2019年高考數學二輪復習 專題三 三角函數 專題能力訓練10 三角變換與解三角形 文.doc

專題能力訓練10三角變換與解三角形一、能力突破訓練1.(2018全國,文4)若sin =,則cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知cos(-2)sin-4=-22,則sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),則A=()A.34B.3C.4D.64.(2018全國,文7)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB=()A.42B.30C.29D.255.若2,3cos 2=sin4-,則sin 2的值為()A.118B.-118C.1718D.-17186.若tan-4=16,則tan =.7.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.8.在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.9.已知函數f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.10.設ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范圍.11.設f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面積的最大值.二、思維提升訓練12.若0<<2,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,則cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=()A.12B.6C.4D.314.(2018全國,文11)已知角的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos 2=,則|a-b|=()A.B.55C.255D.115.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則BDC的面積是,cosBDC=.16.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,則b=.17.(2018全國,文16)ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則ABC的面積為.18.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.專題能力訓練10三角變換與解三角形一、能力突破訓練1.B解析 cos 2=1-2sin2=1-2132=79.2.D解析 cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故選D.3.C解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因為b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因為A(0,),所以A=4.4.A解析 cos C=2cos2C2-1=-,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+215=32.AB=42.5.D解析 3cos 2=sin4-,3cos2-3sin2=22(sin -cos ),又2,sin -cos 0,3(sin +cos )=-22.平方求得sin 2=-1718.6.解析 方法一:tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-161=75.方法二:因為tan-4=tan-tan41+tantan4=tan-11+tan=16,所以tan =75,答案為75.7.3解析 由題意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因為B(0,),所以B=3.8.解 (1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13,可得sin A=223,則sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.9.解 (1)由sin23=32,cos23=-,f23=322-122-2332-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數的性質得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是6+k,23+k(kZ).10.(1)證明 由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B為鈍角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)解 由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A>0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因為0<A<4,所以0<sin A<22,因此22<-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范圍是22,98.11.解 (1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間是-4+k,4+k(kZ);單調遞減區(qū)間是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由題意知A為銳角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且當b=c時等號成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面積的最大值為2+34.二、思維提升訓練12.C解析 cos4+=13,0<<2,sin4+=223.又cos4-2=33,-2<<0,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.13.B解析 由題意結合三角形的內角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,則sin C(sin A+cos A)=0,因為sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因為A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故選B.14.B解析 因為cos 2=2cos2-1=,所以cos2=,sin2=.所以tan2=,tan =55.由于a,b的正負性相同,不妨設tan >0,即tan =55,由三角函數定義得a=55,b=255,故|a-b|=55.15.152104解析 如圖,取BC中點E,DC中點F,由題意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF為銳角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.綜上可得,BCD的面積是152,cosBDC=104.16.2113解析 因為cos A=,cos C=513,且A,C為ABC的內角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因為asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.17.233解析 由正弦定理及條件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,設ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2R,所以a=R.因為b2+c2-a2=8>0,所以cos A>0,0<A<2,因為asinA=2R,所以sin A=12,A=30,所以cos A=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=233.18.解 (1)因為a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因為x0,所以x+66,76,從而-1cosx+632.于是,當x+6=6,即x=0時,f(x)取到最大值3;當x+6=,即x=56時,f(x)取到最小值-23.