連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì).ppt

主要內(nèi)容 一 函數(shù)的連續(xù)性 二 函數(shù)的間斷點(diǎn) 三 初等函數(shù)的連續(xù)性 四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章函數(shù)與極限第八 九節(jié)連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 一 函數(shù)的連續(xù)性 1 函數(shù)的增量 2 連續(xù)的定義 例1 證 由定義2知 3 單側(cè)連續(xù) 定理 例2 解 右連續(xù)但不左連續(xù) 4 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線 例如 多項(xiàng)式函數(shù)在R上是連續(xù)的 四則運(yùn)算的連續(xù)性 定理1 例如 意義 1 極限符號可以與函數(shù)符號互換 例3 解 定理2 二 函數(shù)的間斷點(diǎn) 1 跳躍間斷點(diǎn) 例4 解 2 可去間斷點(diǎn) 例5 解 注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn) 如例5中 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn) 特點(diǎn) 3 第二類間斷點(diǎn) 例6 解 例7 解 例8 解 內(nèi)容小結(jié) 1 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件 3 間斷點(diǎn)的分類與判別 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 第一類間斷點(diǎn) 可去型 跳躍型 第二類間斷點(diǎn) 無窮型 振蕩型 間斷點(diǎn) 見下圖 可去型 第一類間斷點(diǎn) 跳躍型 無窮型 振蕩型 第二類間斷點(diǎn) 思考題1 思考題1解答 且 1 一類 一類 二類 2 定理3基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 定理4一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 三 初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 例如 這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義 在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義 注意1 注意2初等函數(shù)求極限的方法代入法 例9 例10 解 解 四 連續(xù)性在求極限中的應(yīng)用 利用函數(shù)y f u 在u A點(diǎn)連續(xù)的定義 可以證明 如果 特別 1 當(dāng)f u au則 2 當(dāng)f u logau則 3 當(dāng)f u 為實(shí)數(shù) 則 特別 第二章中的對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程要用到下面幾個(gè)極限 例11 求下列極限 a 0a 1 解 1 重要極限 lne 1 1 最大值和最小值定理 定義 例如 五 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理3 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 2 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn) 定理不一定成立 定理4 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 證 2 介值定理 定義 幾何解釋 幾何解釋 證 由零點(diǎn)定理 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值 例11 證 由零點(diǎn)定理 例12 證 由零點(diǎn)定理 小結(jié) 四個(gè)定理 最值定理 有界性定理 零點(diǎn)定理 介值定理 注意1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點(diǎn)不滿足 上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x 再利用零點(diǎn)定理 但反之不成立 例 但 思考題2 下述命題是否正確 思考題2解答 不正確 例函數(shù) 六 習(xí)題演練