSTS所以題型三題型三 數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用【例【例3 3】(2009(2009廣東廣東) )已知曲線已知曲線C Cn n: :x x2 2-2-2nxnx+ +y y2 2=0(=0(n n=1,2=1,2 ). ).從點從點P P(-1,0)(-1,0)向曲線向曲線C Cn n引斜率為引斜率為k kn n( (k kn n0)0)的切線的切線 l ln n, ,切點為切點為P Pn n( (x xn n, ,y yn n).). (1) (1)求數(shù)列求數(shù)列 x xn n 與與 y yn n 的通項公式；的通項公式； (2)(2)證明證明: :x x1 1x x3 3x x5 5x x2 2n n-1-1.sin211nnnnyxxx(1)(1)解解 .112) 1(,11).12(12, 0)1 (4)22(0, 0)22()1 () 1(02222222222222nnnxkynnkkxnnnnkkknkkxnkxkxkyynxxnnnnnnnnnnnnnn舍去(2)(2)證明證明 , 04cos21cos21)( ),4, 0(,sin2)(.11121121253312124321.121214) 12(4) 12(212,12111111112312222xxfxxxxfxxnnnnnxxxnnnnnnnnnnnnnxxnnnnn則令 f f( (x x) )在在(0, )(0, )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. . f f( (x x) )f f(0)=0,(0)=0,即即x x sin sin x x在在(0, )(0, )上恒成立上恒成立. . 即即x x1 1x x3 3x x5 5x x2 2n n-1-1【探究拓展探究拓展】解決數(shù)列與解析幾何這類問題的關(guān)鍵是】解決數(shù)列與解析幾何這類問題的關(guān)鍵是 明確目標(biāo)明確目標(biāo), ,即將待求問題運用相關(guān)知識及手段，轉(zhuǎn)化即將待求問題運用相關(guān)知識及手段，轉(zhuǎn)化 成我們較為熟悉的問題，再用相關(guān)的知識去求解成我們較為熟悉的問題，再用相關(guān)的知識去求解. . 442,121sin21214311210nnn又.sin211nnnnyxxx變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2-4,-4,設(shè)曲線設(shè)曲線y y= =f f( (x x) )在點在點( (x xn n, , f f( (x xn n)處的切線與處的切線與x x軸的交點為軸的交點為( (x xn n+1+1,0)(,0)(n nNN* *),),其中其中 x x1 1為正實數(shù)為正實數(shù). . (1) (1)用用x xn n表示表示x xn n+1+1; ; (2) (2)求證求證: :對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n, ,x xn n+1+1x xn n的充要條件是的充要條件是x x1 1 2; 2; (3) (3)若若x x1 1=4,=4,記記a an n= = 證明數(shù)列證明數(shù)列 a an n 成等比數(shù)列成等比數(shù)列, , 并求數(shù)列并求數(shù)列 x xn n 的通項公式的通項公式. .,22lgnnxx(1)(1)解解 由題可得由題可得f f(x x)=2)=2x x, ,所以過曲線上點所以過曲線上點( (x xn n, ,f f( (x xn n)的切線方程為的切線方程為y y- -f f( (x xn n)=)=f f(x xn n)()(x x- -x xn n),),即即y y-(-( -4)=2-4)=2x xn n( (x x- -x xn n).).令令y y=0,=0,得得-(-( -4)=2-4)=2x xn n( (x xn n+1+1- -x xn n).).即即 +4=2+4=2x xn nx xn n+1+1. .顯然顯然x xn n0,0,2nx2nx2nx.221nnnxxx(2)(2)證明證明( (必要性必要性) )若對一切正整數(shù)若對一切正整數(shù)n n, ,有有x xn n+1+1x xn n, ,則則x x2 2x x1 1, , 而而x x1 10,0,即有即有x x1 12.2.( (充分性充分性) )若若x x1 1220,0,由由用遞推關(guān)系易得用遞推關(guān)系易得x xn n0,0,從而從而即即x xn n2(2(n n2).2).又又x x1 122，x xn n2 (2 (n n1).1).即即x xn n+1+1x xn n對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n成立成立. . , 4,2221111xxxx即.221nnnxxx).1(2222221nxxxxxnnnnn. 02)2)(2(242221nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx于是(3)(3)證明證明 所以所以, ,數(shù)列數(shù)列 a an n 成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .2,22lg222lg.)22(22.2)2(2,.2)2(2,2211121121211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaxxxxxxxxxxxxxxxxx即從而故同理知由.13) 13(2,322. 3lg222lg. 3lg222lg221112221111111nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxaa所以從而即故題型四題型四 數(shù)列與其它知識的綜合應(yīng)用數(shù)列與其它知識的綜合應(yīng)用 【例例4 4】(2009(2009重慶重慶) )設(shè)設(shè)m m個不全相等的正數(shù)個不全相等的正數(shù)a a1 1, ,a a2 2, , , a am m ( (m m7)7)依次圍成一個圓圈依次圍成一個圓圈. . (1) (1)若若m m=2 009,=2 009,且且a a1 1, ,a a2 2, , ,a a1 0051 005是公差為是公差為d d的等差數(shù)的等差數(shù) 列列, ,而而a a1 1, ,a a2 2 009009, ,a a2 0082 008, , ,a a1 0061 006是公比為是公比為q q= =d d的等比數(shù)的等比數(shù) 列列; ;數(shù)列數(shù)列a a1 1, ,a a2 2,a am m的前的前n n項和項和S Sn n ( (n nm m) )滿足滿足S S3 3=15,=15, S S2 0092 009= =S S2 0072 007+12+12a a1 1, ,求通項求通項a an n ( (n nm m) )； (3)(3)若每個數(shù)若每個數(shù)a an n( (n nm m) )是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比 中項中項, ,求證求證: : mama1 1a a2 2a am m. . 22761maaaa(1)(1)解解 因因a a1 1, ,a a2 0092 009, ,a a2 0082 008, , ,a a1 0061 006是公比為是公比為d d的等比數(shù)的等比數(shù)列列, ,從而從而a a2 0092 009= =a a1 1d d, ,a a2 0082 008= =a a1 1d d2 2. .由由S S2 0092 009= =S S2 0072 007+12+12a a1 1得得a a2 0082 008+ +a a2 0092 009=12=12a a1 1, ,故故a a1 1d d2 2+ +a a1 1d d=12=12a a1 1, ,即即d d2 2+ +d d=12.=12.解得解得d d=3,=3,或或d d=-4(=-4(舍去舍去).).因此因此d d=3.=3.又又S S3 3=3=3a a1 1+3+3d d=15.=15.解得解得a a1 1=2.=2.從而當(dāng)從而當(dāng)n n1 0051 005時，時，a an n= =a a1 1+(+(n n-1)-1)d d=2+3(=2+3(n n-1)=3-1)=3n n-1.-1.而當(dāng)而當(dāng)1 0061 006n n2 0092 009時時, ,由由a a1 1, ,a a2 0092 009, ,a a2 0082 008, , ,a a1 0061 006是是公比為公比為d d的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,得得a an n= =a a1 1d d2 009-(2 009-(n n-1)-1)= =a a1 1d d2 010-2 010-n n(1 006(1 006n n2 009).2 009).00920061,32,0051, 130102nnnann因此(2)(2)證明證明 由題意由題意 由由得得 由由, , ,得得a a1 1a a2 2a am m=(=(a a1 1a a2 2a am m) )2 2, ,故故a a1 1a a2 2a am m=1. =1. ,),1 (,),1 (211111222212121221212aaaaaamnaaaaaaaaamnaaammmnnnmmmnnn得.,1,1,2162514123aaaaaaaaaa),61 (1),31 (13611123mraaamraaaaaarrrrrrrrr故有又下面用反證法證明下面用反證法證明: :m m=6=6k k. .若不然若不然, ,設(shè)設(shè)m m=6=6k k+ +p p, ,其中其中11p p5.5.若取若取p p=1,=1,即即m m=6=6k k+1,+1,則由則由得得a am m= =a a6 6k k+1+1= =a a1 1, ,而由而由得得a am m 由由得得 從而從而a a6 6= =a a6 6k k= =a am m-1-1=1,=1,而而故故a a1 1= =a a2 2=1,=1,由由及及可推得可推得a an n=1(1=1(1n nm m) )與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾. .同理同理, ,若若p p=2,3,4,5=2,3,4,5均可得均可得a an n=1(1=1(1n nm m) )與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾, ,因此因此m m=6=6k k為為6 6的倍數(shù)的倍數(shù). .由均值不等式得由均值不等式得, 1,221121aaaaaa得故,11aaamm,216aaa . 6)()1()1(21122211621aaaaaaaaaaa又上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等又上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等( (否則否則a a1 1= =a a2 2= =a a3 3=1,=1,從從而而a a4 4= =a a5 5=a an n=1,=1,與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾),),故等號不成立故等號不成立, ,從而從而a a1 1+ +a a2 2+a a6 66.6.又又m m=6=6k k, ,由由和和得得因此由因此由得得 6+6(6+6(k k-1)=6-1)=6k k= =m m= =mama1 1a a2 2a am m . .【探究拓展探究拓展】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概 念念, ,分類討論的思想、方程的思想分類討論的思想、方程的思想, ,反證法反證法, ,基本不等基本不等 式等重要的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，要求較高式等重要的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，要求較高. . 22761maaaa).1(6)111)(1()(1()()(23232222212126222122521227227kaaaaaakaaakaaaaaammm變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 已知已知a a0,0,且且a a1,1,數(shù)列數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為 S Sn n, ,它滿足條件它滿足條件 數(shù)列數(shù)列 b bn n 中中, ,b bn n= =a an nlg lg a an n. . (1) (1)求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項和項和T Tn n； (2)(2)若對一切若對一切n nNN* *都有都有b bn nb bn n+1+1, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. . 解解 (1)(1) 當(dāng)當(dāng)n n=1=1時時, , 當(dāng)當(dāng)n n22時時, , a an n= =a an n ( (n nNN* *).). 此時此時b bn n= =a an nlg lg a an n= =a an nlg lg a an n= =n na an nlg lg a a, ,.111aSann.1) 1(,111aaaSaSannnn.1) 1(111aaaaSa,1) 1(1) 1(11nnnnnnaaaaaaaSSaT Tn n= =b b1 1+ +b b2 2+b bn n=(=(a a+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n)lg )lg a a即即auaun n= =a a2 2+2+2a a3 3+nanan n+1+1設(shè)設(shè)u un n= =a a+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n, ,(1-(1-a a) )u un n= =a a+ +a a2 2+ +a a3 3+a an n- -nanan n+1+1.lg) 1() 1(1.) 1() 1(1,1) 1(21211aaaaanaTaaaanaunaaaannnnnnnn(2)(2)由由b bn nb bn n+1+1 nanan nlg lg a a( (n n+1)+1)a an n+1+1lg lg a a可得可得當(dāng)當(dāng)a a1 1時時, ,由由lg lg a a0,0,可得可得 ( (n nNN* *),),a a1,1, 對一切對一切n nNN* *都成都成立立,此時的解為此時的解為a a1.1.當(dāng)當(dāng)0 0a a1 1時時, ,由由lg lg a a0,0,可得可得n n( (n n+1)+1)a a, , ( (n nNN* *),0),0a a1,1,00a a對一切對一切n nNN* *都成立，都成立，此時的解為此時的解為0 0a a由由可知可知, ,對一切對一切n nNN* *都有都有b bn nb bn n+1+1的取值范圍是的取值范圍是0 0a a或或a a1.1. ,1nna11nn,1nna,1nna211nn1nn.2121【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009山東山東) ) 等比數(shù)列等比數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,已知對已知對 任意的任意的n nNN* *, ,點點( (n n, ,S Sn n) )均在函數(shù)均在函數(shù)y y= =b bx x+ +r r( (b b0 0且且b b1,1, b b, ,r r均為常數(shù)均為常數(shù)) )的圖象上的圖象上. . (1) (1)求求r r的值；的值； (2)(2)當(dāng)當(dāng)b b=2=2時時, ,記記b bn n=2(log=2(log2 2a an n+1)(+1)(n nNN* *),), 證明證明: :對任意的對任意的n nNN* *, ,不等式不等式nnbbbbbb1112211.1成立n【解題示范解題示范】 解解 (1)(1)因為對任意的因為對任意的n nNN* *, ,點點( (n n, ,S Sn n) )均在函數(shù)均在函數(shù)y y= =b bx x+ + r r ( (b b0 0且且b b1,1,b b, ,r r均為常數(shù)均為常數(shù)) )的圖象上的圖象上. . 所以得所以得S Sn n= =b bn n+ +r r, , 當(dāng)當(dāng)n n=1=1時時, ,a a1 1= =S S1 1= =b b+ +r r, , 2 2分分 當(dāng)當(dāng)n n22時時, ,a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1= =b bn n+ +r r-(-(b bn n-1-1+ +r r) ) = =b bn n- -b bn n-1-1=(=(b b-1)-1)b bn n-1-1, , 4 4分分 又因為又因為 a an n 為等比數(shù)列，為等比數(shù)列， 所以所以r r=-1,=-1,公比為公比為b b, ,所以所以a an n=(=(b b-1)-1)b bn n-1-1. . 5 5分分(2)(2)當(dāng)當(dāng)b b=2=2時時, ,a an n=(=(b b-1)-1)b bn n-1-1=2=2n n-1-1, , b bn n=2(log=2(log2 2a an n+1)=2(log+1)=2(log2 22 2n n-1-1+1)=2+1)=2n n. . 6 6分分 7 7分分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.212674523111,21212211nnbbbbbbnnbbnnnn所以則.12126745231112211成立所以nnnbbbbbbnn當(dāng)當(dāng)n n=1=1時時, ,左邊左邊= = 右邊右邊= = 因為因為 所以不等式成立所以不等式成立. . 8 8分分假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n n= =k k ( (k kNN* *) )時不等式成立，時不等式成立，則當(dāng)則當(dāng)n n= =k k+1+1時，時， ,23,223.12126745231112211成立即kkkbbbbbbkk22322126745231111112211kkkkbbbbbbbbkkkk左邊,2 11 11分分所以當(dāng)所以當(dāng)n n= =k k+1+1時時, ,不等式也成立不等式也成立. .由由可得不等式恒成立可得不等式恒成立. 12. 12分分1) 1() 1(411) 1() 1(41) 1(4) 1(4) 1(4)32(2232122kkkkkkkkkkk1.1.求數(shù)列通項公式的方法求數(shù)列通項公式的方法:(1):(1)觀察法觀察法: :尋找項與項數(shù)尋找項與項數(shù) 的關(guān)系的關(guān)系, ,然后猜想、檢驗然后猜想、檢驗, ,即得通項公式即得通項公式, ,注意利用前注意利用前 n n項得到的通項公式不一定唯一項得到的通項公式不一定唯一;(2);(2)利用前利用前n n項和與項和與 通項的關(guān)系通項的關(guān)系 (3)(3)公式法公式法: :利用等利用等 差、等比數(shù)列的通項公式差、等比數(shù)列的通項公式. . 2.2.由遞推關(guān)系式求通項常用方法由遞推關(guān)系式求通項常用方法:(1):(1)逐差法逐差法: :型如型如a an n+1+1 = =a an n+2+2n n, ,a an n+1+1= =a an n+2+2n n, ,則則a an n=(=(a an n- -a an n-1-1)+()+(a an n-1-1- -a an n-2-2)+()+(a a2 2 - -a a1 1)+)+a a1 1;(2);(2)逐商法逐商法: :型如型如a an n+1+1=3=3nanan n, ,a an n+1+1=3=3n na an n, ,則則a an n (3)(3)待定系數(shù)法待定系數(shù)法: :型如型如a an n+1+1= =k k;)2() 1(11nSSnSannn;112211aaaaaaannnna an n+ +b b, ,若若k k=0=0時時, ,則為常數(shù)列則為常數(shù)列; ;若若k k=1=1時時, ,則為等差數(shù)列則為等差數(shù)列; ;若若k k1,1,且且b b00時時, ,法法( (一一):):可設(shè)可設(shè)a an n+1+1+ +t t= =k k( (a an n+ +t t),),得得a an n+1+1= =kakan n+(+(k k-1)-1)t t, ,由由( (k k-1)-1)t t= =b b, ,得得 則數(shù)列則數(shù)列 是以是以 為首項為首項, ,k k為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,所以所以k kn n-1-1. .法法( (二二):):把等式把等式a an n+1+1= =k ka an n+ +b b兩邊都除以兩邊都除以k kn n+1+1, ,得得 轉(zhuǎn)化為第轉(zhuǎn)化為第(1)(1)類類;(4);(4)取倒數(shù)法取倒數(shù)法: :型如型如 ( (a an n0),0),取倒數(shù)得取倒數(shù)得 所以數(shù)列所以數(shù)列 是以是以 為首項為首項,1,1為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列.(5).(5)待定系數(shù)待定系數(shù)法法: :型如型如: :a an n+1+1= =AaAan n+ +B Bn n( (A AB B0),0),則則當(dāng)當(dāng)A A=1=1時時, ,可化為可化為第第(1)(1)類型類型, ,當(dāng)當(dāng)A A1,1,B B=1=1時時, ,可化為第可化為第(3)(3)類型類型, ,當(dāng)當(dāng),1kbt11kban11kba)1(1kbaan,111nnnnnkbkaka11nnnaaa, 1111nnaa1na11aA A1,1,B B11時時, ,法法( (一一):):原式可化為原式可化為 這時可轉(zhuǎn)化為第這時可轉(zhuǎn)化為第(3)(3)類型類型. .法法( (二二):):原式可化為原式可化為a an n+1+1+ +tBtBn n+1+1= =A A( (a an n+ +tBtBn n),),即即a an n+1+1= =AaAan n+ +t t( (A A- -B B) )B Bn n, ,則則t t( (A A- -B B)=1,)=1,所以所以 所以數(shù)列所以數(shù)列 a an n+ + 是以是以 為首項為首項, ,以以A A為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,進而求出通項進而求出通項a an n;(6);(6)取倒數(shù)法取倒數(shù)法: :型如型如: :a an n+1+1= = 若若A A= =B B, ,則數(shù)列則數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,若若A AB B, ,則可化為第則可化為第(3)(3)類型類型; ;型如型如: :則則b bn n+1+1= =AbAbn n+ +B B, ,可化為第可化為第(3)(3)類型類型. . ,111BBaBABannnn,1,1BbBAbbBannnnn則令,1BAtBABnBABa1,BaBaAnn,111ACaABann則11na,) 1(1AnaBanannn,1,111nnnnnnnbanBanAanAnaBana令所以則3.3.求和時常用的基本方法求和時常用的基本方法:(1):(1)公式求和法公式求和法: :能直接利能直接利 用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式, ,或可通過適當(dāng)拆或可通過適當(dāng)拆 分、重新組合分、重新組合, ,能直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和能直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和 公式公式;(2);(2)裂項求和法裂項求和法: :型如型如 (3)(3)錯位相減求和法錯位相減求和法: :型如型如 a an nb bn n(其中其中 a an n 是等差是等差 數(shù)列數(shù)列,b bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列) )的前的前n n項和項和, ,一定要注意項數(shù)一定要注意項數(shù) 和最后一項的符號和最后一項的符號;(4);(4)倒序相加求和法倒序相加求和法: :它主要適用它主要適用 于型如于型如a ai i+ +a an n+1-+1-i i= =a aj j+ +a an n+1-+1-j j (1 (1i ij jn n).). ;111),11(1)(1nnnnaknnkknnnnnannnna,111) 1(14.4.在解答數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程的在解答數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程的 有關(guān)問題時有關(guān)問題時, ,特別是數(shù)列與不等式經(jīng)常利用不等式的特別是數(shù)列與不等式經(jīng)常利用不等式的 適當(dāng)放縮來解答或證明適當(dāng)放縮來解答或證明. . (1) (1) 的放縮根據(jù)不同的要求的放縮根據(jù)不同的要求, ,大致有三種情況大致有三種情況, , (3) (3) 的放縮根據(jù)不同的要求的放縮根據(jù)不同的要求, ,大致有兩種情況大致有兩種情況, , 因為可把數(shù)列看成函數(shù)圖象上孤立的因為可把數(shù)列看成函數(shù)圖象上孤立的21n);2(111122nnnnnn11(2111122nnn);2)(11nn);1)(121121(2411122nnnnnn21,11121nnnnn1121nnn. 1nn“點點”, ,所以有時利用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的項的所以有時利用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的項的 大小大小, ,或證明不等式或證明不等式. . 5.5.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時, ,特別是特別是, ,在利用假設(shè)在利用假設(shè) 證明證明“n n= =k k+1”+1”也成立時也成立時, ,一定要對所給式子進行靈一定要對所給式子進行靈 活變形、適當(dāng)取舍、合理放縮，牢牢地盯住結(jié)論活變形、適當(dāng)取舍、合理放縮，牢牢地盯住結(jié)論. . 一、選擇題一、選擇題1.1.已知已知 a an n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,a a2 2=2,=2,a a5 5= ,= ,則則a a1 1a a2 2+ +a a2 2a a3 3+ a an na an n+1+1等于等于 ( )( ) A.16(1-4 A.16(1-4- -n n) B.16(1-2) B.16(1-2- -n n) ) C. (1-4 C. (1-4- -n n) D. (1-2) D. (1-2- -n n) ) 解析解析 a a1 1=4=4，a an na an n+1+1=4=4 故故a a1 1a a2 2+ +a a2 2a a3 3+ +a a3 3a a4 4+a an na an n+1+1=2=23 3+ + 2 21 1+2+2-1-1+2+2-3-3+2+25-25-2n n= =332332,21,81325qqaa41,2)21(4)21(251nnn).41 (332411)411 (8nnC C2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,b bn n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,其公比其公比q q 1,1,且且b bi i0 (0 (i i=1,2,=1,2,n n),),若若a a1 1= =b b1 1, ,a a2 0092 009= =b b2 0092 009, ,則則 ( )( ) A. A.a a1 0051 005b b1 005 1 005 B.B.a a1 0051 005= =b b1 0051 005 C. C.a a1 0051 005b b1 005 1 005 D.D.a a1 0051 005b b1 0051 005或或a a1 0051 005b b1 0051 005 解析解析 因因a a1 1= =b b1 1, ,a a2 0092 009= =b b2 0092 009, ,所以所以a a1 1+ +a a2 0092 009= =b b1 1+ +b b2 0092 009, , 又又 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,b bn n 為等比數(shù)列，為等比數(shù)列， 所以所以2 2a a1 0051 005= =a a1 1+ +a a2 0092 009= =b b1 1+ +b b2 0092 009=2=2b b1 0051 005, ,即即a a1 0051 005b b1 0051 005. . 009212bb A A3.3.已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項和項和S Sn n= =n n2 2-9-9n n ( (n nNN* *),),第第k k項滿項滿 足足5 5a ak k8,8,則則k k等于等于 ( )( ) A.9 B.8 C.7 D.6 A.9 B.8 C.7 D.6 解析解析 因因a a1 1= =S S1 1=-8,=-8,而當(dāng)而當(dāng)n n22時時, ,由由a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1求得求得a an n= = 2 2n n-10,-10,此式對于此式對于n n=1=1也成立也成立. .要滿足要滿足5 5a ak k8,8,只須只須5 5 2 2k k-10-108 8，從而有，從而有 而而k k為自然數(shù)為自然數(shù). .因而只能因而只能 取取k k=8.=8. , 9215 kB B4.4.已知兩個等差數(shù)列已知兩個等差數(shù)列 a an n 和和 b bn n 的前的前n n項和分別為項和分別為A An n和和 B Bn n, ,且且 則使得則使得 為整數(shù)的正整數(shù)為整數(shù)的正整數(shù)n n的個數(shù)的個數(shù) 是是 ( )( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析 由等差數(shù)列的前由等差數(shù)列的前n n項和及等差中項，項和及等差中項， 故故n n=1,2,3,5,11=1,2,3,5,11時時, , 為整數(shù)為整數(shù). . ,3457nnBAnnnnba).N(112711972238143) 12(45) 12()(12(21)(12(21)(21)(21*1212121121121121nnnnnnnnBAbbnaanbbaabannnnnnnn可得nnbaD D5.5.設(shè)正項數(shù)列設(shè)正項數(shù)列 a an n 的前的前n n項的積為項的積為T Tn n, ,令令P Pn n= = 稱稱P Pn n為數(shù)列為數(shù)列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a an n的的“理理 想數(shù)想數(shù)”. .已知數(shù)列已知數(shù)列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a501501的的“理想數(shù)理想數(shù)”為為 2 22 0082 008, ,那么數(shù)列那么數(shù)列32,32,a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a501501的的“理想數(shù)理想數(shù)”為為 ( )( ) A.2 A.22 008 2 008 B.2B.22 009 2 009 C.2C.22 010 2 010 D.2D.22 0112 011 解析解析 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a501501前前n n項積為項積為T Tn n, ,數(shù)列數(shù)列32,32, a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a501501前前n n項積為項積為H Hn n, ,H H1 1H H2 2H H3 3 H H502502=32(32=32(32T T1 1)(32)(32T T2 2)(32)(32T T501501)=32)=32502502T T1 1T T2 2 T T501501,32,325025022 22 0082 008501501=32=325025022 25025022 0042 004=(2=(22 0092 009) )502502. . 則所求的則所求的“理想數(shù)理想數(shù)”為為2 22 0092 009. . ,321nnTTTTB B6.6.已知已知f f( (x x) )是定義在是定義在R R上的不恒為零的函數(shù)上的不恒為零的函數(shù), ,且對于任且對于任 意實數(shù)意實數(shù)a a, ,b bRR滿足滿足: :f f( (a ab b)=)=af af( (b b)+)+bf bf( (a a),),f f(2)=2,(2)=2,a an n= = ( (n nNN* *),),b bn n= (= (n nNN* *),),考察下列結(jié)論考察下列結(jié)論, ,其中其中 正確的是正確的是: ( ): ( ) f f(0)=(0)=f f(1);(1);f f( (x x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù); ;數(shù)列數(shù)列 a an n 為等差數(shù)為等差數(shù) 列列; ;數(shù)列數(shù)列 b bn n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列. . A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 令令a a= =b b=0,=0,則則f f(0)=0(0)=0; ;令令a a= =b b=1,=1,則則f f(1)=0(1)=0; ;即即 f f(0)=(0)=f f(1),(1),故故正確正確. .nnf2)2(nfn)2(令令a a= =b b=-1,=-1,則則f f(-1)=0,(-1)=0,令令a a= =x xR,R,b b=-1,=-1,則則f f(-(-x x)=)=xf xf(-1)-(-1)-f f( (x x)=-)=-f f( (x x),),故故錯誤錯誤. .令令a a=2=2n n, ,b b=2,=2,則則f f(2(2n n+1+1)=2)=2n nf f(2)+2(2)+2f f(2(2n n),), 因因f f(2)=2,(2)=2,所以所以 即數(shù)列即數(shù)列 a an n 是以是以1 1為為首項首項,1,1為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列, ,故故正確正確. .由由可知可知: : 所以所以 即即數(shù)列數(shù)列 b bn n 是以是以2 2為首項為首項, ,2 2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,故故正確正確. .答案答案 D D,2)2(2)2(2)2(11nnnnfff即, 12)2(2)2(11nnnnff,1) 1(12)2(nnfnn,2)2(nnnf二、填空題二、填空題7.7.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,若若S S4 410,10,S S5 515,15, 則則a a4 4的最小值為的最小值為_._. 解析解析 因為因為S S4 410,10,S S5 515,15,所以所以a a5 5= =S S5 5- -S S4 45,5, 又又a a1 1+ +a a4 45,5,a a1 1+ +a a5 56,6,則則a a5 5- -a