（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.1 空間幾何體的表面積和體積精練.docx

8.1空間幾何體的表面積和體積【真題典例】挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2016天津,11空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖2015天津,102014天津,102.空間幾何體的表面積和體積理解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)2018天津,11空間幾何體的表面積和體積正方體的性質(zhì)分析解讀1.理解多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念,牢記它們的幾何特征;2.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等幾何體的形成過程,正確把握軸截面、中截面的含義及掌握將圓柱、圓錐、圓臺(tái)的空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的方法;3.理解柱、錐、臺(tái)、球(無側(cè)面積)的側(cè)面積、表面積和體積的概念;4.結(jié)合模型,在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺(tái)、球的表面積公式和體積公式;5.備考時(shí)關(guān)注以柱、錐與球的接、切問題為命題背景,突出空間幾何體的線面位置關(guān)系的試題;6.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以計(jì)算幾何體的表面積和體積為主,分值約為5分,屬于中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線答案D考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積2.(2015北京,5,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C3.(2015安徽改編,19,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.求三棱錐P-ABC的體積.解析由AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=12ABACsin60=32.由PA平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=13SABCPA=36.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1空間幾何體表面積與體積的求解方法1.(2016課標(biāo)文,4,5分)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.323C.8D.4答案A2.(2016北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.16B.13C.12D.1答案A3.(2015課標(biāo),6,5分)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B4.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.答案435.(2014山東文,13,5分)一個(gè)六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為.答案12方法2與球有關(guān)的切、接問題的求解方法6.(2015課標(biāo),10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256答案C7.(2017課標(biāo),15,5分)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為.答案148.(2017天津,11,5分)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為.答案92過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2016天津,11,5分)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為m3.答案22.(2015天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.答案833.(2014天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.答案2034.(2018天津,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.答案112B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2017課標(biāo),8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.B.34C.2D.4答案B2.(2014課標(biāo),7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為()A.3B.32C.1D.32答案C3.(2014大綱全國,8,5分)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()A.814B.16C.9D.274答案A4.(2014陜西,5,5分)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為()A.323B.4C.2D.43答案D5.(2018課標(biāo),16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45.若SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為.答案4026.(2015江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為.答案77.(2018課標(biāo),18,12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC為折痕將ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且ABDA.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23DA,求三棱錐Q-ABP的體積.解析(1)證明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.如圖,作QEAC,垂足為E,則QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-ABP的體積為13SABPQE=1312322sin451=1.規(guī)律總結(jié)證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟:(1)審清題意:分析條件,挖掘題目中平行與垂直的關(guān)系;(2)明確方向:確定問題的方向,選擇證明平行或垂直的方法,必要時(shí)添加輔助線;(3)給出證明:利用平行、垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明;(4)反思回顧:查看關(guān)鍵點(diǎn)、易漏點(diǎn),檢查使用定理時(shí)定理成立的條件是否遺漏,符號(hào)表達(dá)是否準(zhǔn)確.解題關(guān)鍵(1)利用平行關(guān)系將ACM=90轉(zhuǎn)化為BAC=90是求證第(1)問的關(guān)鍵;(2)利用翻折的性質(zhì)將ACM=90轉(zhuǎn)化為ACD=90,進(jìn)而利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)定理得出三棱錐Q-ABP的高是求解第(2)問的關(guān)鍵.8.(2017課標(biāo)文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90.(1)證明:直線BC平面PAD;(2)若PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積.解析本題考查線面平行的判定和體積的計(jì)算.(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)锽AD=ABC=90,所以BCAD,又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=12AD及BCAD,ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD,所以PMCM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PNCD,所以PN=142x.因?yàn)镻CD的面積為27,所以122x142x=27,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱錐P-ABCD的體積V=132(2+4)223=43.9.(2016課標(biāo)文,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱錐D-ABCFE的體積.解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以O(shè)D平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=92.五邊形ABCFE的面積S=1268-12923=694.(10分)所以五棱錐D-ABCFE的體積V=1369422=2322.(12分)C組教師專用題組1.(2014湖北,8,5分)算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V136L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么,近似公式V275L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為()A.227B.258C.15750D.355113答案B2.(2013課標(biāo)文,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AHHB=12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面積為.答案923.(2013江蘇,8,5分)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=.答案1244.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉庫的容積最大?解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,O1O=4h(m).如圖,連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,從而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).當(dāng)0<h<23時(shí),V>0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)23<h<6時(shí),V<0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=23時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23m時(shí),倉庫的容積最大.評析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.5.(2015課標(biāo)文,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.所以S梯形A1EHA=12(A1E+AH)A1A=12(4+10)8=56,S梯形B1BHE=12(HB+EB1)A1A=12(6+12)8=72,又長方體被平面分成兩個(gè)等高的直棱柱,高為10,所以其體積的比值為S梯形A1EHAS梯形B1BHE=5672=7997也正確.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2019屆天津新華中學(xué)期中,3)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.13+B.23+C.13+2D.23+2答案A2.(2018天津紅橋一模,4)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.223B.2C.23D.答案C二、填空題(每小題5分,共35分)3.(2019屆天津七校聯(lián)考,11)一個(gè)幾何體的正視圖由2個(gè)全等的矩形組成,側(cè)視圖也是矩形,俯視圖由兩個(gè)全等的直角三角形組成,數(shù)據(jù)如圖所示,則該幾何體的體積為.答案124.(2019屆天津南開中學(xué)開學(xué)考,11)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積為cm3.答案205.(2018天津河?xùn)|一模,11)某幾何體的三視圖如圖(其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓),則該幾何體的表面積為.答案92+146.(2018天津十二區(qū)縣一模,10)如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積是.答案487.(2018天津部分區(qū)縣一模,13)在三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,BDCD,BD=DC=4,AB=3,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為.答案418.(2018天津河?xùn)|二模,11)麻團(tuán)又叫煎堆,呈球形,華北地區(qū)稱麻團(tuán),是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食,寓意團(tuán)圓.制作時(shí)以糯米粉團(tuán)炸起,加上芝麻而制成,有些包入麻茸、豆沙等餡料,有些沒有.一個(gè)長方體形狀的紙盒中恰好放入4個(gè)球形的麻團(tuán),它們彼此相切,同時(shí)與長方體紙盒上下底和側(cè)面均相切,其俯視圖如圖所示,若長方體紙盒的表面積為576cm2,則一個(gè)麻團(tuán)的體積為cm3.答案369.(2019屆天津南開中學(xué)統(tǒng)練(3),11)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切,記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是.答案32三、解答題(共15分)10.(2017天津和平二模,17)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=4,D為BB1上一點(diǎn),E為AC上一點(diǎn),且B1D=CE=1,BE=7.(1)求證:BEAC1;(2)求證:BE平面AC1D;(3)求四棱錐A-BCC1B1的體積.解析(1)證明:在ABE中,AB=4,AE=3,BE=7,AE2+BE2=AB2,則BEAE,即BEAC,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,CC1底面ABC,CC1BE,又CC1AC=C,BE平面ACC1A1,又AC1平面ACC1A1,BEAC1.(2)證明:在平面ACC1A1中,過E作EFC1C交AC1于F,連接DF.CE=14AC,C1F=14AC1=2,AF=32,則EF=AF2-AE2=18-9=3.BD=BB1-B1D=3,EF=BD,EFCC1,BDCC1,BDEF,且BD=EF,則四邊形BDFE為平行四邊形,BEDF,BE平面AC1D,DF平面AC1D,BE平面AC1D.(3)VABC-A1B1C1=12ACBEAA1=12474=87,VA-A1B1C1=1387=873,VA-BCC1B1=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=87-873=1673.解題分析本題考查直線與平面平行的判定,考查了空間想象能力和思維能力,是中檔題.