山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第3章 圓復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 （新版）北師大版.doc

第三章圓一、知識(shí)梳理(一)圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念： 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。(二)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；（三）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；（四）圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； （五）垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在中，弧弧 （六）圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧?。ㄆ撸﹫A周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；即：在中，、都是所對(duì)的圓周角 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在中，是直徑或是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。（八）圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在中，四邊形是內(nèi)接四邊形 （九）切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。（十）切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分（十一）圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 （十二）兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn)垂直平分（十三）圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。（十四）圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形:在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.（十五）扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：3 .圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：二、題型、技巧歸納類型一確定圓的條件 例1xx河北 如圖，在55正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是()A點(diǎn)P B點(diǎn)Q C點(diǎn)R D點(diǎn)M解析 B圓心既在AB的中垂線上又在BC的中垂線上，由圖可以看出圓心應(yīng)該是點(diǎn)Q.歸納：過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，沒有必要作出第三條線段的垂直平分線事實(shí)上，三條垂直平分線交于同一點(diǎn)例2如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于D點(diǎn)，且AB6 cm，OD4 cm，則DC的長為()A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm解析 D連接AO，因?yàn)镺CAB，所以ADBD3 cm，因?yàn)镺D4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO5 cm，所以O(shè)C5 cm，所以DC1 cm.歸納：(1)垂徑定理是根據(jù)圓的對(duì)稱性推導(dǎo)出來的，該定理及其推論是證明線段相等、垂直關(guān)系、弧相等的重要依據(jù)利用垂徑定理常作“垂直于弦的直徑”輔助線(往往又只是作圓心到弦的垂線段，如本例)；(2)垂徑定理常與勾股定理結(jié)合在一起，進(jìn)行有關(guān)圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長等數(shù)量的計(jì)算這些量之間的關(guān)系是r2d22(其中r為圓半徑，d為圓心到弦的距離，a為弦長)類型三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 例3如圖，O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若A30，APD70，則B等于()A30 B35 C40 D50解析 C由三角形的外角求得C40，所以BC40.類型四圓心角與圓周角例4如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，ABCO，B22，則A_.解析 由同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍，得O2B44，又因?yàn)锳BCO，所以AO44.歸納：圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解決問題的重要思路在證明有關(guān)問題中注意90的圓周角的構(gòu)造類型五與圓有關(guān)的開放性問題例5如圖，在邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長AP交圓于點(diǎn)E.(1)E_度；(2)寫出圖中現(xiàn)有的一對(duì)不全等的相似三角形，并說明理由；(3)求弦DE的長解析 (1)由題目可知EACD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ACD45，所以EACD45.(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)角相等的時(shí)候，兩個(gè)三角形相似，由圓的性質(zhì)可知EACD，EDPCAP，所以ACPDEP.(3)因?yàn)锳CPDEP，所以，因?yàn)镻是CD的中點(diǎn)，所以CPDPCD1，由勾股定理分別求出AP，AC2，代入比例式算出DE.解：(1)45(2)ACPDEP.理由：AEDACD，APCDPE，ACPDEP.(3)ACPDEP，.又AP，AC2，DE.類型六圓與圓的位置關(guān)系的判別例6O1的半徑為3 cm，O2的半徑為5 cm，圓心距O1O22 cm，兩圓的位置關(guān)系是()。A外切B相交 C內(nèi)切 D內(nèi)含解析 C圓心距O1O22 cm是兩圓的半徑之差，所以兩圓內(nèi)切類型七計(jì)算扇形面積 例7如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”則半徑為2的“等邊扇形”的面積為()A B1 C2 D.解析 C扇形的面積等于弧長乘以半徑的一半，所以此扇形的面積為222.類型八計(jì)算弧長 例8如圖，已知正方形的邊長為2 cm，以對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2 cm長為半徑畫弧，則所得到的兩條弧長度之和為_cm(結(jié)果保留)解析 兩段弧長的和是以2 cm為半徑的半圓的弧長即222.類型九圓的切線性質(zhì) 例9如圖X310，在RtABC中，ABC90，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E.(1)求證：DEBC；(2)若tanC，DE2，求AD的長解析 連接BD，則在RtBCD中，BEDE，利用角的互余證明CEDC.解：(1)證明：連接BD，AB為直徑，ABC90，BE切O于點(diǎn)B.又因?yàn)镈E切O于點(diǎn)D，所以DEBE，EBDEDB.ADB90，EBDC90，BDECDE90，CEDC，DECE，DEBC.(2)因?yàn)镈E2，DEBC，所以BC4.在RtABC中，tanC，所以ABBC2.在RtABC中，AC6.又因?yàn)锳BDACB，所以，即，所以AD.歸納：圓的切線性質(zhì)有很多，可以總結(jié)為：與圓相切一直線，只有一個(gè)公共點(diǎn)；切點(diǎn)圓心相連接，垂直切線是必然；切線上面取一點(diǎn)，此點(diǎn)圓心相互聯(lián)；如若垂直圓切線，此點(diǎn)切點(diǎn)零相間(此句指此點(diǎn)與切點(diǎn)之間距離為零)類型十圓的切線的判定方法 例10如圖，已知RtABC，ABC90，以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD.(1)若AD3，BD4，求邊BC的長；(2)取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與O相切解析 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要證明ODDE就能說明ED與O相切，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等邊轉(zhuǎn)化為等角，進(jìn)而算出ODE是直角解：(1)AB是直徑，ADB90.AD3，BD4，AB5.CDBABC，AA，ADBABC，即，BC.(2)證明：連接OD，在RtBDC中，E是BC的中點(diǎn)，CEDE，CCDE.又ODOB，ODBOBD，又OBDDBC90，CDBC90，COBD，BDOCDE.AB是直徑，ADB90，BDC90，即BDECDE90，BDEBDO90，即ODE90，ED與O相切歸納：在涉及切線問題時(shí)，常連接過切點(diǎn)的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑類型十一圓錐面積問題 例11如圖，已知RtABC的斜邊AB13 cm，一條直角邊AC5 cm，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)幾何體求這個(gè)幾何體的表面積解析 首先應(yīng)了解這個(gè)幾何體的形狀是上下兩個(gè)圓錐，共用一個(gè)底面，表面積即為兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和根據(jù)S側(cè)R2或S側(cè)rl可知，用第二個(gè)公式比較好求，但是得求出底面圓的半徑，因?yàn)锳B垂直于底面圓的半徑，在RtABC中，由OCABBCAC可求出r，問題就解決了解：在RtABC中，AB13 cm，AC5 cm，BC12 cm.OCABBCAC，rOC.S表r(BCAC)(125) cm2.歸納：對(duì)于這類由多個(gè)幾何體拼接而成的幾何體，在求它們的側(cè)面積或體積時(shí)，可以根據(jù)其特點(diǎn)適當(dāng)“分割”求解，再求和典例精析：例題1：如圖，已知AB是O的直徑，點(diǎn)C，D在O上，點(diǎn)E在O外，EACD60.(1)求ABC的度數(shù)；(2)求證：AE是O的切線；(3)當(dāng)BC4時(shí)，求劣弧的長解：(1)ABCD60 (2)AB是O的直徑，ACB90，BAC30，BAEBACEAC306090，即BAAE，AE是O的切線例題2：如圖，扇形OAB中，AOB90，半徑OA6，將扇形OAB沿過B點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長和面積解：連接OD，OBOD，OBBD，ODB是等邊三角形，DBO60，OBCCBD30，在RtOCB中，OC2，SOBCOCOB266，S 陰影S扇形AOB2SOBC3626912，l陰影l(fā)ABACCDDB326123三、隨堂檢測1(涼山州)如圖，ABC內(nèi)接于O，OBC40，則A的度數(shù)為( )A80 B100 C110 D1302如圖所示，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的半徑OA，OB分別交小圓于點(diǎn)A，B，則下列結(jié)論中正確的是()AAB2AB B.C.AB DAABB3如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為（)。A2 cm B. cm C2 cm D2 cm4如圖，在半徑為6 cm的O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且D30，下列四個(gè)結(jié)論：OABC；BC6 cm；sinAOB；四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A B C D5如圖，O中，AB是直徑，COAB，點(diǎn)D是CO的中點(diǎn)，DEAB，則的度數(shù)是_6已知一個(gè)等邊三角形的圖案的邊長是3 cm，現(xiàn)用一個(gè)最小的圓去覆蓋它，則這個(gè)圓的面積是_cm2.7(泰安中考)如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，OA5，弦AC8，ODAC，垂足為點(diǎn)E，交O于點(diǎn)D，連接BE，設(shè)BEC，則sin的值為_8如圖，已知AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在O上，MD.(1)判斷BC，MD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AE16，BE4，求線段CD的長；(3)若MD恰好經(jīng)過圓心O，求D的度數(shù)9已知直線l與半徑為2的O的位置關(guān)系是相離，則點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍在數(shù)軸上的表示正確的是()10如圖，RtABC中，ACB90，AC4，BC6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)D，E，則AD為( )A2.5 B1.6 C1.5 D111.如圖，已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的圓O與梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切點(diǎn)分別是D，C，E，若圓O的半徑為2，梯形的腰AB為5，則該梯形的周長是( )A9 B10 C12 D1412(xx廈門)如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，一個(gè)圓過點(diǎn)A，交邊AB于點(diǎn)E，且與BC相切于點(diǎn)D，則該圓的圓心是( )A線段AE中垂線與線段AC的中垂線的交點(diǎn)B線段AB中垂線與線段AC的中垂線的交點(diǎn)C線段AE中垂線與線段BC的中垂線的交點(diǎn)D線段AB中垂線與線段BC的中垂線的交點(diǎn)13(青島)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，若直線PA與O相切于點(diǎn)A，則PAB_14四邊形ABCD中，ADBC，AB3，B30，有一個(gè)直徑為3的圓，其圓心O在BC邊上移動(dòng)，當(dāng)BO等于_時(shí)，O與BA相切15(荊門)如圖，在ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，延長BA與A相交于點(diǎn)F，若的長為，則圖中陰影部分的面積為_16已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面位置，搬動(dòng)時(shí)，為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50 m，半圓的直徑為4 m，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_m(結(jié)果用表示)17如圖，AB為O的直徑，BF切O于點(diǎn)B，AF交O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交O于點(diǎn)E，且BAF2CBF，CGBF于點(diǎn)G，連接AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BCGACE；(3)若F60，GF1，求O的半徑長18如圖，已知AB為O的直徑，PA與O相切于點(diǎn)A，線段OP與弦AC垂直并相交于點(diǎn)D，OP與弧AC相交于點(diǎn)E，連接BC.(1)求證：PACB，且PABCABCD；(2)若PA10，sinP，求PE的長【答案】1.答案為D2. 答案為D3答案為C4. 答案為B5. 答案為60 6. 97. 8. 解：(1)BCMD，理由：MD，MC，DC，BCAD (2)連接OC，由垂徑定理可知CECD，COAB(AEBE)10，OEOBBE6，CE8，CD16(3)D30，連接MC，MD經(jīng)過圓心，MCD90，CMDD90，BCMD，BMDMDC，由垂徑定理得：，BMCBMD，CMDDBMCBMDMDC3MDC90，MDC30，即D309. 答案為A10. 答案為B11. 答案為D12. 答案為C13. 3014.315. 216. (250)17. 解：(1)AEBC (2)BF與O相切，ABF90，CBF90ABEBAE，BAF2CBF，BAF2BAE，BAECAE，CBFDAE，且BGCAED90，BCGACE (3)設(shè)O半徑為r，則AB2r，F(xiàn)60，BFr，AFr，GF1，CF2，ACABAFCFr22r，r2318. 解：PA是O的切線，AB是直徑，PAO90，C90，PACBAC90，且BBAC90，PACB，又OPAC，ADPC90，PADABC，APABADBC，在O中，ACOD，ADCD，APABCDBC，PABCABCD (2)sinP，且PA10，AD6，AC2AD12，在RtADP中，PD8，又APABPDAC，AB15，AO，OP，PEOPOE5