高考數(shù)學(xué)教學(xué)論文 恒成立問題的一般解法

高考數(shù)學(xué)恒成立問題的一般解法高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。一、 一次函數(shù)型：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0，則有nmoxynmoxy例1、 對于滿足|p|2的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,設(shè)f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3.二、 二次函數(shù)型若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，則有若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。例2、 設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間-1,+)時恒大于0的問題。解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2<a<1時，對一切x-1,+)，F(xiàn)(x)0恒成立；）當(dāng)=4（a-1)(a+2)0時由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜合可得a的取值范圍為-3，1。例3、 關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。解法1（利用韋達(dá)定理）：設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a-8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,a=0或a=-8.a=0時，f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0，不合題意；a=-8時，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合題意。a=-8.4oxy20.>0,即a<-8或a>0時，f(0)=4>0,故只需對稱軸，即a<-4.a<-8綜合可得a-8.三、 變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例4、 已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,-a+5>3即>a+2上式等價于或解得a<8.注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,則t-1,1,整理得2t2-4t+4-a+>0,( t-1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)>0,即>a-2.(下同)四、 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例5、 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù)，求的值。分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng)于告訴我們一個恒成立問題。解：由題得：f(-x)=f(x)對一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0對一切xR恒成立，只需也必須sin+cos=0。=k.（kZ)五、 直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例6、當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,a>1,1<a2.例7、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。xyl1l2l-20o解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。內(nèi)容總結(jié)（1）高考數(shù)學(xué)恒成立問題的一般解法高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用（2）解法1（利用韋達(dá)定理）：設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根