高考數(shù)學(xué)思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想

高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想【思想方法詮釋】一、數(shù)形結(jié)合的思想所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：1構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；2構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；3構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；4構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；5構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；6構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；7構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；8研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮奇特功效，具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；2用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：1要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；2要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；3要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；4精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解?！竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1：利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題例1：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：（1）點(diǎn)（a,b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積；（2）的取值范圍；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析：列出a,b滿足的條件畫出點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域求面積根據(jù)的幾何意義求范圍根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，由此可得不等式組由，解得A（-3，1）由，解得C（-1，0）在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锳BC（不包括邊界）（1）ABC的面積為（h為A到Oa軸的距離）（2）幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線的斜率由圖可知（3）(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方，注：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對(duì)應(yīng)有：（1）連線的斜率；（2）之間的距離；（3）為直角三角形的三邊；（4）圖象的對(duì)稱軸為x=只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法要點(diǎn)考向2：用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題例2：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x+1)=f(x-1);當(dāng)x-1,1時(shí)，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10(2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x-4,0時(shí)，恒有f(x)g(x)，求實(shí)數(shù)a的范圍思路精析：（1）畫出f(x)的圖象畫出y=lgx的圖象數(shù)出交點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）f(x)g(x)變形為畫出的圖象畫出的圖象尋找成立的位置解析：（1）選C由題間可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)?，1的函數(shù)又f(x) =lgx，則x（0，10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)（2）f(x)g(x)，即，變形得，令，變形得，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；表示斜率為，縱截距為1-a的平行直線系設(shè)與圓相切的直線為AT，其傾斜角為，則有tan=,要使f(x)g(x)在x-4,0時(shí)恒成立，則成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-a6,a-5注：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)（2）解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)（或多個(gè)）函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答（3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例3：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是（）求橢圓的方程；（）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值；（）求面積的最大值解析：（）設(shè)橢圓的方程為由題意2分解得 ，所以橢圓的方程為4分（）由題意知，兩直線，的斜率必存在，設(shè)的斜率為，則的直線方程為.由得 .6分設(shè)，則，同理可得， 則，.所以直線的斜率為定值. 8分（）設(shè)的直線方程為.由得.由，得.10分此時(shí)，.到的距離為，則.因?yàn)槭古袆e式大于零，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為13分注：1數(shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會(huì)有更大的功效2此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用例4：如圖1,在直角梯形中,為線段的中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.() 求證:平面；() 求二面角的余弦值.解析:（）在圖1中,可得,從而,故.取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面,面面,面,從而平面. 4分，又,.平面. 6分（）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,. 8分設(shè)為面的法向量,則即,解得.令,可得.又為面的一個(gè)法向量，.二面角的余弦值為.注：1應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置其一般思路是：盡量建立空間直角坐標(biāo)系，將要證、要求的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算2立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的個(gè)數(shù)( )(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)2已知全集U=R，集合A=x|x2-3x-10<0,B=x|x>3,則右圖中陰影部分表示的集合為( )A(3,5) B(-2,+) C(-2,5) D(5,+)3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0，則平面區(qū)域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面積為（ ） (A)2 (B)1 (C) (D)4函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）23yx0ABCD5不等式組有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD6已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是 （ ）二、填空題（每小題6分，共18分）7復(fù)數(shù)(x-2)+yi，其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí)，的取值范圍是8.已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的范圍是_.9.設(shè)A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0，則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）10如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，且，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且（）求證：平面；（）若，求平面與平面的所成銳二面角的大小 11如圖，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對(duì)稱M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程；（）該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于km求此廠離點(diǎn)0的最近距離（注：工廠視為一個(gè)點(diǎn)）12已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.參考答案1【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3.2答案：B3作出不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為14答案：D5答案：A6【解析】選B.根據(jù)對(duì)稱性畫出f(x)在（-3,0）上的圖象如圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函數(shù)值的正負(fù),易知不等式f(x)cosx<0的解集是7【解析】由題意知，設(shè)，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線斜率，作圖如下：又由對(duì)稱性，可得答案：答案：8【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. 畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1<m<5時(shí)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根.答案：（1，5）9【解析】由于集合A，B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個(gè)圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個(gè)不等式x+y+m0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使AB，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖），即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時(shí)有故m的取值范圍是m-1.答案：m-110解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系又PA=AD=2，則有P（0，0，2），D（0，2，0）3分（）又7分（）設(shè)則有同理可得即得9分由而平面PAB的法向量可為故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為12分11解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9）設(shè)MN所在拋物線的方程為，則有，解得所求方程為（23）5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)方程，本問扣2分） （2）設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P（，）（23）廠址為點(diǎn)A（0，）（5t8，由題意得07分令，23，49對(duì)于任意的，不等式0恒成立（*）8分設(shè)，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值為所以，該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km12分12【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.當(dāng)t+1<4即t<3時(shí)，f(x)在t,t+1上單調(diào)遞增(如圖).h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.當(dāng)t4t+1即3t4時(shí)，f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖)當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在t,t+1上單調(diào)遞減（如圖），h(t)=f(t)=-t2+8t.(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).(x)=x2-8x+6lnx+m,當(dāng)x(0,1)時(shí)(x)>0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x(1,3)時(shí),(x)<0,(x)是減函數(shù);當(dāng)x(3,+)時(shí),(x)>0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x=1或x=3時(shí)，（x）=0.(x)極大值=（1）=m-7,(x)極小值=（3）=m+6ln3-15.當(dāng)x充分接近0時(shí)，（x）<0，當(dāng)x充分大時(shí),(x)>0,要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即7<m<15-6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),m的取值范圍為(7,15-6ln3).【備課資源】4.已知函數(shù)f(x)=|x2+2x|,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b，c的大小關(guān)系是( )(A)b>c(B)bc或bc中至少有一個(gè)正確(C)b<c(D)不能確定【解析】選C.f(x)=|x2+2x|的圖象如圖.要使關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有兩個(gè)不同的根.且一個(gè)根在（0,1）內(nèi)，另一個(gè)根為1.b<c.5.若直線y=kx-1與曲線y=有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_.【解析】曲線y=的定義域?yàn)?,3，且其圖象為圓(x-2)2+y2=1的下半圓，如圖所示，則直線y=kx-1要與曲線有公共點(diǎn)，則直線只能處于l1,l2之間，且可與l1、l2重合，則k的取值范圍是0，1.答案：0，16.已知有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為P(-1,1)，Q（2,2）.若直線l:x+my+m=0與有向線段PQ延長(zhǎng)線相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.集合A=x|-1<x<1,B=x|x<a,(1)若AB=,求a的取值范圍;(2)若AB=x|x<1,求a的取值范圍.【解析】(1)如圖所示：A=x|-1<x<1B=x|x<a,且AB=，數(shù)軸上點(diǎn)x=a在x=-1左側(cè),a-1.(2)如圖所示：A=x|-1<x<1,B=x|x<a且AB=x|x<1,數(shù)軸上點(diǎn)x=a在x=-1和x=1之間，-1<a1.9.如圖,l1、l2是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.(1)證明ACNB;(2)若ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).(1)MN是l1、l2的公垂線，l1l2,l2平面ABN，l2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是內(nèi)容總結(jié)（1）高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想【思想方法詮釋】一、數(shù)形結(jié)合的思想所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法