2019高考物理系列模型之過程模型 專題08 圓周運動模型（3）學案.doc

專題08 力學中圓周運動模型(3)模型界定本模型只局限于力學范圍內的圓周運動,(一)討論圓周運動中的傳動及水平面內的勻速圓周運動,(二)討論豎直平面內的圓周運動及天體的圓周運動問題.本模型不涉及電磁學范圍內的圓周運動，電磁學范圍內的圓周運動另有等效重力場、動態(tài)圓模型等進行專題研究.模型破解3.圓周運動中的動力學問題(ii)豎直平面內的圓周運動圓周運動中的速度在向心加速度的表達式中,v是物體相對圓心的瞬時速度,在圓心靜止時才等于物體的對地速度變速圓周運動中的向心力在變速圓周運動中,向心力不是物體所受合外力,是物體在半徑方向上的合力.豎直平面內圓周運動的類型豎直平面內的圓周運動分為勻速圓周運動和變速圓周運動兩種常見的豎直平面內的圓周運動是物體在軌道彈力（或繩、桿的彈力）與重力共同作用下運動，多數(shù)情況下彈力（特別是繩的拉力與軌道的彈力）方向與運動方向垂直對物體不做功，而重力對物體做功使物體的動能不斷變化，因而物體做變速圓周運動若物體運動過程中，還受其他力與重力平衡，則物體做勻速圓周運動變速圓周運動中的正交分解應用牛頓運動定律解答圓周運動問題時，常采用正交分解法.以物體所在的位置為坐標原點，建立相互垂直的兩個坐標軸：一個沿半徑（法線）方向，此方向上的合力即向心力改變物體速度的方向；另一個沿切線方向，此方向的合力改變物體速度的大小處理豎直平面內圓周運動的方法在物體從一點運動至另點的過程中速度之間的聯(lián)系由能量觀點（動能定理、機械能守恒定律）列方程,在物體經過圓周上某一點時速度與外力之間的聯(lián)系由牛頓運動定律列方程,兩類方程相結合是解決此類問題的有效方法豎直平面內變速圓周運動的最高點與最低點例1.如圖所示，質量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑.某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動,已知重力加速度為g,空氣阻力不計,要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力,則A.該盒子做勻速圓周運動的周期一定小于B.該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于C.盒子在最低點時盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mgD.盒子在最低點時盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mg【答案】例.一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑叫做A點的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿與水平面成角的方向以速度v0拋出，如圖（b）所示。則在其軌跡最高點P處得曲率半徑是A B C D 【答案】【解析】物體做斜拋運動，運動中只受重力作用，到達最高點時速度v沿水平方向，大小等于v0cos,因軌跡上點的曲率圓圓心在點正下方，由牛頓第二定律，故有，正確模型演練1.如圖所示，物體A放在粗糙板上隨板一起在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，且板始終保持水平，位置、在同一水平高度上，則A.物體在位置、時受到的彈力都大于重力B.物體在位置、時受到的彈力都小于重力C.物體在從位置運動到位置的過程中受到的摩擦力先增大后減小D.物體在從位置運動到位置的過程中受到的摩擦力先減小后增大【答案】【解析】:如圖所示, (I)輕繩模型如圖1所示,此模型包括沿圓形軌道內側運動的小球,其共同特征是在最高點時均無支撐.a小球能通過最高點的條件如圖2所示,在最高點A:、即b小球能過最高點A的臨界條件、c小球能做完整圓周運動時在最低點B滿足的條件d小球不脫離軌道在最低點B滿足的條件或e小球沿圓周運動過程中繩中張力變化情況在最低點繩中張力最大,在最高點時繩中張力最小,此兩點處繩中張力大小差值恒定,即.小球從圓周的最低點運動至最高點的過程中,繩中張力單調減小.f變速圓周上的最高點與最低點小球位于最高點處時:動能最小、勢能最大、繩中張力最小,小球在此處最易脫軌,小球在此處不脫軌是保證小球做完整圓周運動的充要條件.小球位于最高點處時:動能最大、勢能最小、繩中張力最大,繩在此處最易斷裂.g圓周運動中的能量小球沿圓周運動過程中只受到重力與繩的拉力,運動中機械守恒.但滿足能量守恒的過程不一定能夠發(fā)生,需注意小球脫離軌道后做斜上拋運動,動能不能全部轉化為重力勢能.例.過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數(shù)點后一位數(shù)字。試求（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大?。唬?）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離?！敬鸢浮浚ǎ?（）.m（）當時， ；當時，【解析】（1）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1根據(jù)動能定理 小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律 由得 （2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意 由得 （3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：I軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足 由得 II軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動能定理 解得 為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足 解得 R3=27.9m 當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L，則 例4.如圖所示，質量為m的小球用細繩拴住，在豎直平面內做圓周運動，已知小球運動到最高點時對繩的拉力為mg，則小球運動到最低點時對繩的拉力為（ ）A3mgB5mgC7mgD9mg【答案】【解析】在最高點：，在最低點：由機械能守恒定律：；由此可得正確選項為C 例5.如圖所示，半徑r= 05m的光滑圓軌道被豎直固定在水平地面上，圓軌道最低處有一小球（小球的半徑比r小很多）?，F(xiàn)給小球一個水平向右的初速度v0，要使小球不脫離軌道運動，v0應滿足（ ）Av05m/s Bv02m/sCv0m/s Dv0m/s【答案】守恒有，聯(lián)立可解得，答案為D。例6.如圖所示，質量為m的小球，由長為l的細線系住，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內做圓周運動，不計線與釘子碰撞時的能量損失求釘子位置在水平線上的取值范圍【答案】lxl 【解析】這是一個圓周運動與機械能兩部分知識綜合應用的典型問題題中涉及兩個臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個是在圓周運動的最高點的瞬時速度必須不小于（r是做圓周運動的半徑）設在D點繩剛好承受最大拉力，設DE=x1，則：AD=懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r1=lAD= l當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v，由牛頓第二定律有：Fmg= 結合F9mg可得：8mg 由機械能守恒定律得：mg (+r1)=mv12即：v2=2g (+r1) 由式聯(lián)立解得：x1l 隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x2，如圖，則：AG=r2=lAG= l 在最高點：mg 由機械能守恒定律得：mg (r2)=mv22 由聯(lián)立得：x2l 在水平線上EF上釘子的位置范圍是：lxl 例7.一小球以初速度v0豎直上拋，它能到達的最大高度為H，下列幾種情況中，哪種情況小球不可能達到高度H（忽略空氣阻力） A以初速v0沿光滑斜面向上運動（圖a）B以初速v0沿光滑的拋物線軌道從最低點向上運動（圖b）C以初速v0沿半徑為R的光滑圓軌道從最低點向上運動（圖c，）D以初速v0沿半徑為R的光滑圓軌道從最低點向上運動（圖d、R>H）【答案】有水平方向上的速度,物體的動能不能全部重力勢能,則其上升的高度必小于H,答案為C.模型演練2.光滑的水平軌道AB與半徑為R的光滑的半圓形軌道BCD相切于B點，其中圓軌道在豎直平面內，B為最低點，D為最高點。一質量為m的小球以初速度v0沿AB運動，恰能通過最高點，則 AR越大，v0越大BR越大，小球經過B點后的瞬間對軌道的壓力越大Cm越大，v0越大Dm與R同時增大，初動能Ek0增大【答案】【解析】從點到點由機械能守恒有，在及點由牛頓第二定律有、，聯(lián)立可解得，可見正確錯誤3.如圖所示，質量為m的小球在豎直面內的光滑圓形軌道內側做圓周運動，通過最高點且剛好不脫離軌道時的速度為v，則當小球通過與圓心等高的A點時，對軌道內側的壓力大小為Amg B2mg C3mg D5mg【答案】【解析】:在最高點剛好不脫離軌道時，在A點時所需向心力水平，則向心力剛好完全由軌道的彈力來提供，再由機械能守恒有，聯(lián)立可解得C項結果。.如圖所示，在同一豎直平面內有兩個正對著的半圓形晃滑軌道，軌道的半徑都是R。軌道端點所在的水平線相隔一定的距離。一質量為m的小球能在其間運動而不脫離軌道，經過最低點B時的速度為。小球在最低點B與最高點A對軌道的壓力之差為。不計空氣阻力。則A、一定時，R越大，一定越大B、一定時，越大，一定越大C、R一定時，越大，一定越大D、R一定時，越大，一定越大【答案】結合表達式可知A錯誤C正確。5.質量為m的小球由長為L的細線系住，細線的另一端固定在 A點，AB是過A的豎直線，且AB=L，E為AB的中點，過E作水平線 EF，在EF上某一位置釘一小釘D，如圖所示現(xiàn)將小球懸線拉至水平，然后由靜止釋放，不計線與釘碰撞時的機械能損失(1)若釘子在E點位置，則小球經過B點前后瞬間，繩子拉力分別為多少？(2)若小球恰能繞釘子在豎直平面內做圓周運動，求釘子D的位置離E點的距離x(3)保持小釘D的位置不變，讓小球從圖示的P點靜止釋放，當小球運動到最低點時，若細線剛好達到最大張力而斷開，最后小球運動的軌跡經過B點試求細線能承受的最大張力T【答案】（）3mg ，5mg（）L （）mg【解析】:(1)mgl=mv2 T1-mg=mT2-mg=m T1=3mg T2=5mg (3)小球做圓周運動到達最低點時，速度設為v2 則 T-mg=m 以后小球做平拋運動過B點，在水平方向有x=v2t 在豎直方向有：L/2-r=gt2 由式可得T=mg6.質量為m的小球，用輕軟繩系在邊長為a的正方形截面木柱的頂角A處（木柱水平，圖中斜線部分為其豎直橫截面），如圖2，軟繩長為4a，軟繩所能承受的最大拉力為，軟繩開始時拉直并處于水平狀態(tài)。問此時至少應以多大的初速度豎直下拋小球，才能使繩繞在木柱上且各小段均做圓周運動最后擊中A點?！敬鸢浮縑0【解析】在最低點，對小球應用牛頓第二定律得：由上式可看出，R1小時，T大，繩子易斷。故小球在最低點時，應取以B為圓心，即R1=3a，并保障繩子不能被拉斷。設開始下拋的初速度為V0，從開始至最低點應用機械能守恒定律得：聯(lián)立以上三式可得：若小球恰好能通過最高點，則在最高點處有：，由該式可見R2最大時，通過最高點所需V2越大，故應取C點為圓心，即R2=2a，才能完成圓周運動。從開始至最高點應用機械能守恒定律得：聯(lián)立以上各式可解得：故所求為：V07.如圖所示，P點與 N點等高，Q點有一光滑釘子，Q點與E點等高，O是擺的懸點，O、 N、Q、M在同一豎直線上.Q為MN的中點.將質量為m的擺球拉到與豎直方向成60的P點后無初速釋放.當球擺到最低點時懸線被釘子擋住，球沿以Q為中心的圓弧繼續(xù)運動，下列對小球第一次過M點后的描述和最終狀態(tài)的描述中正確的是A.在過M點后小球向左擺到 N點后自由下落B.在過M點后小球將在 NM之間做自由下落C.在過M點的瞬間，繩對小球的拉力為小球重力的5倍D.小球最終將繞Q點來回擺動【答案】【解析】:設擺線長OP為l，在P點靜止釋放后，由機械能守恒定律知，小球通過E點時的速度為又由于P與 N等高，E N為圓周的部分軌道，任何一點都具有速度，所以選項AB錯誤.小球在過M點的瞬間，繩對小球的拉力與球的重力的合力提供其做圓周運動的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：又據(jù)機械能守恒定律得：聯(lián)立得： 8.曉明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動，當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉。球飛離水平距離d后落地，如題圖所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為3d/4，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力。(1) 求繩斷時球的速度大小v1和球落地時球的速度大小v2(2) 問繩承受的最大拉力多大?(3) 改變繩長,使球重復上述運動.若繩仍在球運動到最低點時斷掉,要使球拋出的水平距離最大,繩長應為多少?最大水平距離為多少?【答案】（），（）mg（）當L=d/2時，xmax=d.【解析】:(1)設繩斷后球飛行的時間為t,由平拋運動規(guī)律有豎直方向水平方向聯(lián)立解得由機械能守恒定律有解得(2)設繩能承受的拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力。球做圓周運動的半徑為R=3d/4對小球運動到最低點，由牛頓第二定律和向心力公式有T-mg=m v12/R，聯(lián)立解得T=mg。(3)設繩長為L，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變，有T-mg=m v32/L解得v3=。繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-L，水平位移為x，飛行時間為t1，根據(jù)平拋運動規(guī)律有d-L=gt12，x= v3 t1聯(lián)立解得x=4. 當L=d/2時，x有極大值，最大水平距離為xmax=d. 9.如圖所示,一物體以速度v0沖向光滑斜面AB，并剛好能沿斜面升高h,下列說法正確的是A.若把斜面從C點鋸斷，由機械能守恒定律知,物體沖出C點后仍能升高hB.若把斜面彎成如圖所示的半圓弧狀，物體仍能沿升高成hC.若把斜面從C點鋸斷或彎成如圖所示的半圓弧狀，物體都不能升高h，因為機械能不守恒D.若把斜面從C點鋸斷或彎成如圖所示的半圓弧狀,物體都不能升高h,但機械能仍守恒【答案】 10.半徑為R的圓桶固定在小車上，有一個光滑的小球靜止在圓桶最低點，如圖所示。小車以速度v向右勻速運動，當小車遇到障礙物時，突然停止運動，在這之后，關于小球在圓桶中上升的高度的判斷，正確的是 A不可能等于v2/2gB不可能大于v2/2gC不可能小于v2/2gD不可能等于2R【答案】【解析】當，小球能上升的最大高度不大于圓心所在高度，小球速度能在軌道上減小到零，動能可全部轉化為重力勢能，由能量守恒知小球上升的最大高度；當，小球上升到圓心上方某處時離開軌道做斜上拋運動，到達最高點時速度不為零，即初動能不能全部轉化為重力勢能，有；當，小球可在豎直平面內做完整的圓周運動，故只有正確(II)輕桿模型如圖3所示,此模型包括沿圓形管軌道內運動的小球、套在光滑環(huán)上的小球,其共同特征是在最高點時均有支撐.a小球能通過最高點的條件如圖4所示,在最高點C:b小球能過最高點C的臨界條件、c小球能做完整圓周運動時在最低點D滿足的條件d小球沿圓周運動過程中桿中彈力變化情況在最低點桿中彈力最大,在最高點時桿中彈力不一定最小:若,桿中彈力方向向上,大小為若,桿中彈力方向向上,大小小于重力,大小隨此點速度的增大而減小.若,桿中無彈力若,桿中彈力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,大小 隨此點速度的增大而增大此兩點處當桿中彈力都是拉力時,其大小差值恒定,即;若在最高點C處桿中彈力為推力時,此兩點處彈力大小之和恒定,即.小球從圓周的最低點運動至最高點的過程中,桿中彈力不一定是單調減小的.例7.如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球Ab大小相同，質量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動.兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是A當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mgB當v=時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力C速度v至少為，才能使兩球在管內做圓周運動D只要v,小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力都大6mg【答案】【解析】小球在最高點恰好對軌道沒有壓力時，小球b所受重力充當向心力，mgm即v0.小球從最高點運動到最低點過程中，只有重力做功，小球的機械能守恒，2mgRmv02mv2，解以上兩式可得：v，B項正確；小球在最低點時，F(xiàn)向m5mg，在最高點和最低點所需向心力的差為4mg，A項錯；小球在最高點，內管對小球可以提供支持力，所以小球通過最高點的最小速度為零，再由機械能守恒定律可知，2mgRmv2，解得v2，C項錯；當v時，小球在最低點所受支持力F1mg，由最低點運動到最高點，2mgRmv12mv2，小球對軌道壓力F2mgm，解得F2m5mg，F(xiàn)1F26mg，可見小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力大6mg，D項正確