2019高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離講義含解析新人教A版必修2 .doc

第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P106P109，回答下列問題：(1)如何用代數(shù)方法求點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離？提示：由P0Ql，以及直線l的斜率為，可得l的垂線P0Q的斜率為，因此，垂線P0Q的方程可求出解垂線P0Q與直線l的方程組成的方程組，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求出|P0Q|，即為點(diǎn)P0到直線l的距離(2)能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，如何轉(zhuǎn)化？提示：能，由于一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都是兩條平行直線間的距離，所以只要在一條直線上找到一個(gè)已知點(diǎn)，求這點(diǎn)到另一條直線的距離即可2歸納總結(jié)，核心必記(1)點(diǎn)到直線的距離概念：過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l: AxByC0的距離，d.(2)兩平行直線間的距離概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離公式：兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20之間的距離d.問題思考1在使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，對(duì)直線方程的形式有何要求？提示：應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式的前提是直線方程為一般式2在使用兩平行線間距離公式時(shí)，對(duì)直線方程的形式有何要求？提示：兩直線的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)點(diǎn)到直線的距離公式是什么？應(yīng)注意什么？；(2)兩平行直線間的距離公式是什么？應(yīng)注意什么？.在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)P.思考1若已知直線l的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)，如何求P到直線l的距離？名師指津：過點(diǎn)P作直線ll，垂足為Q，|PQ|即為所求的距離直線l的斜率為k，則l的斜率為，l的方程為yy0(xx0)，聯(lián)立l，l的方程組，解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出|PQ|.思考2在直角坐標(biāo)系中，若P(x0，y0)，則P到直線l: AxByC0的距離是不是過點(diǎn)P到直線l的垂線段的長度？提示：是思考3應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意什么問題？名師指津：(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式例如求P(x0，y0)到直線ykxb的距離，應(yīng)先把直線方程化為kxyb0，得d.(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時(shí)不必判定點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系(3)直線方程AxByC0中A0或B0時(shí)，公式也成立，也可以用下列方法求點(diǎn)到直線的距離P(x0，y0)到xa的距離d|ax0|；P(x0，y0)到y(tǒng)b的距離d|by0|.講一講1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,2)到直線4x3y50的距離為_(鏈接教材P107例5)(2)求垂直于直線x3y50且與點(diǎn)P(1,0)的距離是的直線l的方程嘗試解答(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可得d.(2)設(shè)與直線x3y50垂直的直線的方程為3xym0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知：d.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直線l的方程為3xy90或3xy30.答案(1)點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線xa或yb，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可練一練1已知點(diǎn)A(a,2)(a0)到直線l: xy30的距離為1，則a()A. B2 C.1 D.1解析：選C由點(diǎn)到直線的距離公式知，d1，得a1.又a0，a1.2點(diǎn)P(2,4)到直線l：3x4y70的距離是_解析：點(diǎn)P到直線l的距離d3.答案：3觀察下面坐標(biāo)系中的直線，思考如下問題：思考1若過P(x0，y0)的直線l與l: AxByC0平行，那么點(diǎn)P到l的距離與l與l的距離相等嗎？提示：相等思考2怎樣理解兩平行直線間的距離公式？名師指津：(1)求兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式(2)利用公式求平行線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等(3)當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決兩直線都與x軸垂直時(shí)，l1：xx1，l2：xx2，則d|x2x1|；兩直線都與y軸垂直時(shí)，l1：yy1，l2：yy2，則d|y2y1|.講一講2已知直線l1：3x2y10和l2：3x2y130，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1d221，求直線l的方程嘗試解答由直線l1，l2的方程知l1l2.又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d10或d20，不符合題意)設(shè)直線l：3x2ym0(m1且m13)，由兩平行線間的距離公式，得d1，d2，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直線l的方程為3x2y250或3x2y90.求兩平行直線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離(2)直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2時(shí)，d；當(dāng)直線l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2時(shí)，d，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等練一練3兩直線3x4y20與6x8y50的距離等于()A3 B7 C. D.解析：選C在3x4y20上取一點(diǎn)，其到6x8y50的距離即為兩平行線間的距離，d.講一講3兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(3，1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)兩條直線的方程思路點(diǎn)撥(1)由兩平行線間的距離公式寫出d與斜率之間的函數(shù)關(guān)系式，不難求出d的范圍或利用數(shù)形結(jié)合求d的范圍(2)求出d取最大值時(shí)斜率的值，即可求出所求直線方程嘗試解答(1)法一：當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，即兩直線分別為x6和x3，則它們之間的距離為9.當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，設(shè)這兩條直線方程為l1：y2k(x6)，l2：y1k(x3)，即l1：kxy6k20，l2：kxy3k10，d，即(81d2)k254k9d20.kR，且d9，d0，(54)24(81d2)(9d2)0，即0d3且d9.綜合可知，所求d的變化范圍為(0,3法二：如圖所示，顯然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的變化范圍為(0,3(2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線垂直于AB.而kAB，所求直線的斜率為3.故所求的直線方程分別為y23(x6)，y13(x3)，即3xy200和3xy100.解這類題目常用的方法是待定系數(shù)法，即根據(jù)題意設(shè)出方程，然后由題意列方程求參數(shù)也可以綜合應(yīng)用直線的有關(guān)知識(shí)，充分發(fā)揮幾何圖形的直觀性，判斷直線l的特征，然后由已知條件寫出l的方程練一練4已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的交點(diǎn)(1)若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值解：(1)法一：聯(lián)立交點(diǎn)P(2,1)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy12k0，3，解得k，l的方程為y1(x2)，即4x3y50.而直線斜率不存在時(shí)直線x2也符合題意，故所求l的方程為4x3y50或x2.法二：經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，即22520，解得2或，l的方程為4x3y50或x2.(2)由解得交點(diǎn)P(2,1)，過P任意作直線l，設(shè)d為A到l的距離，則d|PA|(當(dāng)lPA時(shí)等號(hào)成立)，dmax|PA|.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握點(diǎn)到直線的距離公式，能用公式求點(diǎn)到直線的距離，會(huì)求兩條平行直線間的距離難點(diǎn)是能用公式求點(diǎn)到直線的距離2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)點(diǎn)到直線的距離的求解方法，見講1.(2)求兩平行直線間的距離有兩種思路，見講2.(3)待定系數(shù)法求解有關(guān)距離問題的方法，見講33本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求兩條平行線間距離時(shí)易用錯(cuò)公式，如講2.課下能力提升(二十一)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1點(diǎn)到直線的距離1點(diǎn)(1，1)到直線xy10的距離是()A3 B. C3 D.解析：選D點(diǎn)(1，1)到直線xy10的距離d.2點(diǎn)(5，3)到直線x20的距離等于()A7 B5 C3 D2解析：選A直線x20，即x2為平行于y軸的直線，所以點(diǎn)(5，3)到x2的距離d|5(2)|7.3傾斜角為60，并且與原點(diǎn)的距離是5的直線方程為_解析：因?yàn)橹本€斜率為tan 60，可設(shè)直線方程為yxb，化為一般式得xyb0.由直線與原點(diǎn)距離為5，得5|b|10.所以b10，所以所求直線方程為xy100或xy100.答案：xy100或xy1004若點(diǎn)(2，k)到直線5x12y60的距離是4，則k的值是_解析：4，|1612k|52，k3，或k.答案：3或題組2兩條平行線間的距離5已知直線l1：xy10，l2：xy10，則l1，l2之間的距離為()A1 B. C. D2解析：選B在l1上取一點(diǎn)(1，2)，則點(diǎn)到直線l2的距離為.6兩平行線分別經(jīng)過點(diǎn)A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是()A0d5 B0d13C0d12 D5d12解析：選B當(dāng)兩平行線與AB垂直時(shí)，兩平行線間的距離最大，|AB|13，所以0d13.7已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,5)，且斜率為.(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的方程解：(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y5(x2)，整理得所求直線方程為3x4y140.(2)由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為3x4yC0，由點(diǎn)到直線的距離公式得3，即3，解得C1或C29，故所求直線方程為3x4y10或3x4y290.題組3距離的綜合應(yīng)用8直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為()A3xy130 B3xy130C3xy130 D3xy130解析：選C由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，kAB，kl3，由點(diǎn)斜式得，y43(x3)，即3xy130.9已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面積S.解：由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為，即x2y30.由兩點(diǎn)間距離公式得|BC|2.設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面積為4.能力提升綜合練1(2016濟(jì)寧高一檢測(cè))兩條平行線l1：3x4y20，l2：9x12y100間的距離等于()A. B. C. D.解析：選Cl1的方程可化為9x12y60，由平行線間的距離公式得d.2到直線3x4y110的距離為2的直線方程為()A3x4y10B3x4y10或3x4y210C3x4y10D3x4y210解析：選B設(shè)所求的直線方程為3x4yc0.由題意2，解得c1或c21.故選B.3直線2x3y60關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱的直線方程是()A3x2y60 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析：選D法一：設(shè)所求直線的方程為2x3yC0，由題意可知.C6(舍)或C8.故所求直線的方程為2x3y80.法二：令(x0，y0)為所求直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于(1，1)的對(duì)稱點(diǎn)為(2x0，2y0)，此點(diǎn)在直線2x3y60上，代入可得所求直線方程為2x3y80.4直線l到直線x2y40的距離和原點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程是_解析：由題意設(shè)所求l的方程為x2yC0，則，解得C2，故直線l的方程為x2y20.答案：x2y205已知直線l與直線l1：2xy30和l2：2xy10的距離相等，則l的方程是_解析：法一：由題意可設(shè)l的方程為2xyc0，于是有，即|c3|c1|，解得c1，則直線l的方程為2xy10.法二：由題意知l必介于l1與l2中間，故設(shè)l的方程為2xyc0，則c1.則直線l的方程為2xy10.答案：2xy106已知正方形ABCD一邊CD所在直線的方程為x3y130，對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)為P(1,5)，求正方形ABCD其他三邊所在直線的方程解：點(diǎn)P(1,5)到lCD的距離為d，則d.lABlCD，可設(shè)lAB：x3ym0.點(diǎn)P(1,5)到lAB的距離也等于d，則 .又m13，m19，即lAB：x3y190.lADlCD，可設(shè)lAD：3xyn0，則P(1,5)到lAD的距離等于P(1,5)到lBC的距離，且都等于d，n5，或n1，則lAD：3xy50，lBC：3xy10.所以，正方形ABCD其他三邊所在直線方程為x3y190,3xy50,3xy10.7已知點(diǎn)P(2，1)(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線的方程，并求出最大距離；(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，說明理由解：(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程x2符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線方程應(yīng)為y1k(x2)，即kxy2k10.根據(jù)題意，得2，解得k.則直線方程為3x4y100.故符合題意的直線方程為x20或3x4y100.(2)過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線應(yīng)為過點(diǎn)P且與OP垂直的直線則其斜率k2，所以其方程為y12(x2)，即2xy50.最大距離為，(3)不存在理由：由于原點(diǎn)到過點(diǎn)(2，1)的直線的最大距離為，而6，故不存在這樣的直線.