2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何學(xué)案 理.doc

專題五 解析幾何全國卷3年考情分析第一講 小題考法直線與圓考點(diǎn)(一) 直線的方程主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個距離公式的應(yīng)用. 典例感悟典例(1)“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件(2)過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為()Ay2 B4x3y20Cx2 Dy2或4x3y20解析(1)因?yàn)閮芍本€平行，所以22ab0，可得ab4，必要性成立，又當(dāng)a1，b4時，滿足ab4，但是兩直線重合，充分性不成立，故選C.(2)由得l1與l2的交點(diǎn)為(1,2)當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x1時，顯然不滿足題意當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)該直線方程為y2k(x1)，即kxy2k0，點(diǎn)P(0,4)到直線的距離為2，2，k0或k.直線方程為y2或4x3y20.答案(1)C(2)D方法技巧直線方程問題的2個關(guān)注點(diǎn)(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的情況(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況演練沖關(guān)1(2018洛陽模擬)已知直線l1：xmy10，l2：nxyp0，則“mn0”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C若mn0，當(dāng)mn0時，直線l1：x10與直線l2：yp0互相垂直；當(dāng)mn0時，直線l1的斜率為，直線l2的斜率為n，(n)m1，l1l2.當(dāng)l1l2時，若m0，l1：x10，則n0，此時mn0；若m0，則(n)1，即nm，有mn0.故選C.2若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A. B. C. D.解析：選B由l1l2，得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2間的距離d.3直線x2y30與直線ax4yb0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對稱，則b_.解析：因?yàn)閮芍本€關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對稱，在直線x2y30上取兩點(diǎn)M(1,1)，N(5，1)，M，N關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對稱的點(diǎn)分別為M(1，1)，N(3,1)，則M(1，1)，N(3,1)都在直線ax4yb0上，即解得ab2.答案：2考點(diǎn)(二) 圓 的 方 程主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題.典例感悟典例(1)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.B.C. D.(2)已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_解析(1)設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，ABC外接圓的圓心為，故ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 .(2)易知直線xy10與x軸的交點(diǎn)為(1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)因?yàn)橹本€xy30與圓C相切，所以圓心(1,0)到直線xy30的距離等于半徑r，即r，所以圓C的方程為(x1)2y22.答案(1)B(2)(x1)2y22方法技巧圓的方程的2種求法待定系數(shù)法根據(jù)題意，選擇方程形式(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程)；根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；解出a，b，r或D、E、F，代入所選的方程中即可幾何法在求圓的方程過程中，常利用圓的一些性質(zhì)或定理直接求出圓心和半徑，進(jìn)而可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程常用的幾何性質(zhì)有：圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點(diǎn)與兩圓圓心在一條直線上演練沖關(guān)1(2018長沙模擬)與圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：選D圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可由題意知已知圓的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則解得所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(1，)，半徑為2.從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.2(2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x24y的焦點(diǎn)，且該圓與直線yx3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：拋物線x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)2r2(r0)，因?yàn)樵搱A與直線yx3相切，所以r，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)22.答案：x2(y1)223(2018惠州調(diào)研)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.綜上，解得a2，b1，r2，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)244已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_解析：由二元二次方程表示圓的條件可得a2a20，解得a2或1.當(dāng)a2時，方程為4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圓；當(dāng)a1時，方程為x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，則圓心坐標(biāo)為(2，4)，半徑是5.答案：(2，4)5考點(diǎn)(三) 直線與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決弦長問題、參數(shù)問題或與圓有關(guān)的最值范圍問題.典例感悟典例(1)(2019屆高三齊魯名校聯(lián)考)已知圓x22xy22my2m10，當(dāng)圓的面積最小時，直線yxb與圓相切，則b()A1B1C D.(2)(2018全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3(3)已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2(y1)21上運(yùn)動，則的最大值與最小值分別為_解析(1)由題意可知，圓x22xy22my2m10化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1)2(ym)2m22m2，圓心為(1，m)，半徑r，當(dāng)圓的面積最小時，半徑r1，此時m1，即圓心為(1,1)，由直線和圓相切的條件可知1，解得b.故選C.(2)設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得|AB|2，所以ABP面積的最大值為|AB|dmax6，ABP面積的最小值為|AB|dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,6(3)設(shè)k，則k表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)A(2,1)連線的斜率當(dāng)直線PA與圓相切時，k取得最大值與最小值設(shè)過(2,1)的直線方程為y1k(x2)，即kxy12k0.由1，解得k.答案(1)C(2)A(3)，方法技巧1直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路(1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實(shí)現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的大小關(guān)系(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算2與圓有關(guān)最值問題的求解策略處理與圓有關(guān)的最值問題時，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想求解與圓有關(guān)的最值問題，常見類型及解題思路如下：常見類型解題思路圓的面積最小問題轉(zhuǎn)化為求半徑最小問題圓上的點(diǎn)到圓外的點(diǎn)(直線)的距離的最值應(yīng)先求圓心到圓外的點(diǎn)(直線)的距離，再加上半徑或減去半徑求得最值型轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題taxby型轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解m(xa)2(yb)2型轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方的最值問題演練沖關(guān)1(2018寧夏銀川九中模擬)直線l：kxy40(kR)是圓C：x2y24x4y60的一條對稱軸，過點(diǎn)A(0，k)作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長為()A. B.C. D2解析：選C圓C：x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，表示以C(2,2)為圓心，為半徑的圓由題意可得，直線l：kxy40經(jīng)過圓心C(2,2)，所以2k240，解得k3，所以點(diǎn)A(0,3)，故直線m的方程為yx3，即xy30，則圓心C到直線m的距離d，所以直線m被圓C所截得的弦長為2 .故選C.2(2018江蘇蘇州二模)已知直線l1：x2y0的傾斜角為，傾斜角為2的直線l2與圓M：x2y22x2yF0交于A，C兩點(diǎn)，其中A(1,0)，B，D在圓M上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積的最大值是_解析：由題意知，tan ，則tan 2.直線l2過點(diǎn)A(1,0)，則l2：y(x1)，即4x3y40，又A是圓M上的點(diǎn)，則(1)22(1)F0，得F1，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)21，圓心M(1,1)，其到l2的距離d.則|AC|2.因?yàn)锽，D兩點(diǎn)在圓上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積可以看成是ABC和ACD的面積之和，如圖所示，當(dāng)BD垂直平分AC(即BD為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，此時AC，BD相交于點(diǎn)E，則最大面積S|AC|BE|AC|DE|AC|BD|2.答案：3(2018廣西桂林中學(xué)5月模擬)已知從圓C：(x1)2(y2)22外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|PO|，則當(dāng)|PM|取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(1,2)，半徑r.因?yàn)閨PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可當(dāng)PO垂直于直線2x4y30時，即PO所在直線的方程為2xy0時，|PM|的值最小，此時點(diǎn)P為兩直線的交點(diǎn)，則解得故當(dāng)|PM|取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案： 必備知能自主補(bǔ)缺依據(jù)學(xué)情課下看，針對自身補(bǔ)缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干主干知識要記牢1直線方程的五種形式點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)斜截式y(tǒng)kxb(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)兩點(diǎn)式(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不能表示坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)截距式1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不能表示坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)一般式AxByC0(其中A，B不同時為0)2點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線AxByC0的距離為d.(2)兩平行線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離為d.3圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)(3)圓的直徑式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2)4直線與圓位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：>0相交，<0相離，0相切(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r相交，d>r相離，dr相切5圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則(1)當(dāng)|O1O2|r1r2時，兩圓外離；(2)當(dāng)|O1O2|r1r2時，兩圓外切；(3)當(dāng)|r1r2|O1O2|r1r2時，兩圓相交；(4)當(dāng)|O1O2|r1r2|時，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0|O1O2|r1r2|時，兩圓內(nèi)含二級結(jié)論要用好1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.針對練1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2y2r2上，則圓過該點(diǎn)的切線方程為：x0xy0yr2.針對練2過點(diǎn)(1，)且與圓x2y24相切的直線l的方程為_解析：點(diǎn)(1，)在圓x2y24上，切線方程為xy4，即xy40.答案：xy40易錯易混要明了1易忽視直線方程幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時，未討論截距為0的情況，直接設(shè)為1；再如，未討論斜率不存在的情況直接將過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線設(shè)為yy0k(xx0)等針對練3已知直線過點(diǎn)P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_解析：當(dāng)截距為0時，直線方程為5xy0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為1，代入P(1,5)，得a6，直線方程為xy60.答案：5xy0或xy602討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直，若一條直線的斜率不存在，則另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20垂直的充要條件A1A2B1B20，就可以避免討論針對練4已知直線l1：(t2)x(1t)y1與l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，則t的值為_解析：l1l2，(t2)(t1)(1t)(2t3)0，解得t1或t1.答案：1或13求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解針對練5兩平行直線3x4y50與6x8y50間的距離為_解析：把直線6x8y50化為3x4y0，故兩平行線間的距離d.答案：4易誤認(rèn)為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解針對練6已知兩圓x2y22x6y10，x2y210x12ym0相切，則m_.解析：由x2y22x6y10，得(x1)2(y3)211，由x2y210x12ym0，得(x5)2(y6)261m.當(dāng)兩圓外切時，有，解得m2510；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有，解得m2510.答案：2510A級124提速練一、選擇題1已知直線l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，則實(shí)數(shù)a的值為()AB0C或0 D2解析：選C由l1l2得1(a)2a(a1)，即2a23a0，解得a0或a.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a0或a時均有l(wèi)1l2，故選C.2(2018貴陽模擬)經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圓的面積S()A B2C3 D4解析：選D法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，將A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐標(biāo)代入圓的方程可得解得D2，E0，F(xiàn)3，所以圓的方程為x2y22x30，即(x1)2y24，所以圓的半徑r2，所以S4.故選D.法二：根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知圓心在直線x1上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(1，a)，則r|a2|，所以a0，r2，所以S4，故選D.3已知圓(x1)2y21被直線xy0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為()A12 B13C14 D15解析：選A(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d，所以較短弧所對的圓心角為，較長弧所對的圓心角為，故兩弧長之比為12，故選A.4(2018山東臨沂模擬)已知直線3xay0(a>0)被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則a的值為()A. B.C2 D2解析：選B由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為，即，得a.5(2018鄭州模擬)已知圓(xa)2y21與直線yx相切于第三象限，則a的值是()A. BC D2解析：選B依題意得，圓心(a,0)到直線xy0的距離等于半徑，即有1，|a|.又切點(diǎn)位于第三象限，結(jié)合圖形(圖略)可知，a，故選B.6(2018山東濟(jì)寧模擬)已知圓C過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線xy4上，若直線x2yt0與圓C相切，則t的值為()A62 B62C26 D64解析：選B因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線yx上，又圓心C在直線xy4上，聯(lián)立解得xy2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r2.又直線x2yt0與圓C相切，所以2，解得t62.7若過點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x2y26x8y210相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，l與直線x2y20的交點(diǎn)為N，則|AM|AN|的值為()A5 B6C7 D8解析：選B圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x3)2(y4)24，故圓心C(3,4)，半徑為2，則可設(shè)直線l的方程為kxyk0(k0)，由得N，又直線CM與l垂直，得直線CM的方程為y4(x3)由得M，則|AM|AN|6.故選B.8(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于2的點(diǎn)有()A1個 B2個C3個 D4個解析：選B圓(x3)2(y3)29的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x4y110的距離d2，圓上到直線3x4y110的距離為2的點(diǎn)有2個故選B.9圓x2y21上的點(diǎn)到直線3x4y250的距離的最小值為()A4 B3C5 D6解析：選A易知圓x2y21的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為1，圓心到直線3x4y250的距離d5，所以圓x2y21上的點(diǎn)到直線3x4y250的距離的最小值為514.10(2019屆高三西安八校聯(lián)考)若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x1)2y21有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()A(，) B， C. D.解析：選D數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x3)，則圓心(1,0)到直線yk(x3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即1，解得k，故選D.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2|PB|24且在圓x2y24上的點(diǎn)P的個數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選C設(shè)P(x，y)，則由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，所以xy20.求滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)即為求直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)，圓心到直線的距離d2r，所以直線與圓相交，交點(diǎn)個數(shù)為2.故滿足條件的點(diǎn)P有2個12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B(1，1)，P為圓x2y22上一動點(diǎn)，則的最大值是()A1 B3C2 D.解析：選C設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，令t(t>0)，則t2，整理得，(1t2)x2(1t2)y22x(24t2)y24t20，(*)易知當(dāng)1t20時，(*)式表示一個圓，且動點(diǎn)P在該圓上，又點(diǎn)P在圓x2y22上，所以點(diǎn)P為兩圓的公共點(diǎn)，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線l的方程為x(12t2)y23t20，所以圓心(0,0)到直線l的距離d，解得0<t2，所以的最大值為2.二、填空題13(2018全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圓心C(0，1)，半徑r2.圓心C(0，1)到直線xy10的距離d，|AB|222.答案：214如果直線ax2y3a0與直線3x(a1)ya7平行，則a_.解析：由直線ax2y3a0與直線3x(a1)y7a0平行，可得解得故a3.答案：315過點(diǎn)M的直線l與圓C：(x1)2y24交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)ACB最小時，直線l的方程為_解析：易知當(dāng)CMAB時，ACB最小，直線CM的斜率為kCM2，從而直線l的斜率為kl，其方程為y1，即2x4y30.答案：2x4y3016(2018南寧、柳州模擬)過點(diǎn)(，0)作直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90時，AOB的面積取得最大值，此時過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30，則直線AB的傾斜角為150，故直線AB的斜率為tan 150.答案：B級難度小題強(qiáng)化練1(2018重慶模擬)已知圓C：(x2)2y22，直線l：ykx，其中k為，上的任意一個數(shù)，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為()A. B.C. D.解析：選D當(dāng)直線l與圓C相離時，圓心C到直線l的距離d>，解得k>1或k<1，又k，所以k<1或1<k，故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P，故選D.2(2018合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：選B圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1)2(y1)24，圓心C(1,1)，半徑r2，當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為x0，計(jì)算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k，此時方程為yx3，即3x4y120.綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.3(2018安徽黃山二模)已知圓O：x2y21，點(diǎn)P為直線1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()A. B.C. D.解析：選B因?yàn)辄c(diǎn)P是直線1上的一動點(diǎn)，所以設(shè)P(42m，m)因?yàn)镻A，PB是圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以O(shè)APA，OBPB，所以點(diǎn)A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)是，且半徑的平方r2，所以圓C的方程為(x2m)22，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直線方程為(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直線AB過定點(diǎn).故選B.4.(2018南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y2x1與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則cosAOB()A. BC. D解析：選D法一：因?yàn)閳Ax2y24的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y2x1的距離d，所以弦長|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.法二：取AB的中點(diǎn)D，連接OD(圖略)，則ODAB，且AOB2AOD，又圓心到直線的距離d，即|OD|，所以cosAOD，故cosAOB2cos2AOD1221.5已知圓C：x2y22x4y10上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：xmy10對稱，經(jīng)過點(diǎn)M(m，m)作圓C的切線，切點(diǎn)為P，則|MP|_.解析：圓C：x2y22x4y10的圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑r2，因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，所以直線l：xmy10過點(diǎn)(1,2)，所以12m10，得m1，所以M(1，1)，|MC|2(11)2(21)213，r24，所以|MP|3.答案：36(2019屆高三湘中名校聯(lián)考)已知m>0，n>0，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是_解析：因?yàn)閙>0，n>0，直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，所以圓心C(1,1)到直線的距離d1，即|mn|，兩邊平方并整理得mn1mn2，即(mn)24(mn)40，解得mn22，所以mn的取值范圍為22，)答案：22，)第二講 小題考法圓錐曲線的方程與性質(zhì)考點(diǎn)(一)圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程主要考查圓錐曲線的定義及其應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.典例感悟典例(1)(2017全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1B.1C.1 D.1(2)(2018重慶模擬)已知點(diǎn)F是拋物線y24x的焦點(diǎn)，P是該拋物線上任意一點(diǎn)，M(5,3)，則|PF|PM|的最小值是()A6 B5C4 D3(3)(2018湖北十堰十三中質(zhì)檢)一個橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析(1)根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為yx，可知.又橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根據(jù)可知a24，b25，所以C的方程為1.(2)由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x1，過點(diǎn)P作PEl于點(diǎn)E，由拋物線的定義，得|PE|PF|，易知當(dāng)P，E，M三點(diǎn)在同一條直線上時，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6，故選A.(3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由點(diǎn)P(2，)在橢圓上，知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，則.又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26，故橢圓的方程為1.答案(1)B(2)A(3)A方法技巧求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路方法(1)定型，即確定圓錐曲線的類型、焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程(2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22px或x22py(p0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn>0)演練沖關(guān)1.(2018合肥一模)如圖，橢圓1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)H.若F1，H是線段MN的三等分點(diǎn)，則F2MN的周長為()A20 B10C2 D4解析：選D由F1，H是線段MN的三等分點(diǎn)，得H是F1N的中點(diǎn)，又F1(c,0)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為c，聯(lián)立方程，得得N，H，M.把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程得1，化簡得c2，又c2a24，a24，解得a25，a.由橢圓的定義知|NF2|NF1|MF2|MF1|2a，F(xiàn)2MN的周長為|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故選D.2(2018河北五個一名校聯(lián)考)如果點(diǎn)P1，P2，P3，P10是拋物線y22x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若x1x2x3x105，則|P1F|P2F|P3F|P10F|_.解析：由拋物線的定義可知，拋物線y22px(p>0)上的點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10.答案：103.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線交于點(diǎn)A，B，若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，BF1F2的面積為_解析：由|AF1|AF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a，得|BF2|4a，在AF1F2中，|AF1|6a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F(xiàn)1AF260，由余弦定理得4c236a216a226a4a，化簡得ca，由a2b2c2得，a2247a2，解得a2，則雙曲線的方程為1，BF1F2的面積為|BF1|BF2|sinF1BF22a4a8.答案：18考點(diǎn)(二)圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計(jì)算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線的有關(guān)性質(zhì).典例感悟典例(1)(2018全國卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()AyxByxCyx Dyx(2)(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A. B.C. D.(3)(2018全國卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90，則k_.解析(1)e，a2b23a2，ba.漸近線方程為yx.(2)如圖，作PBx軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|PF2|2，則c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.(3)法一：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k.設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，MM平行于x軸，y1y22，k2.法二：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案(1)A(2)D(3)2方法技巧1橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程3拋物線幾何性質(zhì)問題求解策略涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性，還要注意拋物線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用演練沖關(guān)1(2018長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為()A. B.C2 D.解析：選C依題意，設(shè)雙曲線的漸近線yx的傾斜角為，則由雙曲線的對稱性得3，tan，雙曲線C的離心率e 2，選C.2(2018福州四校聯(lián)考)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與拋物線的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8，M為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABM的面積為()A16 B18C24 D32解析：選A不妨設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，如圖，因?yàn)橹本€l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直，所以線段AB為通徑，所以2p8，p4，又M為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)M到直線AB的距離即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為4，所以ABM的面積為8416，故選A.3(2018福州模擬)過橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A由題設(shè)知，直線l：1，即bxcybc0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將xc代入橢圓C的方程，得y，即圓的半徑r.又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以，化簡得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0<e<1，所以0<e.故選A.考點(diǎn)(三)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題.典例感悟典例(1)(2018開封模擬)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(c,0)作圓x2y2a2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線y24cx于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A.B.C.1 D.(2)(2018洛陽模擬)已知F是拋物線C1：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x3y2p0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，則()A16 B4C. D.(3)(2018南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1)，則橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析(1)拋物線y24cx的焦點(diǎn)F1(c,0)，準(zhǔn)線l：xc，連接PF1和EO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，如圖，則|PF1|2|EO|2a，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：xc的距離等于2a，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2ac，由點(diǎn)P在拋物線y24cx上，得P(2ac,2)連接OP，則|OP|OF|c，所以(2ac)222c2，解得e，故選D.(2)因?yàn)橹本€4x3y2p0過C1的焦點(diǎn)F(C2的圓心)，故|BF|CF|，所以.由拋物線的定義得|AF|xA，|DF|xD.由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16.故選A.(3)設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得，0，所以，所以，于是橢圓的離心率e，故選C.答案(1)D(2)A(3)C方法技巧處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點(diǎn)(1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等(2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實(shí)軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點(diǎn)的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等演練沖關(guān)1已知橢圓的短軸長為8，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，PF1F2的內(nèi)切圓面積的最大值為，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選C不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，則2b8，即b4，設(shè)PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則有SPF1F2(2a2c)r2c|yP|，即r，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到橢圓短軸的端點(diǎn)時，r有最大值，此時|yP|b，于是有，即3a5c，故橢圓的離心率e.2(2018全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D.解析：選C法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.3(2018貴陽模擬)過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為60的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|>|BF|，且|AF|2，則p_.解析：過點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線x作垂線，垂足分別為C，D，過點(diǎn)B向AC作垂線，垂足為E，A，B兩點(diǎn)在拋物線上，|AC|AF|，|BD|BF|.BEAC，|AE|AF|BF|，直線AB的傾斜角為60，在RtABE中，2|AE|AB|AF|BF|，即2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|.|AF|2，|BF|，|AB|AF|BF|.設(shè)直線AB的方程為y，代入y22px，得3x25px0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2p，|AB|x1x2p，p1.答案：1 必備知能自主補(bǔ)缺依據(jù)學(xué)情課下看，針對自身補(bǔ)缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干主干知識要記牢圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形幾何性質(zhì)軸長軸長2a，短軸長2b實(shí)軸長2a，虛軸長2b離心率e (0<e<1)e (e>1)e1漸近線yx二級結(jié)論要用好1橢圓焦點(diǎn)三角形的3個結(jié)論設(shè)橢圓方程是1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.2雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個結(jié)論P(yáng)(x0，y0)為雙曲線1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，PF1F2為焦點(diǎn)三角形(1)面積公式Sc|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a.3拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)弦AB的4個結(jié)論(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)|AB|(是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|xAxBp.4圓錐曲線的通徑(1)橢圓通徑長為；(2)雙曲線通徑長為；(3)拋物線通徑長為2p.5圓錐曲線中的最值(1)橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離為2a(長軸長)(2)雙曲線上兩點(diǎn)間的最小距離為2a(實(shí)軸長)(3)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最小距離與最大距離(4)拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離最短易錯易混要明了1利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支針對練1ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過點(diǎn)P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，|CA|CB|AD|BF|6.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案：1(x>3)2解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點(diǎn)的位置針對練2若橢圓1的離心率為，則k的值為_解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，a28k，b29，e2，解得k4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，a29，b28k，e2，解得k.