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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題一方法綜述立體幾何的動態(tài)問題是高考的熱點,問題中的“不確定性”與“動感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙,使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性。一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題,由此引發(fā)的常見題型為動點軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等。此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用,很多學(xué)生一籌莫展,無法形成清晰的分析思路,導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易失分點。究其原因,是因為學(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決問題的策略造成的。動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素,因此要認真分析其變化特點,尋找不變的靜態(tài)因素,從靜態(tài)因素中,找到解決問題的突破口。求解動態(tài)范圍的選擇、填空題,有時應(yīng)把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來,通過動態(tài)思維,觀察它的變化規(guī)律,找到兩個極端位置,即用特殊法求解范圍。對于探究存在問題或動態(tài)范圍(最值)問題,用定性分析比較難或繁時,可以引進參數(shù),把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題。具體地,可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算,以算促證。二解題策略類型一 立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題例1.【xx高考四川,理14】如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則的最大值為.【答案】,當時取等號.所以,當時,取得最大值.【指點迷津】空間的角的問題,一種方法,代數(shù)法,只要便于建立空間直角坐標系均可建立空間直角坐標系,然后利用公式求解;另一種方法,幾何法,幾何問題要結(jié)合圖形分析何時取得最大(?。┲?。當點M在P處時,EM與AF所成角為直角,此時余弦值為0(最?。?,當M點向左移動時,EM與AF所成角逐漸變小時,點M到達點Q時,角最小,余弦值最大?!九e一反三】1、【xx四川,理8】如圖,在正方體中,點為線段的中點.設(shè)點在線段上,直線與平面所成的角為,則的取值范圍是()A B C D【答案】B ,.又直線與平面所成的角小于等于,而為鈍角,所以的范圍為,選B. 2、【xx屆內(nèi)蒙古包頭市十校高三聯(lián)考】在正方體中,點在線段上運動,則異面直線與所成角的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖,已知平面,、是直線上的兩點,、是平面內(nèi)的兩點,且, ,是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是( )A B C D【答案】C類型二 立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題【例2】如圖所示,在空間直角坐標系中,是坐標原點,有一棱長為的正方體,和分別是體對角線和棱上的動點,則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】B【指點迷津】求兩點間的距離或其最值。一種方法,可建立坐標系,設(shè)點的坐標,用兩點間距離公式寫出距離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題;另一種方法,幾何法,根據(jù)幾何圖形的特點,尋找那兩點間的距離最大(小),求其值?!九e一反三】1、【xx屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下第六次月考】如圖,已知正方體棱長為4,點在棱上,且,在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形,是側(cè)面內(nèi)一動點,且點到平面距離等于線段的長,則當點運動時,的最小值是( )A21 B22 C23 D25【答案】B【解析】在上取點,使得,則面,連結(jié),則在平面上,以所在直線為軸,以所在直線為軸,由題意可知,點軌跡為拋物線,其方程為,點坐標為,設(shè),則(其中,當時,故2、如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為_.【答案】 3、【xx屆浙江省溫州市高三第二次模擬考試】如圖,在三棱錐中,平面平面,與均為等腰直角三角形,且,點是線段上的動點,若線段上存在點,使得異面直線與成的角,則線段長的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B類型三 立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】在棱長為6的正方體中,是中點,點是面所在的平面內(nèi)的動點,且滿足,則三棱錐的體積最大值是( )A. 36 B. C. 24 D. 【答案】B【指點迷津】求幾何體體積的最值,先觀察幾何圖形三棱錐,其底面的面積為不變的幾何量,求點P到平面BCD的距離的最大值,選擇公式,可求最值?!九e一反三】1、【xx屆山東棗莊市高三理上學(xué)期末】 九章九術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,若,當陽馬體積最大時,則塹堵的體積為( )A B C. D【答案】C2、【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)xx屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知矩形中, , 分別是上兩動點,且,把四邊形沿折起,使平面平面,若折得的幾何體的體積最大,則該幾何體外接球的體積為( ) A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx新課標2文10】已知是球的球面上兩點,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D. 【答案】C 【解析】類型四 立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題【例4】如圖直三棱柱中,為邊長為2的等邊三角形,點、分別是邊、的中點,動點在四邊形內(nèi)部運動,并且始終有平面,則動點的軌跡長度為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因為分別為的中點,所以,所以平面,平面,又因為,所以平面平面,要使平面,則平面,所以點的軌跡為線段,點的軌跡長度為.故本題正確答案為.【指點迷津】由已知可知平面平面,要始終有平面,點M為定點,所以點P的軌跡為線段HF,求其長度即可?!九e一反三】1、如圖,斜線段與平面所成的角為,為斜足,平面上的動點滿足,則點的軌跡是( )A直線 B拋物線 C橢圓 D雙曲線的一支【答案】C.2、【xx屆浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三月考】在正方體中,已知點為平面中的一個動點,且點滿足:直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小,則點的軌跡為( )A直線 B橢圓 C圓 D拋物線【答案】D3、【xx屆浙江省名校協(xié)作體高三下學(xué)期考試】已知平面平面,且.是正方形,在正方形內(nèi)部有一點,滿足與平面所成的角相等,則點的軌跡長度為 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)題意,以為原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標系,如圖1所示,則,設(shè),易知直線與平面所的角分別為,均為銳角,類型五 立體幾何中動態(tài)問題中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題【例5】如圖,已知,是的中點,沿直線將折成,所成二面角的平面角為,則( )A. B. C. D.【答案】B.【解析】試題分析:設(shè),設(shè),則由題意,在空間圖形中,設(shè),在中,在空間圖形中,過作,過作,垂足分別為,過作,連結(jié),則就是二面角的平面角,在中,【舉一反三】 1、【xx課標1,理16】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點,DBC,ECA,F(xiàn)AB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,F(xiàn)AB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_.【答案】【解析】2、【浙江省xx屆高三3月聯(lián)考】矩形中, , ,將與沿所在的直線進行隨意翻折,在翻折過程中直線與直線成的角范圍(包含初始狀態(tài))為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始狀態(tài)直線與直線成的角為 ,翻折過程中當時, 直線與直線成的角為直角,因此直線與直線成的角范圍為,選C.3、如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,下列命題中,錯誤的是( )A動點在平面上的射影在線段上 B恒有平面平面C三棱錐的體積有最大值 D異面直線與不可能垂直【答案】D三強化訓(xùn)練1、【xx課標3,理16】a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當直線AB與a成60角時,AB與b成30角;當直線AB與a成60角時,AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45;直線AB與a所成角的最小值為60.其中正確的是_.(填寫所有正確結(jié)論的編號)【答案】【解析】試題分析:由題意,是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由,又AC圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點B,作,交底面圓于點D,如圖所示,連結(jié)DE,則DEBD,連結(jié)AD,等腰ABD中, ,當直線AB與a成60角時,故,又在中,過點B作BFDE,交圓C于點F,連結(jié)AF,由圓的對稱性可知 ,為等邊三角形,即AB與b成60角,正確,錯誤.由最小角定理可知正確;很明顯,可以滿足平面ABC直線a,直線與所成的最大角為90,錯誤.正確的說法為. 2、【xx高考山東,理7】在梯形中, .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()(A)(B)(C)(D)【答案】C 3、【xx屆河北定州市月考卷】設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上,記,當為鈍角時,的取值范圍是 【答案】【解析】4、【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)xx屆高三3月月考】如右圖所示,在棱長為2的正方體中, 為棱的中點,點分別為面和線段上的動點,則周長的最小值為_ 【答案】【解析】將面與面折成一個平面,設(shè)E關(guān)于的對稱點為M,E關(guān)于 對稱點為N,則周長的最小值為. 5、如圖所示,在棱長為2的正四面體中,是棱的中點,若是棱上一動點,則的最小值為 A B C D【答案】B6、在直三棱柱中,底面為直角三角形, ,是上一動點,則的最小值是( )A B C D 【答案】B7、在長方體中,點為對角線上的動點,點為底面上的動點(點,可以重合),則的最小值為( )A B C D【答案】C【解析】由題意易得:,作平面于,由對稱性可知,因此,問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi),體對角線上找一點使得最小,如下圖所示,過點作它關(guān)于直線的對稱點,交直線與點, 再過點作于點,交于點,則的長度即為所求的最小值,易得,故選C8、已知直角梯形,沿折疊成三棱錐,當三棱錐體積最大時,兩點間的距離是 .【答案】 9、如圖,矩形中,平面,若在上只有兩個點滿足,則的取值范圍是 .【答案】.【解析】由,得:,設(shè) ,則由勾股定理可計算:,代入整理得: ,由題意得方程有兩個正根,.10、【xx高考山東,文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )(A) (B) ()2 ()4 【答案】11、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖,在棱長為的正方體中,為的中點,為上任意一點,為上任意兩點,且的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是( )A點到平面的距離 B三棱錐的體積C直線與平面所成的角 D二面角的大小【答案】C【解析】試題分析:A:平面也就是平面,既然和平面都是固定的,到平面的距離是定值;B:的面積是定值(定長,到的距離就是到的距離也為定長,即底和高都是定值),再根據(jù)的結(jié)論到平面的距離也是定值,三棱錐的高也是定值,于是體積固定三棱錐的體積是定值;C:是動點,也是動點,推不出定值的結(jié)論,就不是定值直線與平面所成的角不是定值;D:,為上任意一點,、為上任意兩點,二面角的大小為定值故選:C12、長方體中,已知,棱在平面內(nèi),則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 【答案】.【考點】立體幾何中的動態(tài)問題.(其中,),因此,當且僅當時取到,因此.13、如圖所示,正方體的棱長為, 分別是棱,的中點,過直線的平面分別與棱、交于,設(shè),給出以下四個命題:(1)平面平面;(2)當且僅當時,四邊形的面積最?。唬?)四邊形周長,則是偶函數(shù);(4)四棱錐的體積為常函數(shù);以上命題中真命題的序號為_.【答案】.,則,則是偶函數(shù);(4)根據(jù)分割思想,有,又,到平面的距離為1,又,為常函數(shù)14、【xx高考北京理第8題】如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,動點E,F(xiàn)在棱A1B1上,動點P,Q分別在棱AD,CD上若EF1,A1Ex,DQy,DPz(x,y,z大于零),則四面體PEFQ的體積 ()A與x,y,z都有關(guān)B與x有關(guān),與y,z無關(guān)C與y有關(guān),與x,z無關(guān)D與z有關(guān),與x,y無關(guān)【答案】D【解析】試題分析:DCA1B1,EF1,SEFQ12 (定值)而點P到面EFQ的距離為P到面A1DCB1的距離,為DPsin45z.V四面體PEFQzz. 15、【xx屆廣西陸川縣中學(xué)高三9月月考】正四棱錐的底面邊長為2,高為2,是邊的中點,動點在棱錐表面上運動,并且總保持,則動點的軌跡的周長為_【答案】【解析】16、如圖,矩形中,為邊的中點,將沿直線翻折成,若為線段的中點,則在翻折過程中,下面四個命題中不正確的是( )A是定值 B點在某個球面上運動C存在某個位置,使 D存在某位置,使平面【答案】C【解析】取中點,連接,則,平面平面,平面,故D正確;由,為定值,為定值,由余弦定理可得,是定值,故A正確;是定點,是在以為圓心,為半徑的圓上,故B正確;在平面中的射影為,與不垂直,存在某個位置,使錯誤,故選C17、在平行四邊形中, ,若將其沿折成直二面角,則三棱錐的外接球的表面積為( )A B C D【答案】C18、直角梯形,滿足,現(xiàn)將其沿折疊成三棱錐,當三棱錐體積取最大值時其外接球的體積為( )A B C D【答案】B.19、【江西省xx屆高三4月新課程教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】如圖所示,正方體的棱長為1, , 分別是棱, 的中點,過直線的平面分別與棱, 交于, ,設(shè), ,給出以下命題:四邊形為平行四邊形;若四邊形面積, ,則有最小值;若四棱錐的體積, ,則為常函數(shù);若多面體的體積, ,則為單調(diào)函數(shù).當時,四邊形為正方形.其中假命題的個數(shù)為( )A. 0 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D 20、【xx屆浙江省臺州市高三上學(xué)期期末質(zhì)量評估考試】如圖,在矩形中,四邊形為邊長為的正方形,現(xiàn)將矩形沿過點的動直線 翻折,使翻折后的點在平面上的射影落在直線上,若點在折痕上射影為,則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】A

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