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備考20142013高考數(shù)學(xué) 真題模擬新題分類匯編 立體幾何 文

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備考20142013高考數(shù)學(xué) 真題模擬新題分類匯編 立體幾何 文

立體幾何G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)8G1,G62013·北京卷 如圖12,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn),P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有()圖12A3個(gè) B4個(gè)C5個(gè) D6個(gè)8B解析 設(shè)棱長(zhǎng)為1,BD1,BP,D1P.聯(lián)結(jié)AD1,B1D1,CD1,得ABD1CBD1B1BD1,ABD1CBD1B1BD1,且cosABD1,聯(lián)結(jié)AP,PC,PB1,則有ABPCBPB1BP,APCPB1P,同理DPA1PC1P1,P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)18G1,G4,G52013·廣東卷 如圖14(1),在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將ABF沿AF折起,得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF,其中BC.圖14(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當(dāng)AD時(shí),求三棱錐FDEG的體積18解:G2空間幾何體的三視圖和直觀圖10G2,G72013·北京卷 某四棱錐的三視圖如圖13所示,該四棱錐的體積為_(kāi)圖13103解析 正視圖的長(zhǎng)為3,側(cè)視圖的長(zhǎng)為3,因此,該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,且高為1,因此V×(3×3)×13.18G2,G42013·福建卷 如圖13,在四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC5,DC3,AD4,PAD60°.(1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫(xiě)出演算過(guò)程);(2)若M為PA的中點(diǎn),求證:DM平面PBC;(3)求三棱錐DPBC的體積圖1318解:(1)在梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)C作CEAB,垂足為E.由已知得,四邊形ADCE為矩形,AECD3,在RtBEC中,由BC5,CE4,依勾股定理得BE3,從而AB6.又由PD平面ABCD得,PDAD.從而在RtPDA中,由AD4,PAD60°,得PD4 .正視圖如圖所示(2)方法一:取PB中點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)MN,CN.在PAB中,M是PA中點(diǎn),MNAB,MNAB3.又CDAB,CD3,MNCD,MNCD,四邊形MNCD為平行四邊形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.方法二:取AB的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BECD,四邊形BCDE為平行四邊形,DEBC.又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC.又DEMEE,平面DME平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBC·PD,又SDBC6,PD4 ,所以VDPBC8 .6G22013·廣東卷 某三棱錐的三視圖如圖12所示,則該三棱錐的體積是()圖12A. B.C. D16B解析 由三視圖得三棱錐的高是2,底面是一個(gè)腰為1的等腰直角三角形,故體積是××1×1×2,選B.5G22013·廣東卷 執(zhí)行如圖11所示的程序框圖,若輸入n的值為3,則輸出s的值是()圖11A1 B2 C4 D7 5C解析 13,s101,i2;23,s112,i3;s224,i4;4>3,故輸出s4,選C.7G22013·湖南卷 已知正方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于()A. B1C.D.7D解析 由題可知,其俯視圖恰好是正方形,而側(cè)視圖和正視圖則應(yīng)該都是正方體的對(duì)角面,故面積為,選D.8G22013·江西卷 一幾何體的三視圖如圖12所示,則該幾何體的體積為()圖12A2009 B20018C1409 D140188A解析 該幾何體上面是半圓柱,下面是長(zhǎng)方體,半圓柱體積為·32·29,長(zhǎng)方體體積為10×5×4200.故選A.13G22013·遼寧卷 某幾何體的三視圖如圖13所示,則該幾何體的體積是_圖13131616解析 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體,所以該幾何體的體積為V4×4161616.9G22013·新課標(biāo)全國(guó)卷 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為()圖139A解析 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中畫(huà)出三棱錐,由已知可知三棱錐OABC為題中所描敘的四面體,而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO,故選A.圖144G22013·山東卷 一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如圖11所示,則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()圖11A4 ,8 B4 ,C4(1), D8,84B解析 由正視圖知該幾何體的高為2,底面邊長(zhǎng)為2,斜高為,側(cè)面積4××2×4 ,體積為×2×2×2.12G22013·陜西卷 某幾何體的三視圖如圖12所示,則其表面積為_(kāi)圖12123解析 由三視圖得該幾何體為半徑為1的半個(gè)球,則表面積為半球面底面圓,代入數(shù)據(jù)計(jì)算為S×4×12×123.11G22013·新課標(biāo)全國(guó)卷 某幾何體的三視圖如圖13所示,則該幾何體的體積為()圖13A168 B88C1616 D81611A解析 該空間幾何體的下半部分是一個(gè)底面半徑為2,母線長(zhǎng)為4的半圓柱,上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2、高為4的正四棱柱這個(gè)空間幾何體的體積是××4×42×2×4168.5G22013·浙江卷 已知某幾何體的三視圖(單位: cm)如圖11所示,則該幾何體的體積是()圖11A108 cm3 B100 cm3C92 cm3 D84 cm35B解析 此直觀圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)三棱錐而得,如圖所示其體積為3×6×6××3×4×41088100(cm3)所以選擇B.19G2和G52013·重慶卷 如圖14所示,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,PA2 ,BCCD2,ACBACD.(1)求證:BD平面PAC;(2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF7FC,求三棱錐PBDF的體積圖1419解:(1)證明:因?yàn)锽CCD,即BCD為等腰三角形,又ACBACD,故BDAC.因?yàn)镻A底面ABCD,所以PABD,從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.(2)三棱錐PBCD的底面BCD的面積SBCDBC·CD·sinBCD·2·2·sin.由PA底面ABCD,得VPBCD·SBCD·PA××2 2.由PF7FC,得三棱錐FBCD的高為PA,故VFBCD·SBCD·PA×××2 ,所以VPBDFVPBCDVFBCD2.8G2和G72013·重慶卷 某幾何體的三視圖如圖13所示,則該幾何體的表面積為()圖13A180 B200 C220 D2408D解析 該幾何體為直四棱柱,其高為10,底面是上底為2,下底為8,高為4,其腰為5的等腰梯形,所以底面面積和為(28)×4×240.四個(gè)側(cè)面的面積和為(285×2)×10200,所以該直四棱柱的表面積為S40200240,故選D.G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線G4空間中的平行關(guān)系17G4,G5,G72013·北京卷 如圖15,在四棱錐PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明:(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD,CD2AB,E為CD的中點(diǎn),所以ABDE,且ABDE,所以ABED為平行四邊形,所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD,而且ABED為平行四邊形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.又因?yàn)锳DPAA,所以CD平面PAD,所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.18G2,G42013·福建卷 如圖13,在四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC5,DC3,AD4,PAD60°.(1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫(xiě)出演算過(guò)程);(2)若M為PA的中點(diǎn),求證:DM平面PBC;(3)求三棱錐DPBC的體積圖1318解:(1)在梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)C作CEAB,垂足為E.由已知得,四邊形ADCE為矩形,AECD3,在RtBEC中,由BC5,CE4,依勾股定理得BE3,從而AB6.又由PD平面ABCD得,PDAD.從而在RtPDA中,由AD4,PAD60°,得PD4 .正視圖如圖所示(2)方法一:取PB中點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)MN,CN.在PAB中,M是PA中點(diǎn),MNAB,MNAB3.又CDAB,CD3,MNCD,MNCD,四邊形MNCD為平行四邊形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.方法二:取AB的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BECD,四邊形BCDE為平行四邊形,DEBC.又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC.又DEMEE,平面DME平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBC·PD,又SDBC6,PD4 ,所以VDPBC8 .18G1,G4,G52013·廣東卷 如圖14(1),在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將ABF沿AF折起,得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF,其中BC.圖14(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當(dāng)AD時(shí),求三棱錐FDEG的體積18解:8G4、G52013·廣東卷 設(shè)l為直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A若l,l,則B若l,l,則C若l,l,則D若,l,則l8B解析 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì),易知選B.16G4,G52013·江蘇卷 如圖12,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.過(guò)A作AFSB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.圖1216證明:(1)因?yàn)锳SAB,AFSB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn),所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE,所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC,且交線為SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC,所以AFBC.又因?yàn)锳BBC,AFABA,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB,所以BCSA.15G42013·江西卷 如圖15所示,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且ABCD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)圖15154解析 直線EF與正方體左右兩個(gè)面平行,與其他四個(gè)面相交圖1418G4,G52013·遼寧卷 如圖14,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn)(1)求證:BC平面PAC;(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為AOC的重心,求證:QG平面PBC.18證明:(1)由AB是圓O的直徑,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M,聯(lián)結(jié)QM,QO,由G為AOC的重心,得M為AC中點(diǎn),由Q為PA中點(diǎn),得QMPC.又O為AB中點(diǎn),得OMBC.因?yàn)镼MMOM,QM平面QMO.MO平面QMO,BCPCC,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO,所以QG平面PBC.18G4,G7,G112013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn)(1)證明:BC1平面A1CD;(2)設(shè)AA1ACCB2,AB2,求三棱錐CA1DE的體積圖1718解:(1)證明:聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn),聯(lián)結(jié)DF,則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.圖18(2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知ACCB,D為AB的中點(diǎn),所以CDAB.又AA1ABA,于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2,AB2 得ACB90°,CD,A1D,DE,A1E3,故A1D2DE2A1E2,即DEA1D.所以VCA1DE××××1.19G4,G52013·山東卷 如圖15,四棱錐PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F(xiàn),G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn)(1)求證:CE平面PAD;(2)求證:平面EFG平面EMN.圖1619證明:(1)證法一:取PA的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以EHAB,EHAB.又ABCD,CDAB,所以EHCD,EHCD.因此四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD.證法二:聯(lián)結(jié)CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn),所以AFAB.又CDAB,所以AFCD.又AFCD,所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF,EF平面EFG,F(xiàn)G平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn),所以MNCD.又ABCD,所以MNAB,因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.18G4,G112013·陜西卷 如圖15,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,ABAA1.圖15(1)證明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積18解: (1)證明:由題設(shè)知,BB1瘙綊DD1,四邊形BB1D1D是平行四邊形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1瘙綊B1C1瘙綊BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1BB,平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1,AA1,A1O1,又SABD××1,VABDA1B1D1SABD·A1O1.19G4,G5,G7,G112013·四川卷 圖18如圖18,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,ABAC2AA12,BAC120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn),P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi),試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l,說(shuō)明理由,并證明直線l平面ADD1A1;(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q,求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式:VSh,其中S為底面面積,h為高)19解:(1)如圖,在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作直線lBC,因?yàn)閘在平面A1BC外,BC在平面A1BC內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,ABAC,D是BC的中點(diǎn),所以,BCAD,則直線lAD.因此AA1平面ABC,所以AA1直線l.又因?yàn)锳D,AA1在平面ADD1A1內(nèi),且AD與AA1相交,所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC,所以DEAA1.又因?yàn)锳C,AA1在平面AA1C1C內(nèi),且AC與AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由ABAC2,BAC120°,有AD1,DAC60°,所以在ACD中,DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11,所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.17G4,G5、G112013·天津卷 如圖13所示,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱A1A底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等,D,E,F(xiàn)分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn)(1)證明EF平面A1CD;(2)證明平面A1CD平面A1ABB1;(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值圖1317解:(1)證明:如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,ACA1C1,且ACA1C1,聯(lián)結(jié)ED,在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DEAC且DEAC,又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn),可得A1FDE,且A1FDE,即四邊形A1DEF為平行四邊形,所以EFDA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF平面A1CD.(2)證明:由于底面ABC是正三角形,D為AB的中點(diǎn),故CDAB,又由于側(cè)棱AA1底面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AABA,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作BGA1D交直線A1D于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CG,由于平面A1CD平面A1ABB1,而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線,故BG平面A1CD,由此得BCG為直線BC與平面A1CD所成的角設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a,可得A1D,由A1ADBGD,易得BG.在RtBGC中,sinBCG.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.4G4,G52013·浙江卷 設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面()A若m,n,則mnB若m,m,則C若mn,m,則nD若m,則m4C解析 對(duì)于選項(xiàng)C,若mn,m,易得n.所以選擇C.G5空間中的垂直關(guān)系圖1518G52013·安徽卷 如圖15,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,BAD60°,已知PBPD2,PA.(1)證明:PCBD;(2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐PBCE的體積18解:(1)證明:聯(lián)結(jié)AC,交BD于O點(diǎn),聯(lián)結(jié)PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以ACBD,BODO.由PBPD知,POBD.再由POACO知,BD面APC,又PC平面APC,因此BDPC.(2)因?yàn)镋是PA的中點(diǎn),所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC.由PBPDABAD2知,ABDPBD.因?yàn)锽AD60°,所以POAO,AC2,BO1.又PA,故PO2AO2PA2,即POAC.故SAPCPO·AC3.由(1)知,BO面APC,因此VPBCEVBAPC··SAPC·BO.17G4,G5,G72013·北京卷 如圖15,在四棱錐PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明:(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD,CD2AB,E為CD的中點(diǎn),所以ABDE,且ABDE,所以ABED為平行四邊形,所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD,而且ABED為平行四邊形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.又因?yàn)锳DPAA,所以CD平面PAD,所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.19G5、G112013·全國(guó)卷 如圖13所示,四棱錐PABCD中,ABCBAD90°,BC2AD,PAB和PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圖13(1)證明:PBCD;(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離19解:(1)證明:取BC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DE,則四邊形ABED為正方形過(guò)P作PO平面ABCD,垂足為O.聯(lián)結(jié)OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD,所以O(shè)AOBOD,即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)故OEBD,從而PBOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)取PD的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)OF,則OFPB.由(1)知,PBCD,故OFCD.又ODBD,OP,故POD為等腰三角形,因此OFPD.又PDCDD,所以O(shè)F平面PCD.因?yàn)锳ECD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而OFPB1,所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1.18G1,G4,G52013·廣東卷 如圖14(1),在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將ABF沿AF折起,得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF,其中BC.圖14(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當(dāng)AD時(shí),求三棱錐FDEG的體積18解:8G4、G52013·廣東卷 設(shè)l為直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A若l,l,則B若l,l,則C若l,l,則D若,l,則l8B解析 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì),易知選B.16G4,G52013·江蘇卷 如圖12,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.過(guò)A作AFSB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.圖1216證明:(1)因?yàn)锳SAB,AFSB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn),所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE,所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC,且交線為SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC,所以AFBC.又因?yàn)锳BBC,AFABA,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB,所以BCSA.19G5,G72013·江西卷 如圖17所示,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD,AA13,E為CD上一點(diǎn),DE1,EC3.(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離圖1719解:(1)證明:過(guò)B作CD的垂線交CD于F,則BFAD,EFABDE1,F(xiàn)C2.在RtBEF中,BE.在RtCFB中,BC.在BEC中,因?yàn)锽E2BC29EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱錐EA1B1C1的體積V·AA1·SA1B1C1.在RtA1D1C1中,A1C13 .同理,EC13 ,A1E2 .故SA1C1E3 .設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d,則三棱錐B1A1C1E的體積V·d·SA1C1Ed,從而d,d.圖1418G4,G52013·遼寧卷 如圖14,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn)(1)求證:BC平面PAC;(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為AOC的重心,求證:QG平面PBC.18證明:(1)由AB是圓O的直徑,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M,聯(lián)結(jié)QM,QO,由G為AOC的重心,得M為AC中點(diǎn),由Q為PA中點(diǎn),得QMPC.又O為AB中點(diǎn),得OMBC.因?yàn)镼MMOM,QM平面QMO.MO平面QMO,BCPCC,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO,所以QG平面PBC.19G4,G52013·山東卷 如圖15,四棱錐PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F(xiàn),G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn)(1)求證:CE平面PAD;(2)求證:平面EFG平面EMN.圖1619證明:(1)證法一:取PA的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以EHAB,EHAB.又ABCD,CDAB,所以EHCD,EHCD.因此四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD.證法二:聯(lián)結(jié)CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn),所以AFAB.又CDAB,所以AFCD.又AFCD,所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF,EF平面EFG,F(xiàn)G平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn),所以MNCD.又ABCD,所以MNAB,因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.19G4,G5,G7,G112013·四川卷 圖18如圖18,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,ABAC2AA12,BAC120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn),P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi),試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l,說(shuō)明理由,并證明直線l平面ADD1A1;(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q,求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式:VSh,其中S為底面面積,h為高)19解:(1)如圖,在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作直線lBC,因?yàn)閘在平面A1BC外,BC在平面A1BC內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,ABAC,D是BC的中點(diǎn),所以,BCAD,則直線lAD.因此AA1平面ABC,所以AA1直線l.又因?yàn)锳D,AA1在平面ADD1A1內(nèi),且AD與AA1相交,所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC,所以DEAA1.又因?yàn)锳C,AA1在平面AA1C1C內(nèi),且AC與AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由ABAC2,BAC120°,有AD1,DAC60°,所以在ACD中,DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11,所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.17G4,G5、G112013·天津卷 如圖13所示,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱A1A底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等,D,E,F(xiàn)分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn)(1)證明EF平面A1CD;(2)證明平面A1CD平面A1ABB1;(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值圖1317解:(1)證明:如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,ACA1C1,且ACA1C1,聯(lián)結(jié)ED,在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DEAC且DEAC,又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn),可得A1FDE,且A1FDE,即四邊形A1DEF為平行四邊形,所以EFDA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF平面A1CD.(2)證明:由于底面ABC是正三角形,D為AB的中點(diǎn),故CDAB,又由于側(cè)棱AA1底面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AABA,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作BGA1D交直線A1D于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CG,由于平面A1CD平面A1ABB1,而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線,故BG平面A1CD,由此得BCG為直線BC與平面A1CD所成的角設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a,可得A1D,由A1ADBGD,易得BG.在RtBGC中,sinBCG.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.19G52013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖15所示,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160°.(1)證明:ABA1C;(2)若ABCB2,A1C,求三棱柱ABCA1B1C1的體積圖1519解:(1)取AB的中點(diǎn)O,聯(lián)結(jié)OC,OA1,A1B,因?yàn)镃ACB,所以O(shè)CAB.由于ABAA1,BAA160°,故AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以O(shè)COA1.又A1C,則A1C2OC2OA,故OA1OC.因?yàn)镺CABO,所以O(shè)A1平面ABC,OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積SABC,故三棱柱ABCA1B1C1的體積VSABC·OA13.4G4,G52013·浙江卷 設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面()A若m,n,則mnB若m,m,則C若mn,m,則nD若m,則m4C解析 對(duì)于選項(xiàng)C,若mn,m,易得n.所以選擇C.19G2和G52013·重慶卷 如圖14所示,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,PA2 ,BCCD2,ACBACD.(1)求證:BD平面PAC;(2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF7FC,求三棱錐PBDF的體積圖1419解:(1)證明:因?yàn)锽CCD,即BCD為等腰三角形,又ACBACD,故BDAC.因?yàn)镻A底面ABCD,所以PABD,從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.(2)三棱錐PBCD的底面BCD的面積SBCDBC·CD·sinBCD·2·2·sin.由PA底面ABCD,得VPBCD·SBCD·PA××2 2.由PF7FC,得三棱錐FBCD的高為PA,故VFBCD·SBCD·PA×××2 ,所以VPBDFVPBCDVFBCD2.G6三垂線定理8G1,G62013·北京卷 如圖12,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn),P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有()圖12A3個(gè) B4個(gè)C5個(gè) D6個(gè)8B解析 設(shè)棱長(zhǎng)為1,BD1,BP,D1P.聯(lián)結(jié)AD1,B1D1,CD1,得ABD1CBD1B1BD1,ABD1CBD1B1BD1,且cosABD1,聯(lián)結(jié)AP,PC,PB1,則有ABPCBPB1BP,APCPB1P,同理DPA1PC1P1,P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)G7棱柱與棱錐17G4,G5,G72013·北京卷 如圖15,在四棱錐PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明:(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD,CD2AB,E為CD的中點(diǎn),所以ABDE,且ABDE,所以ABED為平行四邊形,所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD,而且ABED為平行四邊形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.又因?yàn)锳DPAA,所以CD平面PAD,所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.10G2,G72013·北京卷 某四棱錐的三視圖如圖13所示,該四棱錐的體積為_(kāi)圖13103解析 正視圖的長(zhǎng)為3,側(cè)視圖的長(zhǎng)為3,因此,該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,且高為1,因此V×(3×3)×13.8G72013·江蘇卷 如圖11,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1V2_圖118124解析 設(shè)三棱柱的底面積為S,高為h,則V2Sh,又D,E,F(xiàn)分別為AB,AC,AA1的中點(diǎn),所以SAEDS,且三棱錐FADE的高為h,故V1SAED·h·S·hSh,所以V1V2124.19G5,G72013·江西卷 如圖17所示,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD,AA13,E為CD上一點(diǎn),DE1,EC3.(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離圖1719解:(1)證明:過(guò)B作CD的垂線交CD于F,則BFAD,EFABDE1,F(xiàn)C2.在RtBEF中,BE.在RtCFB中,BC.在BEC中,因?yàn)锽E2BC29EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱錐EA1B1C1的體積V·AA1·SA1B1C1.在RtA1D1C1中,A1C13 .同理,EC13 ,A1E2 .故SA1C1E3 .設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d,則三棱錐B1A1C1E的體積V·d·SA1C1Ed,從而d,d.18G4,G7,G112013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn)(1)證明:BC1平面A1CD;(2)設(shè)AA1ACCB2,AB2,求三棱錐CA1DE的體積圖1718解:(1)證明:聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn),聯(lián)結(jié)DF,則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.圖18(2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知ACCB,D為AB的中點(diǎn),所以CDAB.又AA1ABA,于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2,AB2 得ACB90°,CD,A1D,DE,A1E3,故A1D2DE2A1E2,即DEA1D.所以VCA1DE××××1.19G4,G5,G7,G112013·四川卷 圖18如圖18,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,ABAC2AA12,BAC120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn),P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi),試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l,說(shuō)明理由,并證明直線l平面ADD1A1;(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q,求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式:VSh,其中S為底面面積,h為高)19解:(1)如圖,在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作直線lBC,因?yàn)閘在平面A1BC外,BC在平面A1BC內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,ABAC,D是BC的中點(diǎn),所以,BCAD,則直線lAD.因此AA1平面ABC,所以AA1直線l.又因?yàn)锳D,AA1在平面ADD1A1內(nèi),且AD與AA1相交,所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC,所以DEAA1.又因?yàn)锳C,AA1在平面AA1C1C內(nèi),且AC與AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由ABAC2,BAC120°,有AD1,DAC60°,所以在ACD中,DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11,所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.8G2和G72013·重慶卷 某幾何體的三視圖如圖13所示,則該幾何體的表面積為()圖13A180 B200 C220 D2408D解析 該幾何體為直四棱柱,其高為10,底面是上底為2,下底為8,高為4,其腰為5的等腰梯形,所以底面面積和為(28)×4×240.四個(gè)側(cè)面的面積和為(285×2)×10200,所以該直四棱柱的表面積為S40200240,故選D.G8多面體與球10G82013·天津卷 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)10.解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則,解之得a.15G82013·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知正四棱錐OABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi)1524解析 設(shè)O到底面的距離為h,則×3×hh,OA,故球的表面積為4×()224.16G82013·湖北卷 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸若盆中積水深九寸,則平地降雨量是_寸(注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于十寸)163解析 積水深度為盆深的一半,故此時(shí)積水部分的圓臺(tái)上底面直徑為二尺,圓臺(tái)的高為九寸,故此時(shí)積水的體積是(1026210×6)×9196×3(立方寸),盆口的面積是×142196,所以平均降雨量是3寸15G82013·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AHHB12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面積為_(kāi)15.解析 截面為圓,由已知得該圓的半徑為1.設(shè)球的半徑為r,則AHr,所以O(shè)Hr,所以r212r2,r2,所以球的表面積是4r2.G9空間向量及運(yùn)算G10空間向量解決線面位置關(guān)系G11空間有與距離的求法19G5、G112013·全國(guó)卷 如圖13所示,四棱錐PABCD中,ABCBAD90°,BC2AD,PAB和PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圖13(1)證明:PBCD;(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離19解:(1)證明:取BC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DE,則四邊形ABED為正方形過(guò)P作PO平面ABCD,垂足為O.聯(lián)結(jié)OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD,所以O(shè)AOBOD,即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)故OEBD,從而PBOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)取PD的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)OF,則OFPB.由(1)知,PBCD,故OFCD.又ODBD,OP,故POD為等腰三角形,因此OFPD.又PDCDD,所以O(shè)F平面PCD.因?yàn)锳ECD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而OFPB1,所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1.11G112013·全國(guó)卷 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.11A解析 如圖,聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O.由于BOOC,BOCC1,可得BO平面OCC1,從而平面OCC1平面BDC1,過(guò)點(diǎn)C作OC1的垂線交OC1于點(diǎn)E,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CE平面BDC1,CDE即為所求的線面角設(shè)AB2,則OC,OC13,所以CE,所以sin CDE.22G112013·江蘇卷 如圖12所示,在直三棱柱A1

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