北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)11-xiti.ppt

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù) 三角級(jí)數(shù) 收斂半徑R 泰勒展開(kāi)式 數(shù)或函數(shù) 函數(shù) 數(shù) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 傅氏展開(kāi)式 傅氏級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù) 滿足狄氏條件 一 主要內(nèi)容 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)的部分和 定義 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 性質(zhì)1 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù) 斂散性不變 性質(zhì)2 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減 性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性 性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和 級(jí)數(shù)收斂的必要條件 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 定義 2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 審斂法 1 比較審斂法 2 比較審斂法的極限形式 定義正 負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) 3 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 定義 2 收斂點(diǎn)與收斂域 3 和函數(shù) 1 定義 6 冪級(jí)數(shù) 2 收斂性 推論 定義 正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 a 代數(shù)運(yùn)算性質(zhì) 加減法 其中 3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 乘法 其中 除法 b 和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì) 7 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 1 定義 2 充要條件 3 唯一性 3 展開(kāi)方法 a 直接法 泰勒級(jí)數(shù)法 步驟 b 間接法 根據(jù)唯一性 利用常見(jiàn)展開(kāi)式 通過(guò)變量代換 四則運(yùn)算 恒等變形 逐項(xiàng)求導(dǎo) 逐項(xiàng)積分等方法 求展開(kāi)式 4 常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式 5 應(yīng)用 a 近似計(jì)算 b 歐拉公式 1 三角函數(shù)系 三角函數(shù)系 8 傅里葉級(jí)數(shù) 2 傅里葉級(jí)數(shù) 定義 三角級(jí)數(shù) 其中 稱為傅里葉級(jí)數(shù) 3 狄利克雷 Dirichlet 充分條件 收斂定理 4 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) 奇延拓 5 周期的延拓 偶延拓 二 典型例題 例1 解 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件 原級(jí)數(shù)發(fā)散 解 根據(jù)比較判別法 原級(jí)數(shù)收斂 解 從而有 原級(jí)數(shù)收斂 原級(jí)數(shù)發(fā)散 原級(jí)數(shù)也發(fā)散 例 解 即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 由萊布尼茨定理 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂 故原級(jí)數(shù)是條件收斂 例 解 兩邊逐項(xiàng)積分 例4 解 例5 解 例6 解 和函數(shù)的圖形為 例7 解 由上式得 例8 解 測(cè)驗(yàn)題 測(cè)驗(yàn)題答案