2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問題.doc

2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問題二百五十年前，有一個(gè)問題曾出現(xiàn)在普通人的生活中，向人們的智力挑戰(zhàn)，使得很多人冥思苦想。在相當(dāng)長的一段時(shí)間里，很多人都想解決它，但他們都失敗了。今天，我們小學(xué)生也要大膽地研究研究它。這個(gè)問題叫做“七座橋問題”。當(dāng)時(shí)，德國有個(gè)城市叫哥尼斯堡。城中有條河，河中有個(gè)島，河上架有七座橋，這些橋把陸地和小島連接起來，這樣就給人們提供了一個(gè)游玩的好去處（見下圖）。俗話說，“人是萬物之靈”，他們就是在游玩時(shí)候想出了這樣一個(gè)問題：如果在陸地上可以隨便走，而對每座橋只許通過一次，那么一個(gè)人要連續(xù)地走完這七座橋怎么個(gè)走法？好動腦筋的小朋友請先不要接著往下讀，你也試一試，走一走。你是怎樣試的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像當(dāng)年的游人那樣親自步行過橋上島。因?yàn)槟悴]有離開自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒有河流，沒有小島，也沒有橋，但在你面前卻有一張圖！可是，這又是一張什么樣的圖呢？圖上并沒河流、小島和小橋的原樣，只是用一些線條來代表它們，但卻明白無誤地顯示出了它們之間的位置關(guān)系和連接方式。可以說，這是一張為了做數(shù)學(xué)而舍棄了許多無關(guān)的真實(shí)內(nèi)容而抽象出來的“數(shù)學(xué)圖”。這樣的抽象過程非常重要，這種抽象思維對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來講非常重要。也許你是用鉛筆尖在圖上畫來畫去進(jìn)行試驗(yàn)的吧！好！你做得很好！為什么這樣說呢？因?yàn)楫?dāng)你這樣做的時(shí)候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無意中把自己想像成了一個(gè)小筆尖。你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成了你自身的經(jīng)歷，有位教育家曾說“強(qiáng)烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”?？磥砟悴⒉蝗鄙龠@種想像力！讓我們再好好地想一想，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成你自己過橋的親身經(jīng)歷，這不就是把過橋問題和一筆畫問題聯(lián)系在一起了嗎？用一句數(shù)學(xué)上常用的話說，這就是把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，下面的圖把這種轉(zhuǎn)化過程詳細(xì)地畫了出來。在下頁左圖中把陸地想像成了幾大塊。這對過橋問題并不產(chǎn)生影響。在下頁右圖中進(jìn)一步把陸地塊縮小，同時(shí)改用線段代表小橋，這也不改變過橋問題的實(shí)質(zhì)。在下面左圖中，進(jìn)一步把陸地和島都用小圓圈代表，這已是“幾何圖形”了，但還是顯得復(fù)雜。在下面右圖中，圓進(jìn)一步縮成了點(diǎn)。這樣它變成了只由點(diǎn)和線構(gòu)成的最簡單的幾何圖形了。經(jīng)過上面這樣的一番簡化，七橋問題的確就變成了上右圖（即為第五講習(xí)題1中的圖（9）是不是能一筆畫成的問題了。很容易看出圖中共有4個(gè)奇點(diǎn)，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫成，因而人們根本不能一次連續(xù)不斷地走過七座橋。這樣七橋問題就得到了圓滿的解決。這種解法是大數(shù)學(xué)家歐拉找到的。這種簡化也就是一種抽象過程。所謂“抽象”就是在解決實(shí)際問題的過程中，舍棄與問題無關(guān)的方方面面。而只抓住那個(gè)能體現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)的東西。就像在七橋問題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長短都是與問題無關(guān)的東西。最后，再把解決七橋問題的要點(diǎn)總結(jié)一下：把陸地和島縮小畫成點(diǎn)，把橋畫成線，這樣就把原圖變成了簡單的幾何圖形了。如果這種由點(diǎn)和線組成的圖形是一筆畫，人就能一次通過所有的橋；如果這種圖形不能一筆畫成，人就不能一次通過所有的橋。由前述判定法則可知，有0個(gè)奇點(diǎn)或2個(gè)奇點(diǎn)的圖形是一筆畫，超過兩個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，圖形就不能一筆畫出來。模仿這種思路，也能解決類似好多問題。附送：2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 仔細(xì)審題解數(shù)學(xué)題很關(guān)鍵的一步是審題。如果把題目看錯(cuò)了，或是把題意理解錯(cuò)了，那樣解題肯定是得不出正確的答案來的。什么叫審題？扼要地講，審題就是要弄清楚：未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？有一種類型的數(shù)學(xué)題叫“機(jī)智題”。在這一講要通過解這種題體會如何審題。例1 樹上有5只小鳥，飛起了1只，還剩幾只？樹上有5只小鳥，“叭”地一聲，獵人用槍打下來1只，樹上還剩幾只？解：5-1=4（只），樹上還剩4只小鳥。對這一問，如果你還像上面那樣算就錯(cuò)了。正確地算法應(yīng)該是：5-1-4=0（只）為什么呢？聽到“叭”地一聲響，其他4只會被嚇飛的，這叫“隱含的條件”，在題目中雖沒有明確地說出來，解題時(shí)卻要考慮到。例2 要把一個(gè)籃子里的5個(gè)蘋果分給5個(gè)孩子，使每人得到1個(gè)蘋果，但籃子里還要留下一個(gè)蘋果，你能分嗎？解：能。最后一個(gè)蘋果留在籃子里不拿出來，把它們一同送給一個(gè)孩子。這是因?yàn)椤盎@子里留下一個(gè)蘋果和每個(gè)孩子分得一個(gè)蘋果”這兩個(gè)條件并不矛盾（見圖123）。例3 兩個(gè)父親和兩個(gè)兒子一起上山捕獵，每人都捉到了一只野兔。拿回去后數(shù)一數(shù)一共有兔3只。為什么？解：“兩個(gè)父親和兩個(gè)兒子”實(shí)際上只是3個(gè)人：爺爺、爸爸和孩子?！鞍职帧边@個(gè)人既是父親又是兒子。再數(shù)有幾個(gè)爸爸幾個(gè)兒子時(shí)，把他算了兩次。這是數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時(shí)必須注意的（見圖124）。例4 一個(gè)小島上住著說謊的和說真話的兩種人。說謊人句句謊話，說真話的人句句是實(shí)話。假想某一天你去小島探險(xiǎn)，碰到了島上的三個(gè)人A、B和C?；ハ嘟徽勚校羞@樣一段對話：A說：B和C兩人都說謊；B說：我沒有說謊；C說：B確實(shí)在說謊。小朋友，你能知道他們?nèi)齻€(gè)人中，有幾個(gè)人說謊，有幾個(gè)人說真話嗎？解：這是并不難的一道邏輯推理問題。怎樣解答這個(gè)問題呢？有的人一定會列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情況都判斷出來，認(rèn)為這樣就可以得到答案了。人 說謊 說真話A _ _B _ _C _ _但是，如果你也真的這樣做的話，你是無論如果得不出答案的，因?yàn)閺倪@道題目所給出的條件中根本無法判斷出某一個(gè)人是說謊還是說真話。你這樣解題，說明你把解題的目標(biāo)（未知數(shù)）改變了。請你再看一下，題目問的是什么？題目并沒有問“誰說謊，誰說真話”？而是在問“幾個(gè)人說謊，幾個(gè)人說真話？”正確的答案是不難得到的：因?yàn)锽和C兩人說的話正好相反，所以一定有一個(gè)人說謊，另一個(gè)人說真話；由此又可知道，他們兩人不可能都說謊，所以A必定說謊。于是可知3個(gè)人有2個(gè)人說謊，有一個(gè)人說真話。例5 如圖125，三根火柴棍可以組成一個(gè)等邊三角形，再加三根火柴棍，請你組成同樣大小的四個(gè)等邊三角形。解：請你先不要繼續(xù)往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍組成四個(gè)同樣大小的等邊三角形？通常，很多人在解這題時(shí)，往往自己給自己多加了一個(gè)限制條件：“在平面上組成等邊三角形”。但是，仔細(xì)看看，原題并沒有限制你在平面上解題。由于給自己多加了一個(gè)條件，他們的思想就會被限制在平面上解題，那就無論如何也解不出來。這也是把題意理解錯(cuò)了的一種情況。但是，如圖126所示，只要把思維從平面擴(kuò)大到立體空間，你就能輕而易舉找到問題的答案。例6 一筆畫出由四條線段連接而成的折線把九個(gè)點(diǎn)串起來，你能做到嗎？（見圖127）。解：先不要往下看，你先畫畫試試。你可能會畫出類似于下面的各種各樣的折線來，但你很快會發(fā)現(xiàn)，它們都不是符合題目要求的答案（見圖128）?？偨Y(jié)一下畫過的折線的特點(diǎn)，顯然這些線段都沒有超出這9個(gè)點(diǎn)所決定的正方形。再仔細(xì)看看已知條件，問題里并沒有這一條限制，畫線段的時(shí)候沒有不讓你超出這個(gè)正方形。明白了這點(diǎn)，就不難得到正確的答案了（見圖129）?；叵胍幌麻_始的想法也是屬于把題意理解錯(cuò)了的情況，但是這種錯(cuò)誤是很不容易被自己發(fā)現(xiàn)的。只有在解題的過程中，通過對自己的失敗的解法加以總結(jié)，再與題目中所給出的已知條件加以對照，才有可能發(fā)現(xiàn)自己“不自覺”的錯(cuò)誤想法。