五年高考真題數(shù)學(xué)理 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

考點(diǎn)一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率1(2015·新課標(biāo)全國(guó)，4)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為p0.6×0.6C×0.4×0.620.648.答案A2(2014·新課標(biāo)全國(guó)，5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析由條件概率可得所求概率為0.8，故選A.答案A3.(2011·湖南，15)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)_.(2)P(B|A)_.解析圓的半徑為1，正方形的邊長(zhǎng)為，圓的面積為，正方形面積為2，扇形面積為.故P(A)，P(B|A).答案(1)(2)4(2014·陜西，19)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率解(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，因?yàn)槔麧?rùn)產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格成本，所以X所有可能的取值為500×101 0004 000，500×61 0002 000，300×101 0002 000，300×61 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)×(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P(B)(10.5)×0.40.5×(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.5×0.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i1，2，3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)3×0.82×0.20.384，所以，這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.5(2013·遼寧，19)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類(lèi)題，4道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類(lèi)題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類(lèi)題，1道乙類(lèi)題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道乙類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)事件“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類(lèi)題”，則有A“張同學(xué)所取的3道題都是甲類(lèi)題”因?yàn)镻()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值為0，1，2，3.P(X0)C···；P(X1)C···C··；P(X2)C···C··；P(X3)C···.所以X的分布列為：X0123P所以E(X)0×1×2×3×2.6(2012·山東，19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)××××××.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)(1)××，P(X1)P(BCD)P(B)P()P()××，P(X2)P(BCDBCD)P(C)P(D)××××，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××××，P(X4)P(BCD)××，P(X5)P(BCD)××.故X的分布列為X012345P所以E(X)0×1×2×3×4×5×.7(2011·大綱全國(guó)，18)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立(1)求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)求X的期望解設(shè)A表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該地的1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該地的1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100，0.2)，即X服從二項(xiàng)分布，所以期望E(X)100×0.220.考點(diǎn)二正態(tài)分布1(2015·湖南，7)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718 C3 413 D4 772解析由XN(0，1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)×0.682 60.341 3，故S0.341 3.落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x估計(jì)值為(古典概型)，x10 000×0.341 33 413，故選C.答案C2(2015·山東，8)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P(<<)68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析由題意，知P(36)13.59%.答案B3(2014·新課標(biāo)全國(guó)，18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)x，2近似為樣本方差s2.()利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；()某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)利用()的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 6，P(2<Z<2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為170×0.02180×0.09190×0.22200×0.33210×0.24220×0.08230×0.02200，s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.220×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.()由()知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)100×0.682 668.26.4(2013·湖北，20)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502) 的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為p0.(1)求p0的值；(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4.)(2)某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車(chē)輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車(chē)每天往返一次， A，B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車(chē)的客運(yùn)車(chē)隊(duì)，并要求B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛，若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車(chē)、B型車(chē)各多少輛？解(1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，可得p0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.(2)設(shè)A型、B型車(chē)輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營(yíng)運(yùn)成本為1 600x2 400y.依題意，x，y還需滿(mǎn)足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X900)，故P(X36x60y)p0等價(jià)于36x60y900.于是問(wèn)題等價(jià)于求滿(mǎn)足約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z1 600x2 400y達(dá)到最小的x，y.作可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z1 600x2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值故應(yīng)配備A型車(chē)5輛，B型車(chē)12輛內(nèi)容總結(jié)