數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題十應(yīng)用題的解法

專題十專題十 應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分應(yīng)試策略應(yīng)試策略 考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 030615應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 應(yīng)用題能考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活轉(zhuǎn)化和實(shí)際應(yīng)用的能力，能全面體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，所以很受試卷命題人的青睞，并成為每年高考題的必備題型.高考應(yīng)用題是高考成績的分水嶺，許多中等成績的同學(xué)在處理此類題目時，往往難以下手，不知如何處理繁雜的條件，如何建立數(shù)學(xué)模型；在運(yùn)算時，由于生活經(jīng)驗(yàn)的缺失，不知如何處理數(shù)據(jù).這 些都是常見的錯誤.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 近三年高考應(yīng)用題出現(xiàn)如下特點(diǎn)： 1.命題點(diǎn)集中：2005年應(yīng)用題，除了上海、湖南、天津；2006年應(yīng)用題除上海(三角)、湖北(抽樣)、江蘇(立幾)以外所有省市命題均集中在概率與統(tǒng)計這一知識點(diǎn)，等可能事件、互斥事件、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望結(jié)合出題成為熱點(diǎn).但對于2007年各地試卷而言,雖說概率統(tǒng)計還是出應(yīng)用題的熱門素材(有11道)外,另傳統(tǒng)內(nèi)容也出現(xiàn)了回?zé)岈F(xiàn)象,涉及函數(shù)4道,三角2道,數(shù)列1道,立幾1道,更有寧夏/海南卷出 現(xiàn)了三角與概率各一道共兩道應(yīng)用大題. 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 2.背景豐富公平：應(yīng)用題命題背景出現(xiàn)了種子發(fā)芽、五局三勝的比賽、射擊、取球、中獎等等學(xué)生耳熟能詳，審題時認(rèn)同感強(qiáng)，理解準(zhǔn)確. 3.運(yùn)算設(shè)計合理，應(yīng)用題主要出現(xiàn)在18題20題，題目難度不是很大，但題目設(shè)計的運(yùn)算有數(shù)字運(yùn)算也有字母運(yùn)算，對運(yùn)算的穩(wěn)定度、運(yùn)算的準(zhǔn)確度要求較高.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.1. 應(yīng)用題的背景豐富，題目靈活多變，但應(yīng)用題的解答卻是一個程序化的過程： （1）審題：解題的前提；應(yīng)用題往往題干較長，文字表述較多.在審題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，如：至多、至少、直到兩人中有一人取到白球，尤其是題目中出現(xiàn)的新詞，往往這些新詞是平常生活中不太熟悉的，要求把這些新詞單獨(dú)提取出來，如：2005年湖南卷中出現(xiàn)的新詞匯有：魚群的總量、魚群的繁殖量、被捕撈量、死亡量；當(dāng)這些詞匯被提取出來后，要 理順各種數(shù)量之間的關(guān)系，解題就可以進(jìn)入第二步.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 （2）建模：即用數(shù)學(xué)語言翻譯文字描述，并建立數(shù)學(xué)模型，這是解題的關(guān)鍵；數(shù)學(xué)模型的建立主要有兩種途徑，一利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識如函數(shù)、數(shù)列、不等式、圓錐曲線、概率等，與題目所給信息相結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型；二是利用題目所給的已知量、未知量、常量、變量等建立數(shù)學(xué)關(guān)系，題目中所給的條件就是題目中所出現(xiàn)的新詞匯，如湖南卷中出現(xiàn)的新詞匯就可以組成等量關(guān)系：魚群第n+1年的總量=魚群第n年的總量 +魚群的繁殖量被捕撈量死亡量.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 （3）運(yùn)算：基本等同于常規(guī)理論題的解答，這是正確解答必不可少的環(huán)節(jié)，應(yīng)用題的運(yùn)算包括字母運(yùn)算和數(shù)字運(yùn)算，無論哪種運(yùn)算，都要求考慮實(shí)際的意義、題目的要求精度（如 保留幾位小數(shù)等）、運(yùn)算方法的優(yōu)化問題等. 綜上分析，應(yīng)用題是用文字表述，具有一定的事理，它和一般解答題有明顯的不同.一般解答題有現(xiàn)成的式子，計算方法和次序都是明確的，邏輯推理能力要求高，而應(yīng)用題同時還 考查了學(xué)生的“用所學(xué)基礎(chǔ)知識分析和解決問題的能力”.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 2.2.應(yīng)用題在考查知識上主要有： （1）函數(shù)、不等式的應(yīng)用題，大多是以函數(shù)知識為背景設(shè)計，所涉及的函數(shù)主要是一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)、分段函數(shù)，以及形如y=ax+ 的函數(shù)等.解答此類應(yīng)用題一般都是從建立函數(shù)表達(dá)式入手，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，即將文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言或圖形語言轉(zhuǎn)化，最終構(gòu)建函數(shù)、不等式的數(shù)學(xué)模型，在題目給出的實(shí)際定義域內(nèi)求解.此類題目在求解時，要注意仔細(xì)分析，捕捉題目中的新詞匯及數(shù)量關(guān)系，對于較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系可以根據(jù)事物的類別、時間的先后、問題的項(xiàng)目對題目中給出的已知量、未知量、常量的歸類，或畫出圖表，建立等式、不等式，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清晰化，從而建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行求解，最后還要注意檢驗(yàn)所求是否符合實(shí)際意義.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法xb （2）數(shù)列、不等式應(yīng)用題，大多以數(shù)列知識知識為背景，所涉及的知識有數(shù)列的首項(xiàng)、通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)、遞推公式、前n項(xiàng)和公式及an與Sn的關(guān)系等等；常見的命題點(diǎn)有：平均增長率、利率（復(fù)利）、分期付款、等值增減或等量增減的問題.常用的數(shù)學(xué)模型有：構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后應(yīng)用數(shù)列求和或特殊數(shù)列求和求解；利用無窮等比數(shù)列的求和公式求解，往往與極限結(jié)合出題；構(gòu)造數(shù)列通項(xiàng)的遞推公式或Sn的遞推公式，利用待定系數(shù)法或an與Sn的關(guān)系求解，注意n的范圍問題；通過類比歸納得出結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法或數(shù)列的知識求解.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 (3)三角、向量應(yīng)用題，引入角作為參變量，構(gòu)造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的最值、反三角函數(shù)、向量、不等式、圖象的對稱及平移等知識，求解實(shí)際問題，對于參變量的角要注意角的范圍. (4)解析幾何應(yīng)用題，在新教材引入“線性規(guī)劃”后，使此類題目的命題點(diǎn)從原來的橢圓應(yīng)用題、雙曲線應(yīng)用題、拋物線應(yīng)用題又增加了線性規(guī)劃應(yīng)用題，解此類應(yīng)用題往往在理解題意的基礎(chǔ)上，利用先行規(guī)劃求最優(yōu)解、直線的夾角定比分點(diǎn)公式、或利用圓錐曲線的定義或性質(zhì)、使用導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系等求解問題.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 (5)排列組合、概率應(yīng)用題，此類問題無論從內(nèi)容還是從思想上都能體現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用的意義.排列組合的問題、抽樣方法常出現(xiàn)在選擇或填空的小應(yīng)用題，?？疾橛邢薅l件的組合與排列問題，從正面或反面入手，當(dāng)限定條件較多時，正面求解要注意樹圖列舉法的使用或分類討論思想的應(yīng)用；當(dāng)正面突破較困難時要注意反面考慮；抽樣方法主要考查概念，在選擇填空題里出現(xiàn)較多，屬于容易題.概率題目主要出現(xiàn)在解答題，分布列及數(shù)學(xué)期望是高考的熱點(diǎn)，考查分類討論、化歸思想，獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差、標(biāo)準(zhǔn)差；正態(tài)分布都可能成為考查的對象. 應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 3.3.要做好高考應(yīng)用題，要注意以下三個方面： (1)文字關(guān)：即閱讀理解題意，羅列題目的條件，分清題目中的已知量、未知量、常量、變量、新詞匯，分析題目所求，思考可能采用的方法審題 (2)建模關(guān)：建立數(shù)學(xué)模型主要包括代數(shù)建模、幾何建模，其中代數(shù)建模主要利用函數(shù)、數(shù)列、不等式、概率等知識進(jìn)行建模，其難度主要在閱讀題意，建立等式或不等關(guān)系上；幾何建模主要是利用解析幾何知識，建立直角坐標(biāo)系，使實(shí)際問題幾何化，解決實(shí)際問題. (3)運(yùn)算關(guān)：考查學(xué)生運(yùn)算的穩(wěn)定度，精確度.應(yīng)試策略應(yīng)試策略應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考考 題題 剖剖 析析 1.1.（2007梅州市二模）某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元. （）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最??； （）若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于5噸時其價格可享受八五折優(yōu)惠（即原價的85%）.問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請說明理由.考題剖析考題剖析應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 解析（）設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN+)天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1飼料的保管與其它費(fèi)用每天比前一天少2000.03=6（元），x天飼料的保管與其它費(fèi)用共是6(x1)+6(x2)+6=3x23x(元)從而有y1= (3x23x+300)+2001.8= +3x+357417當(dāng)且僅當(dāng) =3x，即x=10時，y1有最小值即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最小.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法x1x300 x300考題剖析考題剖析 （）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購買一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天(x25)購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y2= (3x23x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25)y2= +3當(dāng)x25時，y20，即函數(shù)y2在25，+)上是增函數(shù)當(dāng)x=25時，y2取得最小值為390，而390417該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法x1x3002300 x考題剖析考題剖析 點(diǎn) 評這是一道以常見的進(jìn)貨及儲存費(fèi)用為背景而命題的應(yīng)用題.審題時要注意是平均價格的計算，此題涉及到利用基本不等式求最值的知識，要注意應(yīng)用均值不等式的條件，在第一問中可以直接應(yīng)用均值不等式進(jìn)行計算，而第二問最利用函數(shù)的單調(diào)性來求解.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 2.（2007福建）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3a5）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9x11）時，一年的銷售量為(12x)2萬件. （）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式； （）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a). 解析（）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為: L=(x3a)(12x)2，x9，11.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 （）L(x)=(12x)22(x3a)(12x) =(12x)(18+2a3x).令L=0得x=6+ a或x=12（不合題意，舍去）.3a5，86+ a .在x=6+ a兩側(cè)L的值由正變負(fù).所以: （1）當(dāng)86+ a9即3a 時，Lmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a).應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法3232832323229考題剖析考題剖析 （2）當(dāng)96+ a 即 a5時，Lmax=L(6+a)=(6+ a3a)12(6+ a)2=4(3 a)3，所以Q(a)= 答：若3a ，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=9(6a)（萬元）；若 a5，則當(dāng)每件售價為(6+ a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4(3 a)3（萬元）.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法3283229529,)313(4,293),6(93aaaa29293231323231考題剖析考題剖析 點(diǎn) 評本題主要考查函數(shù)及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力. 本題關(guān)鍵是求出利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式，從而將待求的最值轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)三次函數(shù)的最值，這時方法明朗即利用導(dǎo)數(shù)求最值.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 3.（2007湖南部分學(xué)校聯(lián)考）關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案： 方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營.據(jù)測算，每年可收入760萬元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬元，以后逐年遞增20萬元. 方案乙：從明年起開始投資6000萬元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力.港口改造需用時4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營.據(jù)測算，開始改造后港口第一年的收入為320萬元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上. （1）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙能收回投資（累計總收益為正數(shù)）？ （2）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙的累計總收益超過方案甲？ （收益收入投資）應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 解析（1）設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年，方案乙的累計總收益為正數(shù).在方案乙中，前4年的總收入為 =26006000, 故n必定不小于5，則由 2600+3201.54(n4)6000，解得n6 ,故n的最小值為7.答: 從明年開始至少經(jīng)過7年，方案乙能收回投資.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法5 . 11)5 . 11 (3204818考題剖析考題剖析 （2）設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計總收 益分別為y1, y2萬元，則 y1=760n50n+ n(n1)20=10n2+720n, 當(dāng)n4時，則y10, y20,可得y1y2. 當(dāng)n5時，y2=2600+3201.54(n4)6000=1620n9880， 令y1y2, 可得1620n988010n2+720n, 即n(n+90)998, 由10(10+90)998, 9(9+90)998, 可得n的最小值為10. 答：從明年開始至少經(jīng)過10年，方案乙的累計總收益超 過方案甲.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法21考題剖析考題剖析 點(diǎn)評這是一道數(shù)列應(yīng)用題，同時涉及到方案的選擇問題.在數(shù)列應(yīng)用問題中，“增長率”的問題一般是等比數(shù)列問題，“比上一年增加了多少”往往是等差數(shù)列問題.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 4.（2007湛江市高考預(yù)測卷一）高校招生是根據(jù)考生所填報的志愿，從考試成績所達(dá)到的最高第一志愿開始，按順序分批錄取，若前一志愿不能錄取，則依次給下一個志愿（同批或下一批）錄取.某考生填報了三批共6個不同志愿（每批2個），并對各志愿的單獨(dú)錄取以及能考上各批分?jǐn)?shù)線的概率進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如“下表”所示（表中的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的概率，a、b分別為第一、第二志愿）.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法批次高考上線ab第1批0.60.80.4第2批0.80.90.5第3批0.90.950.8考題剖析考題剖析 （）求該考生能被第2批b志愿錄取的概率； （）求該考生能被錄取的概率； （）如果已知該考生高考成績已達(dá)到第2批分?jǐn)?shù)線卻未能達(dá)到第1批分?jǐn)?shù)線，請計算其最有可能在哪個志愿被錄??？（以上結(jié)果均保留二個有效數(shù)字）應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法考題剖析考題剖析 解 析分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線為事件A、B、C，被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨(dú)立. （）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線和僅上第2批分?jǐn)?shù)線兩種情況，故所求概率為 P1= =0.6(10.8)(10.4)(10.9)0.5+(10.6)0.8 (10.9)0.5 =0.45.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法)()(bababaBBBAPBBAAAP考題剖析考題剖析 （）設(shè)該考生所報志愿均未錄取的概率為P2，則P2=0.6(10.8)(10.4)(10.9)(10.5)(10.95)(10.8)+(10.6)0.8(10.9)(10.5)(10.95)(10.8) +(10.6)(10.8)0.9(10.95)(10.8)+(10.6)(10.8)(10.9)0.00892.該考生能被錄取的概率為P=1P2=10.008920.99.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法)()()()(CBAPCCCBAPCCBBBAPCCBBAAAPbabababababa考題剖析考題剖析 （）由已知,該考生只可能被第2或第3批錄取，仿上計算可得各志愿錄取的概率如下表所示. 從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法批次ab第2批0.90.05第3批0.0480.0020 點(diǎn)評自從高中引入概率統(tǒng)計知識后，這塊知識就一直是高考中出應(yīng)用題的熱點(diǎn).解概率題首先要區(qū)分應(yīng)用的概率類型是什么？然后要注意將復(fù)雜事件拆分為“和事件”或“積事件”的概率來解.考題剖析考題剖析 5.（2007湖南部分中學(xué)期中考試）某廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品分別需要在A、B、C、D四種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙在各設(shè)備上需要的加工臺時數(shù)于下表給出.已知各設(shè)備在計劃期內(nèi)有效臺時數(shù)分別是12，8，16，12（一臺設(shè)備工作一小時稱為一臺時），該廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲可得利潤2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙可得利潤3元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能獲得最大利潤？應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法設(shè)備產(chǎn)品ABCD甲2140乙2204 解析設(shè)計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲x件，生產(chǎn)乙y件， 則 即考題剖析考題剖析應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法00124164821222yxyxyxyx0034826yxyxyxyx考題剖析考題剖析 目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，作直線2x+3y=t 如圖所示，可見當(dāng)直線2x+3y=t過A點(diǎn)時，它在y軸上的截距最大，從而t最大.顯然A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）. 當(dāng)x=4，y=2時，可獲得最大利潤14元.應(yīng)用題的解法應(yīng)用題的解法 點(diǎn)評這是一個線性規(guī)劃問題，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗浚瑢ふ壹s束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，這是把實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程，其求解過程實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用過程.