高中數(shù)學(xué) 第3章 1第1課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課件 北師大版選修2-2.ppt

成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 2 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第三章 本章知識概述導(dǎo)數(shù)應(yīng)用包括兩個方面 一是利用導(dǎo)數(shù)作為一種工具在解決函數(shù)問題中應(yīng)用 二是導(dǎo)數(shù)在分析和解決實際問題中的應(yīng)用 在教科書中分為兩節(jié) 第一部分主要是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極大 極小值 是導(dǎo)數(shù)在研究和處理函數(shù)性質(zhì)問題的一個重要應(yīng)用 第二部分主要是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法解決現(xiàn)實中的變化趨勢和最優(yōu)化問題 解決這類問題的關(guān)鍵是函數(shù)模型的建立 從導(dǎo)數(shù)角度看 主要是導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)上的研究成果的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用 在物理學(xué)中的力學(xué) 電學(xué) 運動 做功 受熱膨脹等問題的解決都離不開導(dǎo)數(shù) 在日常生活中 利用導(dǎo)數(shù)處理最優(yōu)化問題簡單方便 導(dǎo)數(shù)是人們在解決現(xiàn)實生活問題中的偉大發(fā)明 本章的學(xué)習(xí)重點是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值問題 同時利用導(dǎo)數(shù)的概念形成過程中的思想分析問題并建立導(dǎo)數(shù)模型 學(xué)習(xí)的難點是導(dǎo)數(shù)方法的應(yīng)用 特別是求一些實際問題的最值 第1課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 第三章 1函數(shù)的單調(diào)性與極值 1 結(jié)合實例 借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 2 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 本節(jié)重點 利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性 本節(jié)難點 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系 切線的斜率和f x 的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 f x 0 f x 0 一般地 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系 在某個區(qū)間 a b 內(nèi) 如果f x 0 那么函數(shù)f x 在這個區(qū)間內(nèi) 如果f x 0 那么函數(shù)f x 在這個區(qū)間內(nèi) 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減的速度之間的關(guān)系遞增函數(shù)就是函數(shù)值隨自變量的增大而增大 一個函數(shù)的增長速度快 就是說 在自變量的變化相同時 函數(shù)值的增長大 即平均變化率大 導(dǎo)數(shù)也就大 遞減函數(shù)就是函數(shù)值隨自變量的增大而減小 一個函數(shù)減小得快 那么在自變量的變化相同時 函數(shù)值的減小越多 即平均變化率大 導(dǎo)數(shù)的絕對值也就大 從而導(dǎo)數(shù)的絕對值越大 函數(shù)增減的速度就越快 2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1 f x 0與f x 為增函數(shù)的關(guān)系 f x 0能推出f x 為增函數(shù) 但反之不成立 如函數(shù)f x x3在 上單調(diào)遞增 但f x 0 f x 0是f x 為增函數(shù)的充分不必要條件 2 f x 0時 f x 0與f x 為增函數(shù)的關(guān)系 若將f x 0的根作為分界點 因為規(guī)定f x 0 即摳去了分界點 此時f x 為增函數(shù) 就一定有f x 0 當(dāng)f x 可導(dǎo)且f x 0時 f x 0是f x 為增函數(shù)的充分必要條件 3 f x 0與f x 為增函數(shù)的關(guān)系 f x 為增函數(shù) 一定可以推出f x 0 但反之不一定 因為f x 0 即為f x 0或f x 0 當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則f x 為常數(shù) 函數(shù)不具有單調(diào)性 f x 0是f x 為增函數(shù)的必要不充分條件 3 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 第一步 確定函數(shù)f x 的定義域 第二步 求f x 令f x 0 解此方程 求出它在定義域內(nèi)的一切實根 第三步 把函數(shù)f x 在間斷點 即f x 的無定義點 的橫坐標(biāo)和上面的各實根按由小到大的順序排列起來 然后用這些點把函數(shù)f x 的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間 第四步 確定f x 在各個小區(qū)間的符號 根據(jù)f x 的符號判定函數(shù)f x 在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性 4 y f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) f x 0或f x 0且y f x 在 a b 內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0的點僅有有限個 則y f x 在 a b 內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù) 例如 y x3在R上f x 0 所以y x3在R上單調(diào)遞增 5 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性常與一些參數(shù)有關(guān) 此時要注意對參數(shù)的分類討論 6 導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小對函數(shù)圖像的影響一般地 如果一個函數(shù)在某一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大 說明函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的變化越快 這時 函數(shù)的圖像就比較 陡峭 反之 函數(shù)的圖像就 平緩 一些 2 若在區(qū)間 a b 內(nèi)有f x 0 且f a 0 則在 a b 內(nèi)有 A f x 0B f x 0 且f a 0 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)是遞增的 且f x f a 0 3 給出下列結(jié)論 單調(diào)增函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù) 單調(diào)減函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)減函數(shù) 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)的 則原函數(shù)也是單調(diào)的 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 A 0B 2C 3D 4 答案 A 解析 用舉反例的方法解本題 函數(shù)y x是單調(diào)增函數(shù) 但其導(dǎo)函數(shù)y 1不具有單調(diào)性 排除 函數(shù)y x是單調(diào)減函數(shù) 但其導(dǎo)函數(shù)y 1不具有單調(diào)性 排除 函數(shù)y x2 其導(dǎo)函數(shù)y 2x是單調(diào)的 但原函數(shù)在R上不具有單調(diào)性 排除 答案 C 5 若函數(shù)x f x 的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間 a b 上是增函數(shù) 則函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象可能是 答案 A 解析 導(dǎo)函數(shù)f x 是增函數(shù) 切線的斜率隨著切點橫坐標(biāo)的增大逐漸增大 故選A 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 點評 研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時 首先要求函數(shù)的定義域 然后在定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)的單調(diào)性 否則可能產(chǎn)生增根 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1 y x lnx 2 y x x3 含參數(shù)的討論問題 點評 討論函數(shù)的單調(diào)性與求單調(diào)區(qū)間基本一致 一般用求導(dǎo)數(shù)法求解 綜上所述 當(dāng)a1時 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 a a2 當(dāng)0 a 1時 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 a2 a 當(dāng)a 0 a 1時 無減區(qū)間 若函數(shù)f x x3 ax2 1在 0 2 內(nèi)單調(diào)遞減 求實數(shù)a的取值范圍 恒成立問題 點評 這是利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)增減性的一個簡單應(yīng)用 也就是說 根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)可判斷增減性 反之也可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的增減性 求有關(guān)的參變量 若函數(shù)f x ax3 x2 x 5在 上單調(diào)遞增 求a的取值范圍 分析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷參數(shù)的取值范圍 解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對一元二次不等式求解的問題 已知x 0 證明 不等式 x ln 1 x 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 點評 本題通過構(gòu)造一個函數(shù) 再由此函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的值域 從而證得結(jié)論 已知x R 求證 ex x 1 分析 首先應(yīng)構(gòu)造函數(shù) 對函數(shù)進行求導(dǎo) 并判斷函數(shù)的單調(diào)性 點評 本例的實質(zhì)是判斷函數(shù)的單調(diào)性 關(guān)鍵是根據(jù)所證不等式構(gòu)造函數(shù)f x 求導(dǎo)數(shù)f x 后 根據(jù)x的取值范圍確定單調(diào)性 再由單調(diào)性及端點函數(shù)值獲證