2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)字游戲問題（二）.doc

2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)字游戲問題（二）一、填寫算式中的數(shù)。例1 用，代表三個(gè)數(shù)，有：+=15，+=12， +=18，+=（ ）填出（ ）中的數(shù)。分析 上面算式中的、分別代表三個(gè)數(shù)。根據(jù)三個(gè)相同加數(shù)的和分別是15、12、18，可知=5，=4，=6，又5+4+6=15，所以（ ）內(nèi)應(yīng)填15。解：=5，=4，=6，+=（15）。例2 把2，3，4，6，7，9分別填到下面六個(gè)圓圈中，使三個(gè)算式成立。+=10，-=5，+=8，分析1 在2、3、4、6、7、9中相加等于8的只有2和6，先把2、6填在第三個(gè)算式中，剩下的就可填成3+7=10，9-4=5。分析2 六個(gè)數(shù)中9最大，而9不能填在第1或第3個(gè)算式中，所以把9填在第2個(gè)算式中作被減數(shù)。其余的就好填了。解：3+7=10，9-4=5，2+6=8。例3 把18八個(gè)數(shù)字分別填入圖中八個(gè)空格中，使圖上四邊正好組成加、減、乘、除四個(gè)等式。分析 觀察這幅圖，用8個(gè)數(shù)組成四個(gè)等式。從左上角開始先作減法和除法，得出結(jié)果之后再分別作加法和乘法得到右下角的數(shù)字。所以問題的關(guān)鍵是左上角的數(shù)字與右下角的數(shù)字。它們應(yīng)該是較大的且能夠作乘法與除法的數(shù)。即8和6，不妨取左上角是8，右下角是6，再試填其他數(shù)字。也可取左上角是6，右下角是8，再試填其他數(shù)字。解：二、填寫運(yùn)算符號例4 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。1 2 3 4 5 6=1。分析 把六個(gè)數(shù)分組，試加會(huì)發(fā)現(xiàn)1+2+3+5=11，4+6=10，這樣在4，6前面填上“-”，其他地方填上“+”，等式成立。解：1+2+3-4+5-6=1。例5 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。1 2 3 4 5 6=2。分析 按上題方法試加減，發(fā)現(xiàn)無論如何也得不到2，于是想到是否其中有一個(gè)兩位數(shù)，而兩位數(shù)只能是12，再試就能夠成功。解：12-3+4-5-6=2。例6 從+、-、（ ）中挑選合適的符號，填入適當(dāng)?shù)牡胤?，使下面等式成立? 5 5 5 5=15 5 5 5 5=25 5 5 5 5=35 5 5 5 5=4。分析 在加減乘除運(yùn)算中，有55=1，（5+5）5=2，5-5=0這樣幾個(gè)基本關(guān)系，充分利用它們就可以使等式成立，一般來說一個(gè)式子可以有多種表達(dá)形式。解：55+（5-5）5=1（5+5）5-（55）=1（5+5）5+5-5=25-（5+5+5）5=255+（5+5）5=35-55-55=3（5+5+5+5）5=45-55+5-5=4。三、填寫豎式中的數(shù)例7 在下列豎式中的空白處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 分析 先觀察，這是一個(gè)減法算式，被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是1。而最小的三位數(shù)100與最大的兩位數(shù)99的差正好是1（容易知道，只有這一種情形）。再看，兩個(gè)兩位數(shù)的和是191。分析兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字，它們都必須為9，還要求兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的和進(jìn)位才滿足9+9+1=19。這時(shí)兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的和是11，11可以寫成11= 9+2=8+3=7+4=6+5。例8 右面算式中九個(gè)字母分別代表19九個(gè)數(shù)字，試找出字母M和H分別所代表的數(shù)字。分析 九個(gè)字母分別代表19。在個(gè)位數(shù)字上1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以M=5，同時(shí)向十位進(jìn)4。這時(shí)十位上8個(gè)字母中沒有M，所以十位上的數(shù)字和是40，再加上個(gè)位進(jìn)來的四個(gè)10。結(jié)果是44。所以H=4。解：M=5，H=4。附送：2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律。例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個(gè)點(diǎn)？解：方法1：從上到下一行一行地?cái)?shù)，見下圖。點(diǎn)的總數(shù)是：5+5+5+5=54。方法2：從左至右一列一列地?cái)?shù)，見下圖。點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=45。因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應(yīng)有下列等式成立：54=45從這個(gè)等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：兩個(gè)數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變。這就是乘法交換律。正因?yàn)檫@樣，在兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，以后我們也可以不再區(qū)分哪個(gè)是乘數(shù)，哪個(gè)是被乘數(shù)，把兩個(gè)數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個(gè)說法：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。如果用字母a、b表示兩個(gè)因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：ab=ba。方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖。前一塊4行，每行3個(gè)點(diǎn)，共34個(gè)點(diǎn)。后一塊4行，每行2個(gè)點(diǎn)，共24個(gè)點(diǎn)。兩塊的總點(diǎn)數(shù)=34+24。因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應(yīng)有下列等式成立：34+24=54。仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個(gè)數(shù)的關(guān)系：3+2=5所以上面的等式可以寫成：34+24=（3+2）4也可以把這個(gè)等式調(diào)過頭來寫成：（3+2）4=34+24。這就是乘法對加法的分配律。如果用字母a、b、c代表三個(gè)數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：（a+b）c=ac+bc分配律的意思是說：兩個(gè)數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積加上第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積之和。進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運(yùn)算的情況呢？請看下面的例子：計(jì)算（3-2）4和34-24。解：（3-2）4=14=434-24=12-8=4。兩式的計(jì)算結(jié)果都是4，從而可知：（3-2）4=34-24這就是說，這個(gè)分配律也適用于一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的差與第三個(gè)數(shù)相乘的情況。如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個(gè)數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：（a-b）c=ac-bc。正因?yàn)檫@個(gè)分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律。例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個(gè)小長方體組成的？解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見上右圖。第一層 42個(gè)第二層 42個(gè)第三層 42個(gè)三層小長方體的總個(gè)數(shù)（42）3個(gè)。方法2：從左至右一排一排地?cái)?shù)，見下圖。第一排 23個(gè)第二排 23個(gè)第三排 23個(gè)第四排 23個(gè)四排小長方體的總個(gè)數(shù)為（23）4。若把括號中的23看成是一個(gè)因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4（23）。因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，原圖中小長方體的總個(gè)數(shù)是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（42）3=4（23）。這就是說在三個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同?；蚴钦f，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘以第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再去乘第一個(gè)數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律。如果用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（ab）c=a（bc）。巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡潔、迅速。從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計(jì)算公式。例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖?？傸c(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群（但要上下顛倒放置）和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立（見下圖）：三角形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)2因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9而長方形點(diǎn)數(shù)=109=（1+9）9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）92=45。進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來看：方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù)。方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”。經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長方形點(diǎn)群，而長方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來了。即1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）92。這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡單的乘除算式了。這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了。再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：這個(gè)等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半?；蚴菍懗上旅娴奈淖质剑汉?（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式。例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖：總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20。方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個(gè)長方形點(diǎn)群如下圖所示：由圖可見，有下列等式成立：梯形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)2。因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6而長方形點(diǎn)數(shù)=85=（2+6）5代入上面的文字式，可得：2+3+4+5+6=（2+6）52與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個(gè)計(jì)算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡單的公式。再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：這個(gè)等式的左邊就是一個(gè)等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5。這樣這個(gè)等式的含義就可以用下面的語言來表述：等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半。寫成下面較簡化的文字式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2這就是等差數(shù)列的求和公式。例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小三角形？解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖。小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個(gè)。方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個(gè)大平行四邊形如下圖所示。顯然平行四邊形包含的小三角形個(gè)數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個(gè)數(shù)的兩倍，即下式成立。大三角形中所含=平行四邊形所含2平行四邊形所含=84=（1+7）4（個(gè)）大三角形中所含=1+3+5+7=16代入上述文字式：1+3+5+7（1+7）42這樣，我們就得到了一個(gè)公式：小三角形個(gè)數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）層數(shù)2脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：等式左邊就表示一個(gè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4。這樣這個(gè)等式的含義也就可以用下面的語言來表述：等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半。寫成較簡單的文字式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2。