橢圓、雙曲線、拋物線教學(xué)設(shè)計

橢圓、雙曲線及拋物線一、教學(xué)目標：1.知識目標：（1）了解橢圓、雙曲線及拋物線的定義，理解它們的標準方程，能根據(jù)已知條件寫出它們的方程；（2）由橢圓、雙曲線及拋物線的方程知道它們的焦點坐標，了解圖形的類型2.能力目標：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和邏輯思維能力.3.思想品質(zhì)目標：對學(xué)生進行愛國主義教育，并培養(yǎng)學(xué)生對新問題勇于探索的精神. 二、教學(xué)重點：對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論.三、教學(xué)難點：對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論.搞清標準方程中系數(shù)的幾何意義，是突破難點的關(guān)鍵.四、教學(xué)方法：講授法、圖示法、歸納法與練習(xí)法相結(jié)合.五、教學(xué)過程： （一） 橢圓 1問題的引入2003年10月15日時整，我國自行研制的“神舟”五號載人飛船載著航天員楊利偉在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛船在變軌前繞地球運行的軌道是橢圓，見圖5-23. 圖5-24M 圖5-23 橢圓是一種常見的曲線，如汽車油罐橫截面的輪廓，天體中一些行星和衛(wèi)星運行的軌道等 請同學(xué)們準備一條一定長的繩子、兩枚釘子和一支鉛筆按照下面的步驟畫一個橢圓：（1）將繩子的兩端固定在畫板上的和兩點，并使繩長大于和的距離，如圖5-24所示；（2）用鉛筆尖把繩子拉緊，并在畫板上慢慢移動，畫出一個橢圓從上面的畫圖中，我們可以看出，繩子的長度是保持不變的，橢圓是由到點和的距離的和等于繩長的所有點組成的 我們把平面內(nèi)與兩個定點、的距離之和是常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距練習(xí)題541.1請同學(xué)們按照上述方法用一條一定長的繩子，并改變兩定點間的距離在畫板畫幾個橢圓，并說出隨著兩定點的距離的變化，橢圓的形狀有什么變化，試著找出其中的規(guī)律圖5-25xyOM解答：畫圖略. 兩定點間的距離越大，橢圓越扁；兩定點間的距離越接近于0，橢圓越接近于圓.2 橢圓的標準方程根據(jù)上面畫橢圓的步驟來研究橢圓的方程取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖5-25所示 設(shè)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為（0），橢圓上的點與兩個定點、的距離之和為（0），則，的坐標分別為，由條件 ，可以得到方程x圖5-26yO ， （511）其中. 可以證明，如果點的坐標滿足方程（511），那么點一定在橢圓上因此方程（511）叫做焦點在軸上的橢圓的標準方程 若如圖5-26所示，取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，用同樣的方法可以得到它的方程為 ， （512）其中,方程（512）叫做焦點在軸上的橢圓的標準方程想一想：已知一個橢圓的標準方程，如何判定焦點在x軸還是在軸？回答：一般地，比較x、y分母的大小即可判別.例1 已知橢圓的焦點在軸上，且焦距為8，橢圓上一點到兩個焦點距離之和等于10，寫出橢圓的標準方程 解 由已知有，即，所以 ， 由于橢圓的焦點在軸上，因此橢圓的標準方程為 ，即 .想一想： 如果將例1的已知條件“橢圓的焦點在軸上”刪去，其余條件不變，你能寫出橢圓的標準方程嗎？圖5-27xyoA2A12B2B1回答：當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為；當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為.例2 求橢圓的焦點坐標和焦距解 這是焦點在x軸的橢圓的標準方程.故， ，即 .所以焦點坐標為，焦距如圖5-27所示，橢圓與坐標軸的交點分別為A1（a，0）、A2（a，0）、B1（0，b）、B2（0，b），線段A1 A2和B1B1分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長度分別為2a和2b.練習(xí)題541.21 求滿足下列條件的橢圓標準方程：（1），焦點為（2），焦點為（3），焦點為2求下列橢圓的焦點坐標和焦距； ； .參考答案：1； ； ；2 （1）焦點坐標，焦距 = 2；（2）焦點坐標，焦距；（3）焦點坐標，焦距 = 2（二） 雙曲線1雙曲線的定義圖5-28xyO大家知道，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線（圖5-28）；一個發(fā)電廠通風(fēng)塔的縱截面的外部輪廓也是雙曲線的一部分（圖5-29）.圖5-29          下面我們?nèi)∫粭l兩邊長度不等的拉鏈，如圖5-30所示，將拉鏈的兩邊分別固定在兩個定點（拉鏈兩邊的長度之差小于的距離）上，把鉛筆尖固定在拉鏈瑣口處，慢慢拉開拉鏈，使鉛筆尖慢慢移動，就可以畫出雙曲線的一部分將拉鏈的兩邊交換位置分別固定在處，用同樣的方法可以畫出雙曲線的另一部分 圖5-30xy從上面的作圖過程，我們可以看出，拉鏈兩邊的長度之差是保持不變的定值，雙曲線是由與點的距離的差等于定值的點組成的我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距2雙曲線的標準方程根據(jù)上面所說的雙曲線的畫法來研究雙曲線的方程取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖6-31所示用與求橢圓標準方程相類似的方法，可以求得焦點、的坐標分別為的雙曲線方程為 , （513）這是焦點在軸上的雙曲線的標準方程圖5-32圖5-31xyM       類似的，還可以得到焦點在軸的雙曲線標準方程為（圖5-32） （514）其中為雙曲線上的點到焦點距離之差的絕對值， 方程（513）和（514）都叫做雙曲線的標準方程. 例3 已知雙曲線的焦點在軸上，且焦距為26，雙曲線上一點到兩個焦點距離之差的絕對值等于10，請寫出雙曲線的標準方程解 由已知得，即， 所以 由于雙曲線的焦點在軸上，因此雙曲線的標準方程為，即 .想一想：如果將上例中的已知條件“雙曲線的焦點在軸上”刪去，其余條件不變，你能求出雙曲線的標準方程嗎？回答：與橢圓情況類似，焦點在軸上的雙曲線的標準方程為；焦點在軸上的雙曲線的標準方程為.例4 求雙曲線的焦點坐標與焦距.解 由已知，得，即因為雙曲線的焦點在軸上，所以焦點坐標為，焦距練習(xí)題5421求滿足下列條件的雙曲線標準方程：（1），焦點為；（2），焦點為；（3），焦點為2求下列雙曲線的焦點坐標與焦距：； .參考答案：1； ；2（1）焦點坐標 ，焦距；（2）焦點坐標 ，焦距（三） 拋物線1拋物線的定義 MFl圖5-33我們知道，一元二次函數(shù)的圖像是拋物線；在現(xiàn)實生活中我們推鉛球，拋出的鉛球在空中運行的軌道是拋物線的一段；很多拱橋的橋孔是拋物線等等平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（圖5-33），定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線2拋物線的標準方程圖5-34xyEMF取過焦點，且垂直于準線的直線為軸，軸與相交于點，以線段的垂直平分線為軸，如圖5-34設(shè)，那么焦點的坐標為，準線的方程為設(shè)拋物線上的點到的距離為，那么所以 兩邊平方并化簡得 （515）方程（515）叫做拋物線的標準方程.物線的焦點在的正半軸上，它坐標為，準線方程為 用同樣的方法我們還可以得到拋物線的另外三種形式的標準方程，下面我們把拋物線的方程、焦點、準線方程和圖形列表（表5-1）.表5-1方程（0）（0）（0）（0）焦點準線圖形 例5 物線的焦點坐標為，求它的標準方程解 已知得拋物線的焦點在的負半軸上，并且，所以拋物線的標準方程為例6 求拋物線的焦點坐標和準線方程解 已知得，焦點坐標的正半軸上，所以焦點坐標為，準線方程為練習(xí)題5431求符合下列條件的拋物線的標準方程（1）準線方程是；（2）焦點在的負半軸上，焦點到準線間的距離是82求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： 3請你填加一個適當?shù)臈l件，得到拋物線的方程為 參考答案：1； ；2（1）（1，0），； ； .3略 六、小結(jié)：1. 本節(jié)知識內(nèi)容 知識要點橢圓雙曲線定義及標準方程拋物線    2需要注意的問題(1)無論已知橢圓方程還是確定橢圓方程，都要首先確定焦點位置，然后再研究下一步問題；已知一個橢圓的標準方程時，比較含x、y項的分母的大小即可判別焦點所在軸；在橢圓的標準方程中， 恒成立.(2) 無論已知雙曲線標準方程還是確定雙曲線標準方程，都要首先確定焦點位置，然后再研究下一步問題；已知一個雙曲線的標準方程時，比較含x、y項的分母的大小即可判別焦點所在軸；在雙曲線的標準方程中，恒成立.(3)無論已知拋物線方程還是確定拋物線方程，都要首先確定焦點位置及開口方向，然后再研究下一步問題；已知一個拋物線的標準方程時，分析一次項的系數(shù)及平方項（或一次項）的變量名稱，即可判別焦點所在軸及開口方向；在拋物線的標準方程中，恒成立.七.練習(xí)與作業(yè)：練習(xí)：習(xí)題 5.4第1、2、3題.達標訓(xùn)練5.4第1題.作業(yè)：習(xí)題 5.4第4、6、7題.達標訓(xùn)練5.4第2、3題.