數(shù)學(xué)第四章 三角函數(shù)、解三角形 第六節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用 理

第六節(jié)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及應(yīng)用總綱目錄教材研讀1. y=Asin(x+)的有關(guān)概念考點(diǎn)突破2. 用五點(diǎn)法畫y=Asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖3.由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到 y=Asin(x+)(A0,0)圖象的兩種方法考點(diǎn)二考點(diǎn)二由圖象求函數(shù)y=Asin(x+)+b的解析式考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換考點(diǎn)三考點(diǎn)三函數(shù)y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用教材研讀教材研讀1.y=Asin(x+)的有關(guān)概念的有關(guān)概念2.用五點(diǎn)法畫用五點(diǎn)法畫y=Asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫y=Asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),一般先列表,后描點(diǎn),連線,其中關(guān)鍵點(diǎn)如下:3.由函數(shù)由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0)圖象圖象的兩種方法的兩種方法注:本節(jié)關(guān)于函數(shù)y=Asin(x+)的一些方法與結(jié)論可類比推理到y(tǒng)=Acos(x+)及y=Atan(x+).1.y=2sin的振幅、頻率和初相分別為( )A.2,B.2,C.2,D.2,- 24x1412418128A答案答案 A由振幅、頻率和初相的定義可知,函數(shù)y=2sin的振幅為2,頻率為,初相為.24x142.(2018北京海淀期中,5)將y=sin的圖象向左平移個(gè)單位,則所得圖象的函數(shù)解析式為( )A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sinD.y=sin 26x623x26xB答案答案 B將y=sin的圖象向左平移個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin=sin=cos 2x,故選B.26x6266x22x3.用五點(diǎn)法作函數(shù)y=sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),主要確定的五個(gè)點(diǎn)是 、 、 、 、 .6x,062,137,065, 1313,06答案答案 ; ,062,137,065, 1313,06解析解析分別令x-=0,2,即可得五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)分別為0,1,0,-1,0).62324.將函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式是 y=sin .101210 x答案答案 y=sin 1210 x解析解析將函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度,所得函數(shù)圖象的解析式為y=sin,再把該圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式是y=sin.1010 x1210 x考點(diǎn)一函數(shù)考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換的圖象及變換考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1已知函數(shù)y=2sin.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象;(3)說明y=2sin的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.23x23x解析解析(1)y=2sin的振幅A=2,周期T=,初相=.(2)令X=2x+,則y=2sin=2sin X.列表:23x223323x描點(diǎn)并畫出一個(gè)周期內(nèi)的圖象:(3)把y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得到y(tǒng)=sin的圖象,再把y=sin的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,最后把y=sin的圖象上所有33x3x1223x23x點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.23x方法技巧方法技巧函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的圖象的作法(1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(x+)的簡圖,主要是通過變量代換,令z=x+,由z取0,2來求出相應(yīng)的x,通過列表得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn),連線后得出圖象.(2)圖象變換法:由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象有兩種途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2321-1 (2018北京朝陽高三期中,3)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)()A.先向右平移個(gè)單位長度,再將橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變B.先向右平移個(gè)單位長度,橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變C.橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,再向右平移個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再向右平移個(gè)單位長度23x36121263C答案答案 Cy=sin=sin,只需將函數(shù)y=sin x的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,變?yōu)閥=sin 2x,再向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin,故選C.23x26x12626x典例典例2 (2017北京豐臺(tái)一模,15)已知函數(shù)f(x)=Asin x(0)的圖象如圖所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)cos,求g(x)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.26x0,2考點(diǎn)二由圖象求函數(shù)考點(diǎn)二由圖象求函數(shù)y=Asin(x+)+b的解析式的解析式解析解析(1)由圖象可知A=2,設(shè)函數(shù)f(x)的周期為T,則-=T,即T=,從而=2,所以f(x)=2sin 2x.(2)g(x)=2sin 2xcos=sin 2xcos 2x-sin22x=sin 4x-=sin-,令+2k4x+2k,kZ,得+x+,kZ,423426x3321 cos42x46x122632122k32k所以g(x)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.0,2,12 3令k=0,得 x ,123方法技巧方法技巧根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)+b(A0,0)的圖象求其解析式時(shí),主要從以下四個(gè)方面入手:(1)A的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即A=;(2)b的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即b=;(3)的確定:利用圖象先求出周期T,然后由T=(0)來確定;(4)的確定:由函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)得到關(guān)于的方程,結(jié)合的范圍確定.2最大值最小值2最大值最小值22-1已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)xR,A0,0,|的圖象(部分)如圖所示,則f(x)的解析式是()A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin26x26xC.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 3x23xA答案答案 A由題圖知,A=2,=-=,T=2,即=2,=,又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),2=2sin,即sin=1,又|0,0)的常用性質(zhì)(1)奇偶性:當(dāng)=k(kZ)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù);當(dāng)=k+(kZ)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為偶函數(shù).(2)周期性:函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期為T=.(3)單調(diào)性:根據(jù)y=sin x的單調(diào)性來研究,由-+2kx+2k,kZ得單調(diào)增區(qū)間;由+2kx+2k,kZ得單調(diào)減區(qū)間.(4)對(duì)稱性:利用y=sin x的對(duì)稱性來研究,由x+=k(kZ)得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo);由x+=k+(kZ)得對(duì)稱軸方程.222223223-1函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖象如圖所示.(1)求及圖中x0的值;(2)設(shè)g(x)=f(x)+f,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 0213x1 1,2 3解析解析(1)由題圖得f(0)=,所以cos =,因?yàn)?,所以=.由于f(x)的最小正周期等于2,所以由題圖可知1x02,故x0+,由f(x0)=得cos=,所以x0+=,x0=.(2)因?yàn)?f=cos=cos=-sin x,所以g(x)=f(x)+f=cos-sin x3232267661363206x3261165313x136x2x13x6x=cos xcos-sin xsin-sin x=cos x-sin x-sin x=cos x-sin x=sin.當(dāng)x時(shí),-x.所以-sin1,故當(dāng)-x=,即x=-時(shí),g(x)取得最大值;當(dāng)-x=-,即x=時(shí),g(x)取得最小值-.663212323236x1 1,2 36623126x62133661332