數學第二輪專題復習第二部分 專題五不等式解答題的解法

專題五專題五 不等式解答題的解法不等式解答題的解法數學第二輪專題復習第二部分數學第二輪專題復習第二部分考題剖析考題剖析 試題特點試題特點 0315不等式解答題的解法不等式解答題的解法應試策略應試策略 07 1.近三年高考各試卷不等式考查情況統(tǒng)計 2005年、2006年、2007年高考卷的解答題中，每年都有不等式的題出現(xiàn)，但單獨作為一個題的形式不是很多，2005年有3道，2007年的19套試卷中，也只有2道，是關于解不等式，處于第一個題的位置，屬于容易題.而一般都是與其它知識綜合，考查解不等式、證不等式，有一定的難度.不等式與數列、導數、解析幾何、三角、函數等問題綜合，其中與數列綜合是最多的，但近兩年出現(xiàn)了二項式的函數與不等式相結合的題,如2007年的湖北卷、四川卷，值得注意.試題特點試題特點不等式解答題的解法不等式解答題的解法 不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用.因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用.在解決問題時，要依據題設與結論的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明.不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫穿在整個中學數學之中.諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明.試題特點試題特點不等式解答題的解法不等式解答題的解法 2.2.主要特點 不等式是中學數學的重要內容，在數學的各個分支中都有廣泛的應用，是進一步學習高等數學的基礎和重要工具，所以不等式一直是高考數學命題的重點和熱點.歷年高考試 題， 涉及不等式的內容的考題大致可分為以下幾種類型： 解不等式； 證明不等式； 取值范圍問題； 應用問題. 試題特點試題特點不等式解答題的解法不等式解答題的解法試題特點試題特點 試題主要有如下特點： （1）突出重點，綜合考查.高考命題遵循在“知識與方法的交匯點設計命題”，不等式能和所有的數學知識構成廣泛的聯(lián)系，因此高考試題中不等式常與函數、數列、解析幾何、三角等進行綜合. （2）高考突出主干知識和重要數學思想的考查，這是高考不變的立意.解含參數的不等式能較好地體現(xiàn)等價轉化、分類整合、數形結合等數學思想.因此，含參數的不等式在歷年高考中?？疾凰? （3）導數是解決不等式問題的強有力的工具，因此高考中加強了以導數為載體的導數、不等式、函數的綜合. （4）高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數、數列、立體幾何、解析幾何等試題中涉及不等式的知識，加強了不等式作為一種工具作用的考查.不等式解答題的解法不等式解答題的解法應應 試試 策策 略略 1.不等式的解法 在復習不等式的解法時，要加強等價轉化思想的訓練與復習.解不等式的過程是一個等價轉化的過程，通過等價轉化可簡化不等式(組)，以快速、準確求解. (1)解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎.必須熟練掌握，靈活應用. (2)解高次不等式、分式不等式，首先使不等式一邊是零，一邊是一次因式（一次項系數為正）或二次不完全平方式的積與商的形式（注意二次因式恒正恒負的情況），然后用數軸標根法寫出解集（尤其要注意不等號中帶等號的情形）.應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (3)解絕對值不等式的常用方法： 討論法：討論絕對值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕 對值符號，轉化為一般不等式. 等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形 xa x2a2 axa(a0) xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) (4)對于解含參數不等式，要充分利用不等式性質.對參數的討論，要不“重復”不“遺漏”.一要考慮參數總的取值范圍,二要用同一標準對參數進行劃分，三要使得劃分后，不等式的解集的表達式是確定的.應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 2.掌握算術平均數與幾何平均數定理 定理 如果a,bR,那么a2b22ab（當且僅當a=b時，取“=”）. 定理 如果a,b是正數，那么 (當且僅當a=b時，取“=”) (1)二元均值不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉 化為“和式”的放縮功能. (2)創(chuàng)設應用均值不等式的條件、合理拆分項或配湊因式是常用的解 題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立.應試策略應試策略abba2不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (3)“和定積最大，積定和最小”，即2個正數的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值. 應用此結論求值要注意三個條件： 各項或因式非負； 和或積為定值； 各項或各因式都能取得相等的值. 必要時要作適當的變形，以滿足上述前提.應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 3.不等式證明 在不等式證明中，加強化歸思想的復習.證明不等式的過程是一個把已知條件向要證明的結論的一個轉化過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力.正因為證明不等式是高考考查學生代數推理能力的重要素材，復習時應引起足夠重視. (1)證明不等式的常用方法有：比較法、綜合法、分析法和數學歸納法.其他方法如：放縮法、反證法、換元法、判別式法證明不等式在高考中不作過高要求.應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (2)比較法有求差比較法和求商比較法兩種模式.求差比較法中的變形可以變成平方和、常數、因式的積；求商比較法要注意對分母的符號進行討論.比較法在符號確定的前提下，可以轉化為乘方問題來解決：如果a，b0,則a2b2 ab. (3)利用綜合法、分析法證明不等式經常使用的基本不等式有： a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abba2應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的變式： ,(其中a,bR). 分析法是從要證的結論入手，尋找其充分條件，即執(zhí)果索因；綜合法為分析法的逆過程，即由因導果；復雜的不等式證明要注意幾種方法的結合使用. (4)涉及到數列或與自然數有關的不等式可考慮數學歸納法的運用,涉及到函數的不等式可考慮構造函數,應用導數來解決.3abc;)2(2222baba2211222babaabba應試策略應試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.（2007石家莊質檢題）解關于x的不等式：x|xa| (a0).922a 解析當xa時，不等式可化為 即 ax當x .|41a 分析 因為xR，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(xx0)2f(x0). 證明 由題意知，a0.設f(x)=a(xx0)2f(x0)，則f(x0)= 又二次方程ax2bxc=x無實根，故1=(b1)24ac0，2=(b1)24ac0.所以(b1)2(b1)28ac0，即2b228ac0，即b24ac1，所以|b24ac|1.故aacb442|41|4|4|44| )(|220aaacbaacbxf不等式解答題的解法不等式解答題的解法由b24ac1 即|ax2bxc| 成立考題剖析考題剖析|41a|41a 點評 從上述例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑.不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析3. (2007廣東中山市模擬題）已知數列an中a1=2，an1=( 1)(an2)，n=1，2，3，. （）求an的通項公式； （）若數列bn中b1=2，bn1= ，n=1，2，3，.證明： bna4n3，n=1，2，3，.23243nnbb2 解析（）由題設：an1=( 1)(an2)=( 1)(an )( 1)(2 )=( 1)(an ) ，an1 =( 1)(an ).22222222222不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析所以，數列an是首項為2 ，公比為 1的等比數列，an = ( 1)n，即an的通項公式為an= ( 1)n1，n=1，2，3， （）用數學歸納法證明：（）當n=1時，因 2，b1=a1=2，所以 b1a1，結論成立.（）假設當n=k時，結論成立，即 bka4k3，也即0bk a4k3 .222222222222不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析當n=k1時，bk1 = 又所以bk1 =a4k1 .也就是說，當n=k1時，結論成立.根據（）和（）知 0，a1)是區(qū)間a2，a3上的兩個函數. （1）求a的取值范圍； （2）討論f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是否是接近的.考題剖析考題剖析ax1不等式解答題的解法不等式解答題的解法 解析 （1）a0且a1，當xa2，a3時，要使函數f1(x)=loga(x3a)有意義， a23a0，即a0，即aR 由和得0a1，即為a的取值范圍.考題剖析考題剖析ax1 （2）要判斷f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是否是接近的，只須檢驗|f1(x)f2(x)|1在區(qū)間a2，a3上是否恒成立.|f1(x)f2(x)|=|loga(x3a)loga | = |loga(x3a)(xa)|，設|loga(x3a)(xa)|1，則1loga(x3a)(xa)1，即1loga(x24ax3a2)1 ax1不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析設g(x)=x24ax3a2=(x2a)2a2，拋物線g(x)開口向上，且對稱軸為x=2a.0a1，02a2a2a3，函數g(x)在區(qū)間a2，a3上是增函數.設a2x1x2a3，則g(x1)g(x2)，0alogag(x2).設h(x)=loga(x24ax3a2)，則h(x)在區(qū)間a2，a3上是減函數，h(x)max=h(a2)=loga(44a)，h(x)min=h(a3)=loga(96a)，不等式解答題的解法不等式解答題的解法式成立的充要條件是： 當a(0， 時，f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是接近的；當a( ，1)時，f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是非接近的.考題剖析考題剖析aaaaaaaa169,44, 1)69(log, 1)44(log,12579, 0(125790,540aaa1257912579 點評高考題中常常出現(xiàn)和高中知識有關的新的定義，本題中定義了兩個函數在區(qū)間上接近的定義，解題時必須先搞懂兩個函數在區(qū)間上接近的定義.對數的運算是學生的一個薄弱環(huán)節(jié)，本題涉及到對數的運算.二次函數的最值問題也是重點內容之一.不等式解答題的解法不等式解答題的解法 5.（2007惠州市調研一）已知函數f(x)的導數f (x)滿足0f (x)時，總有f(x)x成立； （3）對任意x1,x2，若滿足|x1|1,|x2|1，求證|f(x1)f(x2)|，則=f()f()，在與之間必存在一點c，c，由題意使等式=f()f()=()f (c)成立， 因為，所以必有f (c)=1，但這與0f (x)0，h(x)為增函數.又h()=f()=0,當x時，h(x)0，即xf(x). (3) 不妨設x1x2，0f (x)1, f(x)為增函數，即f(x1)f(x2).又f (x)10,函數f(x)x為減函數. 即f(x1)x1f(x2)x2,0f(x2)f(x1)x2x1. 即|f(x2)f(x1)|x2x1|.|x2x1|x2|x1|2,|f(x1)f(x2)|2.不等式解答題的解法不等式解答題的解法