（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第二板塊 貫通4大數(shù)學思想——解得穩(wěn)講義 理（重點生含解析）.doc

第二板塊貫通4大數(shù)學思想解得穩(wěn)思想(一)函數(shù)方程穩(wěn)妥實用函數(shù)與方程思想的概念函數(shù)與方程思想的應用函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解方程是從算術方法到代數(shù)方法的一種質(zhì)的飛躍，有時，還可以將函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.函數(shù)與方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關求值、解(證明)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的.借助“顯化函數(shù)關系”，利用函數(shù)思想解決問題在方程、不等式、三角、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學問題中，將原有隱含的函數(shù)關系凸顯出來，從而充分運用函數(shù)知識或函數(shù)方法使問題順利獲解已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)設數(shù)列an的前n項和為Sn，bn，若對任意的nN*，不等式bnk恒成立，求實數(shù)k的最小值解(1)因為a12，aa2(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，所以公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1)，則bn.令f (x)2x(x1)，則f (x)2，當x1時，f (x)>0恒成立，所以f (x)在1，)上是增函數(shù)，故當x1時，f (x)minf (1)3，即當n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則需使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.技法領悟 數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式都具有隱含的函數(shù)關系，都可以看成關于n的函數(shù)，在解等差數(shù)列、等比數(shù)列問題時，有意識地凸現(xiàn)其函數(shù)關系，用函數(shù)思想或函數(shù)方法研究、解決問題 ，不僅能獲得簡便的解法，而且能促進科學思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維的水平應用體驗1已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正棱柱的體積取最大值時，其高的值為()A3B.C2 D2解析：選D設正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則可得a29，即a29，那么正六棱柱的體積Vhh.令y9h，則y9，令y0，解得h2.易知當h2時，y取最大值，即正六棱柱的體積最大2設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a312，S120，S13<0，則S1，S2，S3，S12中的最大項為_解析：由a312，得a1122d，所以S1214442d>0.S1313a178d15652d0，所以d3.Snna1ddn2n，由d0，Sn是關于n的二次函數(shù)，知對稱軸方程為n.又由d3，得6，所以當n6時，Sn最大答案：S63滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_解析：可設BCx，則ACx，根據(jù)面積公式得SABCABBCsin Bx.由余弦定理得cos B.則SABCx .由解得22x22.故當x2時，SABC取得最大值，最大值為2.答案：2轉(zhuǎn)換“函數(shù)關系”，利用函數(shù)思想解決問題在有關函數(shù)形態(tài)和曲線性質(zhì)或不等式的綜合問題、恒成立問題中，經(jīng)常需要求參數(shù)的取值范圍，如果按照原有的函數(shù)關系很難奏效時，不妨轉(zhuǎn)換思維角度，放棄題設的主參限制，挑選合適的主變元，揭示它與其他變元的函數(shù)關系，切入問題本質(zhì)，從而使原問題獲解已知函數(shù)f (x)lg，其中a為常數(shù)，若當x(，1時，f (x)有意義，則實數(shù)a的取值范圍為_解析參數(shù)a深含在一個復雜的復合函數(shù)的表達式中，欲直接建立關于a的不等式(組)非常困難，故應轉(zhuǎn)換思維角度，設法從原式中把a分離出來，重新認識a與變元x的依存關系，利用新的函數(shù)關系，使原問題“柳暗花明”由0，且a2a120，得12x4xa0，故a.當x(，1時，y與y都是減函數(shù)，因此，函數(shù)y在(，1上是增函數(shù)，所以max，所以a.故實數(shù)a的取值范圍是.答案發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關系，反客為主，主客換位，創(chuàng)設新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn)本題主客換位后，利用新建函數(shù)y的單調(diào)性巧妙地求出實數(shù)a的取值范圍此法也叫主元法技法領悟 應用體驗4設不等式2x1>m(x21)對滿足|m|2的一切實數(shù)m的取值都成立，則x的取值范圍為_解析：問題可以變成關于m的不等式(x21)m(2x1)<0在2,2上恒成立，設f (m)(x21)m(2x1)，則即解得<x<.故x的取值范圍為.答案：5已知橢圓C的離心率為，過上頂點(0,1)和左焦點的直線的傾斜角為，直線l過點E(1,0)且與橢圓C交于A，B兩點(1)求橢圓C的標準方程；(2)AOB的面積是否有最大值？若有，求出此最大值；若沒有，請說明理由解：(1)因為e，b1，所以a2，故橢圓C的標準方程為y21.(2)因為直線l過點E(1,0)，所以可設直線l的方程為xmy1或y0(舍去)聯(lián)立消去x并整理，得(m24)y22my30，(2m)212(m24)>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，則y1y2，y1y2，所以|y2y1|，所以SAOB|OE|y2y1|.設t，則g(t)t，t，所以g(t)10，所以g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以g(t)，所以SAOB，當且僅當m0時等號成立所以AOB的面積存在最大值，為.構(gòu)造“函數(shù)關系”，利用函數(shù)思想解決問題在數(shù)學各分支形形色色的問題或綜合題中，將非函數(shù)問題的條件或結(jié)論，通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造出某些函數(shù)關系，在此基礎上利用函數(shù)思想和方法使原問題獲解，這是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn)特別要注意的是，構(gòu)造時，要深入審題，充分發(fā)掘題設中可類比、聯(lián)想的因素，促進思維遷移設函數(shù)f (x)aexln x，曲線yf (x)在點(1，f (1)處的切線為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f (x)1.解(1)f (x)aex(x0)，由于直線ye(x1)2的斜率為e，圖象過點(1,2)，所以即解得(2)證明：由(1)知f (x)exln x(x0)，從而f (x)1等價于xln xxex.構(gòu)造函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當x時，g(x)0，當x，時，g(x)0，故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.構(gòu)造函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0；故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).綜上，當x0時，g(x)h(x)，即f (x)1.技法領悟?qū)τ诘?2)問“aexln x1”的證明，若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)aexln x1，求導以后不易分析，因此并不宜對其整體進行構(gòu)造函數(shù)，而應先將不等式“aexln x1”合理拆分為“xln xxex”，再分別對左右兩邊構(gòu)造函數(shù)，進而達到證明原不等式的目的應用體驗6已知函數(shù)yf (x)對于任意的x滿足f (x)cos xf (x)sin x1ln x，其中f (x)是函數(shù)f (x)的導函數(shù)，則下列不等式成立的是()A.f <f B.f >f C.f >f D.f <f 解析：選B令g(x)，則g(x).由解得<x<；由解得0<x<.所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為>>，所以g>g，所以>，即f >f ，故選B.7若0<x1<x2<1，則()Aee>ln x2ln x1Bee<ln x2ln x1Cx2e>x1e Dx2e<x1e解析：選C設f (x)exln x(0<x<1)，則f (x)ex.令f (x)0，得xex10.根據(jù)函數(shù)yex與y的圖象可知兩函數(shù)圖象交點x0(0,1)，因此函數(shù)f (x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，故A、B選項不正確設g(x)(0<x<1)，則g(x).又0<x<1，g(x)<0.函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù)又0<x1<x2<1，g(x1)>g(x2)，x2e>x1e，故選C.構(gòu)造“方程形式”，利用方程思想解決問題分析題目中的未知量，根據(jù)條件分別列出關于未知數(shù)的方程(組)，使原問題得到解決，這就是構(gòu)造方程法，是應用方程思想解決非方程問題的極富創(chuàng)造力的一個方面已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x交于不同的兩點A，B，問：是否存在實數(shù)k，使以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點F？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由解存在顯然F的坐標為(1,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)當k0時，l與C只有一個交點不合題意，因此，k0.將yk(x1)代入y24x，得k2x22(k22)xk20，依題意，x1，x2是式不相等的兩個根，則以AB為直徑的圓過FAFBFkAFkBF11x1x2y1y2(x1x2)10x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20.把x1x2，x1x21代入式，得2k210.k，經(jīng)檢驗，k適合式綜上所述，k為所求技法領悟 “是否存在符合題意的實數(shù)k”，按思路的自然流向應變?yōu)椤瓣P于k的方程是否有解”另外，解得k后，必須經(jīng)過式的檢驗，就是說，k時 ，直線l與拋物線C要確實有兩個不同的交點應用體驗8. 已知|a|2|b|0，且關于x的方程x2|a|xab0有實根，則a與b夾角的取值范圍為_解析：|a|2|b|0，且關于x的方程x2|a|xab0有實根，則|a|24ab0，設向量a，b的夾角為，則cos .所以a與b的夾角的取值范圍為.答案：9已知x，則函數(shù)y的最小值為_解析：將原函數(shù)變形為y2x25x20，x.設f (x)y2x25x2，該方程有解的充要條件為f f (2)0或解得y，所以ymin，此時x或x2.答案：轉(zhuǎn)換“方程形式”，利用方程思想解決問題把題目中給定的方程根據(jù)題意轉(zhuǎn)換形式，凸現(xiàn)其隱含條件，充分發(fā)揮其方程性質(zhì)，運用有關方程的解的定理(如根與系數(shù)的關系、判別式、實根分布的充要條件)使原問題獲解，這是方程思想應用的又一個方面已知sin()，sin()，求的值解法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得所以sin cos ，cos sin .從而.法二：令x.因為，且.所以得到方程.解這個方程得x.技法領悟 本例解法二運用方程的思想，把已知條件通過變形看作關于sin cos 與cos sin 的方程來求解，從而獲得欲求的三角表達式的值應用體驗10已知函數(shù)f (x)滿足條件f (x)2f x，則f (x)_.解析：用代換條件式中的x得f 2f (x)，因此f (x)與f 滿足方程組2得3f (x)，解得f (x).答案：11直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為_解析：聯(lián)立消去y，得x210x90，解得或所以|AP|10，|BQ|2，|PQ|8，梯形APQB的面積為48.答案：48總結(jié)升華 函數(shù)與方程思想在解題中的應用主要涉及以下知識(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關系求解(2)三角函數(shù)中有關方程根的計算，平面向量中有關模、夾角的計算，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解(3)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)或一元二次方程來解決(4)解析幾何中有關求方程、求值等問題常常需要通過解方程(組)來解決，求范圍、最值等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值來解決(5)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 思想(二)數(shù)形結(jié)合直觀快捷充分運用數(shù)的嚴謹和形的直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法數(shù)形結(jié)合思想的應用包括以下兩個方面：以形助數(shù)以數(shù)助形即借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助解析幾何方法即借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性以數(shù)助形常用的有：借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系；借助運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化利用數(shù)形結(jié)合求解f (x)k型問題方法一：直接作圖(1)已知函數(shù)f (x)|lg x|.若0<a<b且f (a)f (b)，則a2b的取值范圍是()A(2，)B2，)C(3，) D3，)(2)已知函數(shù)f (x)sin x2|sin x|，x0,2的圖象與直線yk有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_解析(1)先作出f (x)|lg x|的圖象如圖所示，通過圖象可知，如果f (a)f (b)，則0a1b，且b，所以a2ba，令h(a)a，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)h(a)在(0,1)上為減函數(shù)，所以h(a)>h(1)3，即a2b的取值范圍是(3，)故選C.(2)f (x)sin x2|sin x|，x0,2，化簡得f (x)作出f (x)的圖象及直線yk，由圖象知當1k3時，函數(shù)f (x)與直線yk有且僅有兩個交點答案(1)C(2)(1,3)技法領悟 如本例(1)，實際上存在一條“虛擬”的水平直線，這一點固然重要，卻不是本題的關鍵本題的關鍵在于水平直線與函數(shù)圖象的兩個交點的橫坐標并非毫無關聯(lián)，而是滿足一定的關系，即ab1，這一關鍵之處決定了該類型題目的難度和極易出錯的特性本例(2)中有一條明顯的“動態(tài)”水平直線，通過上下移動觀察其與函數(shù)圖象的交點情況但有些題中的這條水平線就不容易能看出來特別提醒：務必注意水平直線與函數(shù)圖象的交點的橫坐標之間的聯(lián)系例如，一條水平直線與二次函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和為定值，且為對稱軸的兩倍；一條水平直線與三角函數(shù)圖象的交點的橫坐標滿足一定的周期性等等 應用體驗1已知f (x)|x|x1|，若g(x)f (x)a的零點個數(shù)不為0，則a的最小值為_解析： 原方程等價于f (x)其圖象如圖所示，要使af (x)有零點，則a1，因此a的最小值為1.答案：12對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b設f (x)(2x1)*(x1)，且關于x的方程f (x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_解析：f (x)(2x1)(x1)f (x)故關于x的方程f (x)m(mR)恰有三個互不相等的實根x1，x2，x3，等價于函數(shù)f (x)的圖象與直線ym有三個不同的交點作出函數(shù)f (x)的大致圖象如圖所示，從圖中不難得知0<m<.設從左到右交點的橫坐標分別為x1，x2，x3，當x>0時，x2xm，即x2xm0，由此可得x2x3m.當x<0時，由2x2x，得x.當m在上遞增時，|x1|也在上遞增從而m|x1|隨著m的遞增而遞增，而x1<0，所以x1x2x3為所求答案：方法二：先變形后作圖(1)若直線y1與曲線yx2|x|a有四個交點，則a的取值范圍為_ (2)已知函數(shù)g(x)ax22x，f (x)且函數(shù)yf (x)x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析(1)利用分離參數(shù)思想，直線y1與曲線yx2|x|a有四個交點，等價于方程1ax2|x|有四個不同的根，令g(x)x2|x|，畫出g(x)的圖象，如圖所示將水平直線y1a從上往下平移，當1a0，即a1時，有3個交點，再往下平移，有4個交點，繼續(xù)往下平移，當1a，即a時，有兩個交點因此a的取值范圍為.(2)f (x)yf (x)x恰有3個不同的零點等價于yf (x)與yx的圖象有三個不同的交點，試想將曲線f (x)上下平移使之與yx有三個交點是何等的復雜，故把原函數(shù)變形，由f (x)x可得f (x)xa所以yf (x)x有三個零點等價于a有三個根令h(x)畫出yh(x)的圖象如圖所示，將水平直線ya從上向下平移，當a0時，有兩個交點，再向下平移，有三個交點，當a1時，有三個交點，再向下就只有兩個交點了，因此a1,0)答案(1)(2)1,0)技法領悟 如果對本例(1)不變形，也可求出參數(shù)的取值范圍，變形只是讓作圖更簡單易行然而多數(shù)情況下，變形是解題的關鍵，如本例(2)如果不變形，恐怕不是復雜一點點的問題了 應用體驗3已知函數(shù)f (x)ax33x21，若f (x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍為()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析：選B顯然x0不是f (x)的零點，將f (x)0變形得a，由題意得直線ya與函數(shù)y的圖象有唯一交點且交點在y軸右邊由于函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，考慮當x(0，)時，g(x)，g(x)在x1處取得極大值，且當x趨近于0時，g(x)趨近于；且當x趨近于時，g(x)趨近于0，畫出yg(x)的圖象如圖所示，平移直線ya，由圖象知a的取值范圍是(，2)4若關于x的方程kx2有四個不同的實數(shù)解，則k的取值范圍為_解析：x0，顯然是方程的一個實數(shù)解；當x0時，方程kx2可化為(x4)|x|(x4)，設f (x)(x4)|x|(x4且x0)，y，原題可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有三個非零交點則f (x)(x4)|x|的大致圖象如圖所示，由圖，易得0<<4，解得k>.所以k的取值范圍為.答案：利用數(shù)形結(jié)合求解kxbf (x)型問題方法一：旋轉(zhuǎn)動直線若直線的斜率在變化，則這樣的直線往往都恒過某一個定點，對于這類型的題，首先找出這個定點非常關鍵，然后確定相應的臨界情形，最后考慮旋轉(zhuǎn)的方向(1)已知函數(shù)f (x)|x2|1，g(x)kx，若f (x)g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C(1,2) D(2，)(2)已知函數(shù)f (x)若|f (x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0解析(1)由題意得函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有兩個不同的交點，分別畫出函數(shù)圖象如圖所示直線g(x)kx過原點這個定點，尋找臨界點，當直線過點(2,1)時，直線與函數(shù)f (x)|x2|1只有一個交點，此時k，然后直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，當與f (x)在x>2時的圖象平行時，就只有一個交點，所以<k<1.(2)因為|f (x)|若a>0，則當x趨于正無窮時，ax>ln(1x)，與題意矛盾，所以a0.故只需滿足動直線g(x)ax在區(qū)間(，0)內(nèi)落在f (x)x22x之下即可其臨界情形是g(x)ax與f (x)x22x相切，即x22xax只有一個實數(shù)解，可得a2.如圖所示，動直線g(x)ax逆時針旋轉(zhuǎn)滿足題意，因此a2,0答案(1)B(2)D 技法領悟 解決此類問題，初始位置(臨界情況)的選取相當重要，一般來說，初始位置要么恰好滿足題意，要么恰好不滿足題意，具體情況還得具體分析應用體驗5已知方程ax40有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：方程ax40有兩個不相等的實數(shù)根等價于函數(shù)y與yax4有兩個不同的交點，y 是一個半圓，直線yax4是繞點(0,4)旋轉(zhuǎn)的動直線，畫出y的圖象，如圖所示，要使ax4有兩個不同的實數(shù)解，當它們相切時是臨界情形，可計算出此時a的值，由(a21)x2(8a4)x160，0a.由圖可知，直線yax4繞點(0,4)順時針旋轉(zhuǎn)到直線過點(4,0)時是另一個臨界條件，所以當1a時，直線與曲線有兩個交點，于是a的取值范圍為.答案：6用maxa，b表示a，b兩個數(shù)中最大數(shù)，設f (x)maxx28x4，log2x，若g(x)f (x)kx有兩個零點，則k的取值范圍是()A(0,3) B(0,3C(0,4) D0,4解析：選C法一：畫出f (x)的圖象如圖所示，g(x)有兩個零點，即yf (x)的圖象與ykx的圖象有兩個交點，從圖象上看，當直線與二次函數(shù)上方相切時有一個交點，此時x28x4kx，(k8)2160k14，k212(舍去，此時與下方相切)，所以當0<k<4時，g(x)有兩個零點法二：利用排除法，首先k0不成立，排除D，其次，二次函數(shù)的頂點是(4,12)，與原點連線的斜率是3，顯然成立，排除A、B，故選C.方法二：平移動直線(1)已知函數(shù)f (x)是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當0x1時，f (x)x2.如果直線yxa與曲線yf (x)恰有兩個交點，則實數(shù)a的值是()A0B2k(kZ)C2k或2k(kZ)D2k或2k(kZ)(2)若關于x的不等式2x2>|xa|至少有一個負數(shù)解，則a的取值范圍是_解析(1)畫出函數(shù)yf (x)的圖象，如圖所示，yxa是斜率恒為1的動直線，首先考慮直線過原點(這就是我們所說的初始位置)，此時直線剛好與yf (x)的圖象有兩個交點，將直線往下平移會有三個交點，一直平移直到與yf (x)，x0,1相切，此時剛好又出現(xiàn)兩個交點的情形(注意平移的動作慢一點)，此時聯(lián)立x2xa0，14a0a，所以在一個周期內(nèi)得到滿足條件的a的值為a0或a，又因為周期為2，所以a2k或a2k(kZ)(2)令f (x)2x2，g(x)|xa|，由于g(x)|xa|的圖象是V形首先將這個V形的尖點放在點(2,0)(這是我們所說的初始位置，該點往往都是使得結(jié)論恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此時a2.然后再將V形尖點向左平移，即如圖中的箭頭所示由圖可知，向左平移的臨界情況是V形尖點右支與f (x)相切，此時聯(lián)立知x2xa20有一個解，14(2a)0a.要特別注意，此時g(x)|xa|的圖象與f (x)2x2的圖象相切，但不等式取不到等號，因此a，注意到a2時無負數(shù)根，因此a的取值范圍為.答案(1)D(2)技法領悟 對于平移的動直線情形，關鍵在于如何選取初始位置(臨界情形)，這個難把握之處正是本塊內(nèi)容的核心，初始位置的選取并非信手拈來，而是有根有據(jù)的，通過本例中的兩個題目，仔細體會應用體驗7已知函數(shù)f (x)且關于x的方程f (x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1，) B(1,3)C(，1) D(2,4)解析：選A畫出f (x)的圖象，如圖所示，則由方程有且僅有一個實根可得f (x)的圖象與直線yxa的圖象只有一個交點首先讓直線過(0,1)(這是我們所說的初始位置，因為當直線向下平移時你會發(fā)現(xiàn)有兩個交點)，由圖可知，只有向上平移才能滿足f (x)圖象與直線yxa只有一個交點，所以a的取值范圍是(1，)8已知函數(shù)f (x)若方程f (x)xa有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：選C注意本題只有在(1，)內(nèi)才是周期為1的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式首先畫出在(，0內(nèi)的圖象，然后截取(1,0的圖象向右一個單位一個單位的平移，可以得到f (x)的圖象，如圖所示yxa是斜率為1的動直線，首先讓直線過(0,1)(這是我們所說的初始位置，因為當直線向下平移時你會發(fā)現(xiàn)有兩個交點，向上平移只有一個交點)，由圖可知，只有向下平移才能滿足f (x)圖象與直線yxa有兩個交點，所以a的取值范圍是(，1).利用數(shù)形結(jié)合求解解析幾何問題(1)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m，0)，B(m，0)(m>0)若圓C 上存在點P，使得 APB90，則 m的最大值為()A7 B6C5 D4(2)設雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為()A. B.C2 D.解析(1)根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因為APB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.(2)如圖所示，設以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連接OQ，則OQPF2.又PF1PF2，O為F1F2的中點，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24a216a220a24c2e.答案(1)B(2)D技法領悟 (1)在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，這樣使數(shù)更形象，更直白，充分利用圖象的特征，挖掘題中所給的代數(shù)關系式和幾何關系式，避免一些復雜的計算，給解題提供方便(2)應用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：比值可考慮直線的斜率；二元一次式可考慮直線的截距；根式分式可考慮點到直線的距離；根式可考慮兩點間的距離應用體驗9已知P是直線l：3x4y80上的動點，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_解析：由題意知圓的圓心C(1,1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x4y80向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|3，從而|PA|2，所以(S四邊形PACB)min2|PA|AC|2.答案：210已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點，點A(2,4)，在此拋物線上求一點P，使APF的周長最小，此時點P的坐標為_解析：因為(2)2<84，所以點A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部，如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQl于點Q，過點A作ABl于點B，連接AQ，由拋物線的定義可知APF的周長為|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，當且僅當P，B，A三點共線時，APF的周長取得最小值，即|AB|AF|.因為A(2,4)，所以不妨設APF的周長最小時，點P的坐標為(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周長最小的點P的坐標為.答案：總結(jié)升華 運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題的3個原則(1)等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明(2)雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的(3)簡單性原則找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單思想(三)分類討論巧分善合在解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行了因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個子區(qū)域，然后分別在多個子區(qū)域內(nèi)進行解題這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們總合在一起這種“合分合”的解決問題的過程，就是分類討論的思想方法分類討論是許多考生的弱點，也是高考的熱點和難點分類討論思想在函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何、概率等數(shù)學問題求解中有廣泛的應用由概念、法則、公式引起的分類討論(2018武昌調(diào)研)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，Sn24Sn3恒成立，則a1的值為()A3B1C3或1 D1或3解析設等比數(shù)列an的公比為q，當q1時，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若對任意的正整數(shù)n,3a1n2a13恒成立，則a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化簡得a1(4q2)qn33a13q，若對任意的正整數(shù)n該等式恒成立，則有解得或故a11或3.答案C技法領悟 本題易忽略對q的取值情況進行討論，而直接利用Sn，很容易造成漏解或增解，若本題是解答題，這種解答是不完備的本題根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的使用就要分q1，Snna1和q1，Sn進行討論應用體驗1一條直線過點(5,2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為()Axy70B2x5y0Cxy70或2x5y0Dxy70或2y5x0解析：選C設該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當a0時，直線過原點，此時直線方程為yx，即2x5y0；當a0時，設直線方程為1，則求得a7，直線方程為xy70.2已知雙曲線的漸近線方程是2xy0，則該雙曲線的離心率等于()A.B.C. D.或解析：選D依題意，雙曲線的漸近線方程是y2x.若雙曲線的焦點在x軸上，則因雙曲線的漸近線方程為yx，故有2，所以離心率e ；若雙曲線的焦點在y軸上，則因雙曲線的漸近線方程為yx，故有2，即，所以離心率e .綜上，離心率e或.由運算、性質(zhì)引起的分類討論已知a>0，b0，且a1，b1，若logab1，則()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析a>0，b0，且a1，b1，當a1，即a10時，不等式logab1可化為alogaba1，即ba1，(a1)(ab)0，(a1)(b1)0，(b1)(ba)0.當0a1，即a10時，不等式logab1可化為alogaba1，即0ba1，(a1)(ab)0，(a1)(b1)0，(b1)(ba)0.綜上可知，選D.答案D技法領悟 應用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，往往對底數(shù)是否大于1進行討論，這是由它的性質(zhì)決定的在處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段，再選取相應的對應法則，離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯誤的重要原因之一應用體驗3若函數(shù)f (x)ax(a>0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.解析：若a>1，有a24，a1m，此時a2，m，此時g(x)為減函數(shù)，不合題意；若0<a<1，有a14，a2m，故a，m，檢驗知符合題意答案：4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)當a2,2sin Asin C時，求b及c的長解：(1)由cos 2C12sin2C，得sin C.(2)由2sin Asin C及正弦定理，得2ac，所以c4.由sin C，得cos C.下面分兩種情況：當cos C時，由余弦定理c2a2b22abcos C，得b2b120，解得b2.當cos C時，同理可得b.綜上c4，b2或b.由參數(shù)變化引起的分類討論設函數(shù)f (x)x3axb，xR，其中a，bR，求f (x)的單調(diào)區(qū)間解由f (x)x3axb，可得f (x)3x2a.下面分兩種情況討論：當a0時，有f (x)3x2a0恒成立，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當a0時，令f (x)0，解得x或x.當x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f (x)00f (x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.技法領悟 (1)本題研究函數(shù)性質(zhì)需對參數(shù)a進行分類討論，分為a0和a>0兩種情況(2)若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標準明確、不重不漏應用體驗5(2018福建第一學期高三期末考試)已知函數(shù)f (x)若f (a)3，則f (a2)()A B3C或3 D或3解析：選A當a0時，若f (a)3，則log2aa3，解得a2(滿足a0)；當a0時，若f (a)3，則4a213，解得a3，不滿足a0，所以舍去于是，可得a2.故f (a2)f (0)421.6設函數(shù)f (x)x2axa3，g(x)ax2a，若存在x0R，使得f (x0)<0和g(x0)<0同時成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(7，) B(，2)(6，)C(，2) D(，2)(7，)解析：選A由f (x)x2axa3，知f (0)a3，f (1)4.又存在x0R，使得f (x0)<0，所以a24(a3)>0，解得a<2或a>6.又g(x)ax2a的圖象恒過(2,0)故當a>6時，作出函數(shù)f (x)和g(x)的圖象如圖1所示，當a<2時，作出函數(shù)f (x)和g(x)的圖象如圖2所示由函數(shù)的圖象知，當a>6時，若g(x0)<0，則x0<2，要使f (x0)<0，則需解得a>7.當a<2時，若g(x0)<0，則x0>2，此時函數(shù)f (x)x2axa3的圖象的對稱軸x<0，故函數(shù)f (x)在區(qū)間上為增函數(shù)，又f (1)4，f (x0)<0不成立綜上，實數(shù)a的取值范圍為(7，).根據(jù)圖形位置或形狀分類討論設F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，P為橢圓上一點已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|，求的值解若PF2F190.則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F1PF290，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，|PF1|2(6|PF1|)220，|PF1|4，|PF2|2，2.綜上知，或2.技法領悟 (1)本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關系，需按直角頂點不同的位置進行討論(2)根據(jù)圖形位置或形狀分類討論問題的步驟確定特征，一般在確立初步特征時將能確定的所有位置先確定分類，根據(jù)初步特征對可能出現(xiàn)的位置關系進行分類得結(jié)論，將“所有關系”下的目標問題進行匯總處理應用體驗7正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為()A. B4C. D4或解析：選D當矩形長、寬分別為6和4時，體積V2244；當長、寬分別為4和6時，體積V6.8已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k()A B.C0 D0或解析：選D不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當直線ykx1與直線x0或y2x垂直時才滿足結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或.9過雙曲線x21的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|4，則這樣的直線l有()A1條 B2條C3條 D4條解析：選C因為雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，所以當直線l與雙曲線左、右兩支各有一個交點時，過雙曲線的右焦點一定有兩條直線滿足條件要求；當直線l與實軸垂直時，有31，解得y2或y2，所以此時直線AB的長度是4，即只與雙曲線右支有兩個交點的所截弦長為4的直線僅有一條綜上，可知有3條直線滿足|AB|4. 總結(jié)升華 1分類討論的原則(1)不重不漏；(2)標準要統(tǒng)一，層次要分明；(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論2分類討論的本質(zhì)與思維流程(1)分類討論思想的本質(zhì)：“化整為零，積零為整”(2)分類討論的思維流程：明確討論的對象和動機確定分類的標準逐類進行討論歸納綜合結(jié)論檢驗分類是否完備(即檢驗分類對象彼此交集是否為空集，并集是否為全集)思想(四)轉(zhuǎn)化與化歸峰回路轉(zhuǎn) “抓基礎，重轉(zhuǎn)化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙事實上，數(shù)學中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的常用策略有熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等正與反的轉(zhuǎn)化若對任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析由題意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，則m49，即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)時，m的取值范圍為.答案技法領悟 (1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮比較簡單，因此，間接法(正與反的轉(zhuǎn)化)多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中應用體驗1由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實數(shù)a的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2解析：選C由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m>0”是真命題，可得m的取值范圍是(，1)，而(，a)與(，1)為同一區(qū)間，故a1.2已知集合Ax|1x0，集合Bx|axb2x1<0,0a2,1b3，若aR，bR，則AB的概率為()A. B.C. D.解析：選D因為a0,2，b1,3，所以(a，b)對應的區(qū)域為邊長為2的正方形，如圖，正方形的面積為4.令函數(shù)f (x)axb2x1，x1,0，則f (x)abln 22x.因為a0,2，b1,3，所以f (x)>0，即f (x)在1,0上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f (x)在1,0上的最小值為a1.要使AB，只需f (x)mina10，即2ab20，所以滿足AB的(a，b)對應的區(qū)域為如圖所示的陰影部分易知S陰影1，所以AB的概率為，故AB的概率為1.常量與變量的轉(zhuǎn)化對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px>4xp3成立的x的取值范圍是_解析不等式x2px>4xp3對p0,4恒成立可化為(x1)px24x3>0對p0,4恒成立，設f (p)(x1)px24x3，則當x1時，f (p)0.所以x1.f (p)在0p4上恒為正等價于即解得x>3或x<1.答案(，1)(3，)技法領悟 (1)本題若按常規(guī)法視x為主元來解，需要分類討論，這樣會很煩瑣，若以p為主元，即將原問題化歸在區(qū)間0,4上，求使一次函數(shù)f (p)(x1)px24x3>0成立的x的取值范圍，再借助一次函數(shù)的單調(diào)性就很容易使問題得以解決(2)在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看作是“主元”，實現(xiàn)主與次的轉(zhuǎn)化，即常量與變量的轉(zhuǎn)化，從而達到