高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯總及解析()

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1、高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯總及解析 “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全〞一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以到達(dá)授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。 【易錯(cuò)點(diǎn)1】無(wú)視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

2、例1、 設(shè)，，假設(shè)，求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？ 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。 解析：集合A化簡(jiǎn)得，由知故〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，即方程無(wú)解，此時(shí)a=0符合條件〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，即方程的解為3或5，代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個(gè)。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】〔1〕在應(yīng)用條件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合Ａ是空集Φ的情況優(yōu)先進(jìn)行討論． 〔2〕在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性〞特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)

3、果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語(yǔ)言〔數(shù)學(xué)語(yǔ)言〕和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：，，其中,假設(shè)求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以〔3，4〕為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用。 【練1】集合、，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。答案：或。 【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易無(wú)視定義域優(yōu)先的原那么。 例2、,求的取值范圍 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易

4、只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。 解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1從而x2+y2=-3x2-16x-12= +因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值1, 當(dāng)x=-時(shí)，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是[1, ] 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件對(duì)x、y的限制，顯然方程表示以〔-2，0〕為中心的橢圓，那么易知-3≤x≤-1，。此外此題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。 【練2】〔05高考重慶卷〕假設(shè)動(dòng)點(diǎn)〔x,y〕在曲線上變化，那么的最大值為〔

5、〕 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕 答案：A 【易錯(cuò)點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。 例3、 是R上的奇函數(shù)，〔1〕求a的值〔2〕求的反函數(shù) 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。 解析：〔1〕利用〔或〕求得a=1. 〔2〕由即，設(shè),那么由于故，，而所以 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】〔1〕在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后說明〔假設(shè)反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略〕。 〔2〕應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。 【練3】〔2004全國(guó)理〕函

6、數(shù)的反函數(shù)是〔〕 A、 B、 C、 D、 答案：B 【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位 例4、函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么的解析式為〔〕 A、 B、 C、 D、 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答此題時(shí)易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為的反函數(shù)是那么==而錯(cuò)選A。 解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：B 【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來(lái)看：設(shè)那么， 再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。 【練4】〔2004高考福建卷〕函數(shù)y=log2x的反函

7、數(shù)是y=f-1(x)，那么函數(shù)y= f-1(1-x)的圖象是〔〕 答案：B 【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性無(wú)視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 例5、 判斷函數(shù)的奇偶性。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。 解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】〔1〕函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。 〔2〕函數(shù)具有奇偶性，那么是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)

8、求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。 【練5】判斷以下函數(shù)的奇偶性： ①②③ 答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù) 【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。 例6、 函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。 【思維分析】可求的表達(dá)式，再證明。假設(shè)注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。 解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：〔1〕定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。〔2〕奇函數(shù)

9、的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性?！?〕定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)?！?〕周期函數(shù)不存在反函數(shù)〔5〕原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 。 【練6】〔1〕〔99全國(guó)高考題〕 ，那么如下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕 A、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù) C、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù) 答案：A 〔2〕〔2005天津卷〕設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，那么使成立的的取值范圍為〔〕A、 B、 C、 D、 答案：A 〔時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.〕

10、【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的標(biāo)準(zhǔn)性及樹立定義域優(yōu)先的原那么。 例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。 解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè) ， 由于 故當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù). 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】〔1〕函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比擬大小、解不等式、

11、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。 〔2〕單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這說明增減性的幾何意義：增〔減〕函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于〔小于〕零。 〔3〕是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意此題中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在表達(dá)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪〞和“或〞， 【練7】〔1〕 〔濰坊市統(tǒng)考題〕〔1〕用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。〔2〕設(shè)在的最小值為，求的解析式。 答案：〔1〕函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。〔2〕 〔2〕 〔2001天津〕設(shè)且為R上的偶函數(shù)?！?〕求a的值〔2〕試判斷函數(shù)在上

12、的單調(diào)性并給出證明。 答案：〔1〕〔2〕函數(shù)在上為增函數(shù)〔證明略〕 【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。 例8、〔2004全國(guó)高考卷〕函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。 解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔1〕當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，那么故解得。〔2〕當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)?！?〕當(dāng)時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是。 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】假設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說

13、明：①與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:假設(shè)將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有?！喈?dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。③與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，防止討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題

14、。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。 因此此題在第一步后再對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。 【練8】〔1〕〔2003新課程〕函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是〔〕 A、 B、 C、 D、 答案：A 〔2〕是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？ 答案：?！蔡崾緭?jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗(yàn)。〕 【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，無(wú)視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷

15、不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。 例9、 ：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了根本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。 解析：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=

16、得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等〞，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。 【練9】〔97全國(guó)卷文22理22〕甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,汽車每小時(shí)的運(yùn)輸本錢〔以元為單位〕由可變局部和固定局部組成：可變局部與速度v〔km/h〕的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定局部為a元。 （1） 把全程運(yùn)輸本錢y〔元

17、〕表示為速度v〔km/h〕的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （2） 為了使全程運(yùn)輸本錢最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 答案為:〔1〕〔2〕使全程運(yùn)輸本錢最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)＞c時(shí)，行駛速度v=c。 【易錯(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。 例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？假設(shè)存在求出a的值，假設(shè)不存在，說明理由。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。 解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合

18、函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法〔1〕當(dāng)a>1時(shí)，假設(shè)使在上是增函數(shù)，那么在上是增函數(shù)且大于零。故有解得a>1?！?〕當(dāng)a<1時(shí)假設(shè)使在上是增函數(shù)，那么在上是減函數(shù)且大于零。不等式組無(wú)解。綜上所述存在實(shí)數(shù)a>1使得函數(shù)在上是增函數(shù) 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍〔大于1還是小于1〕，特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想〔對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制〕。 【練10】〔1〕〔黃崗三月分統(tǒng)考變式題〕設(shè)，且試求函數(shù)的的單

19、調(diào)區(qū)間。 答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。 〔2〕〔2005 高考天津〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，那么的取值范圍是〔〕A、 B、 C、 D、 答案：B.〔記，那么當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，那么需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)時(shí)，要使是函數(shù)，那么需有恒成立，所以.排除A〕 【易錯(cuò)點(diǎn)11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性． 例11、求的最大值 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解

20、， 解析：由條件有且〔結(jié)合〕得，而==令那么原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時(shí)，原式取得最大值。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)〞是根底，“方法〞是手段，“思想〞是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合表達(dá)就是“能力〞，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條

21、件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。 【練11】〔1〕〔高考變式題〕設(shè)a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。 答案：f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為 〔2〕不等式>ax＋的解集是(4,b)，那么a＝________，b＝_______。 答案：〔提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為〕 【易錯(cuò)點(diǎn)12】求時(shí), 易忽略n＝１的情況． 例12、〔2005高考北京卷〕數(shù)列前n項(xiàng)和且?！?〕求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意

22、n值都成立，忽略了對(duì)n=1的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。 解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以求。但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否那么要寫分段函數(shù)的形式。 【練12】〔2004全國(guó)理〕數(shù)列滿足那么數(shù)列的通項(xiàng)為 。 答案：〔將條件右端視為數(shù)列的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可〕 【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集〔從1開始〕 例13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問n為何值時(shí)最大?

23、 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。 解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故假設(shè)為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集〔從1開始〕上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)

24、列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。 【練13】〔2001全國(guó)高考題〕設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A、B、C、 D、和均為的最大值。 答案：C〔提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答〕 【易錯(cuò)點(diǎn)14】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。 例14、關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值。 【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。 解析：不

25、妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故從而=。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列，假設(shè)，那么；對(duì)于等比數(shù)列，假設(shè)，那么；假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列；假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。 【練14】〔2003全國(guó)理天津理〕方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，那么=〔〕 A、1 B、 C、

26、 D、 答案：C 【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比ｑ＝１的情況 例15、數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為〔〕的等比數(shù)列。 〔I〕求使成立的的取值范圍；〔II〕求數(shù)列的前項(xiàng)的和． 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為〔〕的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。 解：〔I〕∵數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴，，由得，即〔〕，解得． 〔II〕由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這說明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，，∴當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)

27、，． 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】此題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。 【練15】〔2005高考全國(guó)卷一第一問〕設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和〔1〕求q的取值范圍。 答案： 【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。 例16、．〔2003北京理

28、〕數(shù)列是等差數(shù)列，且 〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔2〕令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。 【思維分析】此題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列〞，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。 解析：〔1〕易求得 〔2〕由〔1〕得令〔Ⅰ〕那么〔Ⅱ〕用〔Ⅰ〕減去〔Ⅱ〕〔注意錯(cuò)過一位再相減〕得當(dāng)當(dāng)時(shí) 綜上可得： 當(dāng)當(dāng)時(shí) 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，那么其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的根底上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。 【練16】〔2005全

29、國(guó)卷一理〕當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案：時(shí)當(dāng)時(shí). 【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。 例17、求…． 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題解答時(shí)一方面假設(shè)不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。 解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，∴，取，，，…，就分別得到，…，∴ ． 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法〞有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)〔也可三個(gè)或更多〕相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)

30、，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見的變形題除此題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法〞的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。 【練17】〔2005濟(jì)南統(tǒng)考〕求和＋＋＋…＋． 答案：…＝． 【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。 例18、〔2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20〕設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (Ⅰ)假設(shè)首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k； (Ⅱ)

31、求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立. 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的根本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第(Ⅱ)時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立〞這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。 解：〔I〕當(dāng)時(shí) 由，即 又. 〔II〕設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，那么在中分別取k=1,2,得 〔1〕 〔2〕 由〔1〕得 當(dāng) 假設(shè)成立 , 假設(shè)故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng) 假設(shè) 假設(shè). 綜上，

32、共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列： ①{an} : an=0，即0，0，0，…；②{an} : an=1，即1，1，1，…； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…， 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.〞就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是此題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能防止因無(wú)視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。 【練18】〔1〕〔2000全國(guó)〕數(shù)列,其中,且數(shù)列 答案：p=2或p=3〔提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說

33、明p值對(duì)任意自然數(shù)n都成立〕 【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)〔或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)〕時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略. 例19、雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，那么直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易無(wú)視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。 解析：聯(lián)立方程組消去y得到〔1〕當(dāng)時(shí)，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。〔2〕當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線

34、與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)〔3〕當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且?！?〕當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。 綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況

35、對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過此題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。 【練19】〔1〕〔2005重慶卷〕橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)?！?〕求雙曲線的方程〔2〕假設(shè)直線與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：〔1〕〔2〕 〔2〕雙曲線C： ，過點(diǎn)P〔1，1〕作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么滿足上述條件的直線l共有____條。答案：4條〔可知kl存在時(shí)，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x- (1-k2)-4=0,∴ 當(dāng)4-k2=0即k=±2時(shí)

36、，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠±2時(shí)，由Δ=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)∴綜上，共有4條滿足條件的直線〕 【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。 例20、，求〔1〕；〔2〕的值. 【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將〔2〕式分子分母除去即可。 解：〔1〕； (2) . 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)〔如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到〕，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1〞的種種代換有著廣泛的應(yīng)用． 【練20】．〔2004年湖北卷理科〕 的值. 答案：〔原式可化為，〕

37、 【易錯(cuò)點(diǎn)21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。 mm的報(bào)紙對(duì)拆,再對(duì)拆....對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(地球與月球的距離約為米) 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。 解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來(lái)的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列，那么數(shù)列是以米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對(duì)拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球間的距離為

38、4×108<5.63×1010故可建一座橋。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或第n項(xiàng)的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來(lái)。 【練21】〔2001全國(guó)高考〕從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加. (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫出an,bn的表達(dá)式；

39、 (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 〔1〕an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］ bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1=1600×［()n－1］ 〔2〕至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 【易錯(cuò)點(diǎn)22】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對(duì)此知識(shí)遺忘，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長(zhǎng)度二者等同起來(lái)，產(chǎn)生概念性的錯(cuò)誤。 例21、以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕 A、、都是第二象限角，假設(shè)，那么B、、都是第三象限角，假設(shè)

40、，那么C、、都是第四象限角，假設(shè)，那么D、、都是第一象限角，假設(shè)，那么。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解答此題時(shí)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：〔1〕將象限角簡(jiǎn)單理解為銳角或鈍角或270到360度之間的角?！?〕思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應(yīng)用三角函數(shù)線比擬兩角三角函數(shù)值大小的意識(shí)而使思維受阻。 解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即B、同理可知C、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即。正確。D、同理可知應(yīng)為。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對(duì)應(yīng)起來(lái)，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有

41、向線段的數(shù)量而不是長(zhǎng)度。三角函數(shù)線在解三角不等式、比擬角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易知，等。 【練22】〔2000全國(guó)高考〕，那么以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕 A、 假設(shè)、都是第一象限角，那么B、假設(shè)、都是第二象限角，那么 B、 假設(shè)、都是第三象限角，那么D、假設(shè)、都是第四象限角，那么 答案：D 【易錯(cuò)點(diǎn)23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將和求錯(cuò)。 例23．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象〔〕 A、 先將每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。 B、 先將每個(gè)x值

42、縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。 C、 先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。 D、 先把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】變換成是把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是擴(kuò)大到原來(lái)的倍，這樣就誤選A或C，再把平移到有的同學(xué)平移方向錯(cuò)了， 有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是。 解析：由變形為常見有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到函數(shù)的圖象， 再將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移單位。即得函數(shù)。 或者先進(jìn)行相位變換，即將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位

43、，得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍即得即得函數(shù)的圖象。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖象的一種重要的方法，一般地由得到 的圖象有如下兩種思路：一先進(jìn)行振幅變換即由橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍得到，再進(jìn)行周期變換即由 縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到，再進(jìn)行相位變換即由橫坐標(biāo)向左〔右〕平移個(gè)單位，即得，另種就是先進(jìn)行了振幅變換后，再進(jìn)行相位變換即由向左〔右〕平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍即得。不管哪一種變換都要注意一點(diǎn)就是不管哪一種變換都是對(duì)純粹的變量x來(lái)說的。 【練23】〔2005全國(guó)卷天津卷〕要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有

44、的點(diǎn)的 A、 橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。B、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度。 答案：C 【易錯(cuò)點(diǎn)24】沒有挖掘題目中確實(shí)隱含條件，無(wú)視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。 例24、，求的值。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題可依據(jù)條件，利用可解得的值，再通過解方程組的方法即可解得、的值。但在解題過程中易無(wú)視這個(gè)隱含條件來(lái)確定角范圍，主觀認(rèn)為的值可正可負(fù)從而造成增解。 解析：據(jù)〔1〕有，又由于，故有，從而即〔2〕聯(lián)立〔

45、1〕〔2〕可得，可得。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過程中，角的范圍確實(shí)定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過程中要注意在已有條件的根底上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與角的三角函數(shù)值的大小比擬結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。此題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知假設(shè)那么必有,故必有。 【練24】〔1994全國(guó)高考〕，那么的值是 。 答案： 【易錯(cuò)點(diǎn)25】根據(jù)條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識(shí)或確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。 例25、假設(shè)，且、均為銳角，求的值。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過程中，假設(shè)求的正弦，這

46、時(shí)由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)故滿足條件的角有兩個(gè)，兩個(gè)是否都滿足還需進(jìn)一步檢驗(yàn)這就給解答帶來(lái)了困難，但假設(shè)求的余弦就不易出錯(cuò)，這是因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)，滿足條件的角唯一。 解析：由且、均為銳角知解析：由且、均為銳角知,那么由、均為銳角即故 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】根據(jù)條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)此三 角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點(diǎn)一就是要結(jié)合角的范圍選擇適宜的三角函數(shù)名稱 同時(shí)要注意盡量用角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：等。 二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)要注意確定角的范圍的技巧。 【練25】〔1〕在三角形中，，求三角形的內(nèi)角C

47、的大小。 答案：〔提示確定角的余弦值，并結(jié)合條件確定角A的范圍〕 〔2〕〔2002天津理，17〕cos〔α＋〕＝≤α＜，求cos〔2α＋〕的值. 答案：=－ 【易錯(cuò)點(diǎn)26】對(duì)正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。 例26、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么a等于〔 〕 A. B.－ C.1 D.－1 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)時(shí)，y=0，導(dǎo)致解答出錯(cuò)。 解析：〔法一〕函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數(shù)的對(duì)

48、稱軸，那么它通過函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即 ，解得.應(yīng)選D 〔法二〕依題意函數(shù)為,直線是函數(shù)的對(duì)稱軸,故有，即：，而 故，從而應(yīng)選D. 〔法三〕假設(shè)函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對(duì)稱那么必有，代入即得。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無(wú)窮多條對(duì)稱軸及無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的幾何和代數(shù)特征。希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)此題的三種解法根據(jù)具體問題的不同靈活處理。 【練26】〔1〕〔2003年高考江蘇卷18〕函數(shù)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和ω的值. 答案：或。 〔2〕〔2005全國(guó)卷一第1

49、7題第一問〕設(shè)函數(shù)的，圖象的一條對(duì)稱軸是直線，求 答案：= 【易錯(cuò)點(diǎn)27】利用正弦定理解三角形時(shí)，假設(shè)三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易無(wú)視三角形解的個(gè)數(shù)。 例27、在中，。求的面積 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C，那么相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的角可能不唯一，這時(shí)要借助條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。 解析：根據(jù)正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個(gè)故或.那么或故相應(yīng)的三角形面積為或. 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形

50、中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題〔1〕兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解?！?〕兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，可通過幾何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在中，a,b和A解的情況如下： （1） 當(dāng)A為銳角 〔2〕假設(shè)A為直角或鈍角 【練27】〔2001全國(guó)〕如果滿足，，的三角表恰有一個(gè)那么k的取值范圍是〔〕A、B、C、D、或 答案：D 【易錯(cuò)點(diǎn)28】三角形中的三角函數(shù)問題。對(duì)三角變換同三角形邊、角之間知識(shí)的結(jié)合的綜合應(yīng)用程度不夠。 例28、

51、〔1〕〔2005湖南高考〕在△ABC中，sinA〔sinB＋cosB〕－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過程中假設(shè)無(wú)視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象。 解法一 由得 所以即 因?yàn)樗?，從而由知從?由即由此得所以 解法二：由由、，所以即由得 所以 即因?yàn)椋杂蓮亩?，知B+2C=不合要求.再由，得所以 2、〔北京市東城區(qū)2005年高三年級(jí)四月份綜合練習(xí)〕在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且 〔Ⅰ〕求角B的大小〔Ⅱ〕假設(shè)，求△ABC的面積. 【思維分析】根

52、據(jù)正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關(guān)系或角的關(guān)系解答。 〔Ⅰ〕解法一：由正弦定理得將上式代入即故A+B+C=，為三角形的內(nèi)角，. 解法二：由余弦定理得將上式代入 整理得 為三角形的內(nèi)角，. 〔Ⅱ〕將代入余弦定理得 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】三角形中的三角函數(shù)問題一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。對(duì)正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角互化〔如判斷三角形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有的邊和角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系是解三角形的常規(guī)思路〕，三角形內(nèi)的三角函數(shù)求值、三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都表達(dá)了三角函數(shù)知識(shí)與三角形知識(shí)的交匯，表達(dá)了高考命題的原那么。 【練28】〔1〕

53、〔2004年北京春季高考〕在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。 答案：， 〔2〕〔2005天津〕在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件和。求∠A和的值。 答案：， 【易錯(cuò)點(diǎn)29】含參分式不等式的解法。易對(duì)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重不漏的目的。 例29、解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1). 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，無(wú)視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論，導(dǎo)致錯(cuò)解。 解：原不等式可化為：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. 當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x≥

54、2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無(wú)解；假設(shè)＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞). 當(dāng)a＜1時(shí)，假設(shè)a＜0，解集為(，2)；假設(shè)0＜a＜1，解集為(2，) 綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2). 【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原那么向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問題： (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法. (2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不

55、等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法. (3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種根本類型的解法. (4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種根本類型的解法. (5)在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論. 【練29】〔2005年江西高考〕函數(shù)為常數(shù)〕,且方程有兩個(gè)實(shí)根為 〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕設(shè),解關(guān)于的不等式： 答案：①當(dāng)時(shí),解集為②當(dāng)時(shí),不等式為解集為③當(dāng)時(shí),解集為 【易錯(cuò)點(diǎn)30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位 例30、函數(shù)〔1〕如果函數(shù)的定義域

56、為R求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！?〕如果函數(shù)的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生易無(wú)視對(duì)是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。另一方面對(duì)兩個(gè)問題中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的含義理解不透徹導(dǎo)致錯(cuò)解。 解析：〔1〕據(jù)題意知假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽即對(duì)任意的x值恒成立，令，當(dāng)=0時(shí)，即或。經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)假設(shè)對(duì)任意x值函數(shù)值大于零恒成立，只需解之得或綜上所知m的取值范圍為或。 〔2〕如果函數(shù)的值域?yàn)镽即對(duì)數(shù)的真數(shù)能取到任意的正數(shù)，令當(dāng)=0時(shí)，即或。經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)知要使的函數(shù)值取得所有正值只需解之得綜上可知滿足題意的m的取值范圍是。 【知識(shí)點(diǎn)歸類

57、點(diǎn)拔】對(duì)于二次型函數(shù)或二次型不等式假設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對(duì)字母是否為零進(jìn)行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。同時(shí)通過此題的解析同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過二者的相互轉(zhuǎn)化而獲得解題的突破破口。再者此題中函數(shù)的定義域和值域?yàn)镽是兩個(gè)不同的概念，前者是對(duì)任意的自變量x的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別。 【練30】函數(shù)的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件的a的取值范圍。答案：〔1〕或〔2〕或 【易錯(cuò)點(diǎn)31】不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)條件選擇相應(yīng)的證明方法,達(dá)不到對(duì)各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。

58、 例31、a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+)(b+)≥. 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題假設(shè)直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然a+和 b+不能同時(shí)取得等號(hào)，此題可有如下證明方法。 證法一：(分析綜合法〕欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證. 證法二：(均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜ 顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立. 證法三：(比擬

59、法〕∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ 證法四：(綜合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤. 證法五：(三角代換法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，) 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1.不等式證明常用的方法有：比擬法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最根本的方法.(1)比擬法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)表達(dá)；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，那么考慮用判別式法證. (2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互

60、轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野. “至少〞“惟一〞或含有其他否認(rèn)詞的命題，適宜用反證法. 證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn). 【練31】〔2002北京文〕數(shù)列由以下條件確定： （1） 證明：對(duì)于總有,〔2〕證明：對(duì)于，總有. 【易錯(cuò)點(diǎn)32】函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。 例32、二次函數(shù)滿足，且對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立. 求； 求的解析式；求證： 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)條件中的不等關(guān)系向等式關(guān)

61、系的轉(zhuǎn)化不知如何下手，沒有將二次不等式與二次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，解題找不到思路。 解：〔1〕由令得： 〔2〕令由得：即那么對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立就是 對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即： 那么 〔3〕由〔2〕知 故 故原不等式成立． 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型〔方程、不等式、或方程與不等式的混合組〕，然后通過解方程〔組〕或不等式〔組〕來(lái)使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，到達(dá)解決問題的目的

62、。對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，表達(dá)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。 【練32】〔2005濰坊三月份統(tǒng)考〕二次函數(shù)，滿足；且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有；當(dāng)時(shí)有〔1〕求的值；〔2〕證明〔3〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)的，求證：或 〔1〕〔2〕運(yùn)用重要不等式〔3〕略 【易錯(cuò)點(diǎn)33】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。 例33、記，假設(shè)不等式的解集為，試解關(guān)于t的不等式。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題雖然

63、不能求出a,b,c的具體值，但由不等式的解集與函數(shù)及方程的聯(lián)系易知1,3是方程的兩根，但易無(wú)視二次函數(shù)開口方向，從而錯(cuò)誤認(rèn)為函數(shù)在上是增函數(shù)。 解析：由題意知，且故二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。又因?yàn)?，故由二次函?shù)的單調(diào)性知不等式等價(jià)于即故即不等式的解為：。 【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)的單調(diào)性實(shí)質(zhì)是就表達(dá)了不等關(guān)系，故函數(shù)與不等式的結(jié)合歷來(lái)都是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是我們解答不等式問題的重要工具，在解題過程中要加意應(yīng)用意識(shí)，如指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、涉及抽象函數(shù)類型的不等式等等都與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)。 【練33】〔1〕〔2005遼寧4月份統(tǒng)考題〕解關(guān)于的不等式 答案：當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為

64、 當(dāng)時(shí)解集為。 （2） 〔2005全國(guó)卷Ⅱ〕設(shè)函數(shù),求使≥的的x取值范圍。 答案：x取值范圍是 【易錯(cuò)點(diǎn)34】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。學(xué)生易缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)問題的意識(shí)，無(wú)視其步驟的標(biāo)準(zhǔn)性及不理解數(shù)學(xué)歸納法的每一步的意義所在。 例34、自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響。用表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N＊，且＞0。不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c?！并瘛城笈c的關(guān)系式；〔Ⅱ〕猜想：當(dāng)且僅當(dāng)，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚

65、群的總量保持不變？〔不要求證明〕〔Ⅲ〕設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意∈〔0,2〕，都有＞0，，那么捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題為數(shù)列模型應(yīng)用題,主要考查數(shù)列、不等式和數(shù)學(xué)歸納法。2005年高考主要涉及兩種類型應(yīng)用題，一種類型為概率，另一種為數(shù)列。給我們信息：數(shù)學(xué)越來(lái)越貼近生活，數(shù)學(xué)越來(lái)越強(qiáng)調(diào)實(shí)用性, 我們?cè)趥淇贾幸⒁鈱?duì)幾種常見模型建模的訓(xùn)練；可見，高考數(shù)學(xué)越來(lái)越注意與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、向量等工具結(jié)合，這是將來(lái)高考的方向， 【解析】〔I〕從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為 因此即。 〔II〕假設(shè)每年年初魚群總量保持不變

66、，那么恒等于，，從而由上式得恒等于零, 故即 因?yàn)?0，所以.猜想：當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變. 〔Ⅲ〕假設(shè)b的值使得>0，，由 知 , 特別地，有. 即，而∈(0, 2)，所以，由此猜想b的最大允許值是1. 下證 當(dāng)∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有∈(0, 2), 。 ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即∈(0, 2),那么當(dāng)n=k+1時(shí)，.又因?yàn)?所以∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①、②可知，對(duì)于任意的，都有∈(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意∈(0, 2), 都有>0， ，那么捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1. 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的局部對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步