高考數(shù)學(xué) 第七章 第五節(jié) 平面與平面垂直課件 理 蘇教版

第五節(jié) 平面與平面垂直1.1.二面角二面角(1)(1)二面角的定義二面角的定義一條直線和由這條直線出發(fā)的一條直線和由這條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角所組成的圖形叫做二面角. .這條這條直線叫做直線叫做_._.每個(gè)半平面叫每個(gè)半平面叫做做_._.如圖的二面角，可記作如圖的二面角，可記作: :二面角二面角_或二面角或二面角_或二面角或二面角_._.兩個(gè)半兩個(gè)半平面平面二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面-l-AB-AB-M-AB-NM-AB-N(2)(2)二面角的平面角二面角的平面角如圖，從二面角如圖，從二面角-l-的棱的棱l上任取一上任取一點(diǎn)點(diǎn)O O在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作OBOBl，OAOAl, ,則則_就叫做二面角就叫做二面角-l-的平面角的平面角. .(3)(3)二面角的平面角的范圍二面角的平面角的范圍設(shè)二面角的平面角為設(shè)二面角的平面角為，則，則0,0,. .AOBAOB2.2.平面與平面垂直平面與平面垂直(1)(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是是_，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直. .直二面角直二面角(2)(2)平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言 判判定定定定理理 如果一個(gè)平面經(jīng)如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的過(guò)另一個(gè)平面的一條一條_，那，那么這兩個(gè)平面互么這兩個(gè)平面互相垂直相垂直. . l _垂線垂線l(3)(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言 性性質(zhì)質(zhì)定定理理 如果兩個(gè)平面互如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們于它們_的的直線垂直于另一直線垂直于另一個(gè)平面?zhèn)€平面. . =a=a_交線交線lllaa判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”).”).(1)(1)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0(0， . .( )( )(2)(2)二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形.( ).( )(3)(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面于另一個(gè)平面.( ).( )2(4)(4)若平面若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.( ).( )(5)(5)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.( ).( )【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .異面直線所成角的范圍是異面直線所成角的范圍是(0(0， , ,而二面而二面角的范圍是角的范圍是0 0，. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若平面若平面平面平面，則平面，則平面內(nèi)的直線內(nèi)的直線l與與可平行，可平行，可相交，也可在平面可相交，也可在平面內(nèi)內(nèi). .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .平面平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，不能保證該直線垂直于此平面不能保證該直線垂直于此平面，故不能推出，故不能推出. .(5)(5)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)21.1.設(shè)設(shè)，為不重合的平面，為不重合的平面，m,nm,n為不重合的直線，則下列命為不重合的直線，則下列命題正確的是題正確的是_(_(填序號(hào)填序號(hào)).).(1)(1)若若,=n,mn,=n,mn, ,則則mm(2)(2)若若m m,n,n,mn,mn, ,則則nn(3)(3)若若n,n,mn,n,m, ,則則mm(4)(4)若若m,n,mnm,n,mn，則，則【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如圖如圖所示，所示，,=n,mn,=n,mn, ,但但m m. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如圖如圖所示，所示，m m,n,n,mn,mn, ,但但n n與與不垂直不垂直. .(3)(3)正確正確.n,n,.n,n,. .又又m,mm,m. .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如圖如圖所示，所示，m,n,mnm,n,mn, ,但但. .答案：答案：(3)(3)2.2.已知已知,表示兩個(gè)不同的平面，表示兩個(gè)不同的平面，m m為平面為平面內(nèi)的一條直線，內(nèi)的一條直線，則則“”是是“mm”的的_條件條件.(.(填填“充分不必充分不必要要”“”“必要不充分必要不充分”“”“充要充要”) )【解析【解析】由條件知，當(dāng)由條件知，當(dāng)mm時(shí)，一定有時(shí)，一定有；但反之不一；但反之不一定成立定成立. .故填必要不充分故填必要不充分. .答案：答案：必要不充分必要不充分3.3.若平面若平面平面平面,平面平面平面平面,平面平面平面平面=直線直線l，則直線則直線l與平面與平面的關(guān)系是的關(guān)系是_._.【解析【解析】l. .理由如下：理由如下：取取PP, ,但但P P l, ,過(guò)過(guò)P P作作與與的交線的垂線的交線的垂線PA,PA,由由知知PAPA, ,故故lPAPA, ,過(guò)過(guò)P P作作與與的交線的垂線的交線的垂線PB,PB,由由知知PBPB, ,故故lPBPB, ,又又PAPB=P,PAPB=P,故故l. .答案：答案：l4.4.將正方形將正方形ABCDABCD沿沿ACAC折成直二面角后，折成直二面角后，DAB=_.DAB=_.【解析【解析】如圖如圖, ,取取ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O，連結(jié)，連結(jié)DODO，BOBO，則則DOACDOAC，BOACBOAC，故，故DOBDOB為二面角的平為二面角的平面角，從而面角，從而DOB=90DOB=90. .設(shè)正方形邊長(zhǎng)為設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1 1，則則DO=BO= DO=BO= ，所以，所以DB=1DB=1，故，故ADBADB為等邊為等邊三角形，所以三角形，所以DAB=60DAB=60. .答案：答案：606022考向考向 1 1 面面垂直的判定面面垂直的判定 【典例【典例1 1】如圖所示，如圖所示，ABCABC為正三角形，為正三角形，CECE平面平面ABCABC，BDCEBDCE，CE=CA=2BDCE=CA=2BD，M M是是EAEA的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：(1)DE=DA.(1)DE=DA.(2)(2)平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)由于由于CE=2BDCE=2BD，故可考慮取，故可考慮取CECE的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，通過(guò)證，通過(guò)證明明DEFDEFADBADB來(lái)證明來(lái)證明DE=DA.DE=DA.(2)(2)證明面面垂直，應(yīng)先證明線面垂直證明面面垂直，應(yīng)先證明線面垂直. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)如圖所示，取如圖所示，取CECE的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，連結(jié)，連結(jié)DF.DF.ECEC平面平面ABCABC，ECBC.ECBC.BDCEBDCE，BD= CE=CF=FEBD= CE=CF=FE，四邊形四邊形FCBDFCBD是矩形，是矩形，DFEC.DFEC.又又BA=BC=DFBA=BC=DF，RtRtDEFRtDEFRtADBADB，DE=DA.DE=DA.12(2)(2)如圖所示，取如圖所示，取ACAC中點(diǎn)中點(diǎn)N N，連結(jié)，連結(jié)MNMN，NBNB，MM是是EAEA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，MN CE.MN CE.由由BD CE,BD CE,且且BDBD平面平面ABCABC，可得四邊形，可得四邊形MNBDMNBD是矩形，是矩形，于是于是DMMN.DE=DADMMN.DE=DA，M M是是EAEA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DMEA.DMEA.又又EAMN=MEAMN=M，DMDM平面平面ECAECA，而，而DMDM平面平面BDMBDM，平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.1212【拓展提升【拓展提升】證明面面垂直的兩種思路證明面面垂直的兩種思路(1)(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線個(gè)平面的一條垂線. .(2)(2)用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題面角，把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013常州模擬常州模擬) )如圖的幾何體中，如圖的幾何體中，ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACDACD，ACDACD為等邊三角形，為等邊三角形，AD=DE=2AB=2,FAD=DE=2AB=2,F為為CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：AFAF平面平面BCE.BCE.(2)(2)求證：平面求證：平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.【證明【證明】(1)(1)取取CECE的中點(diǎn)的中點(diǎn)G G，連結(jié)，連結(jié)FG,BG.FG,BG.FF為為CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GFDEGFDE且且GF= DE.GF= DE.ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACD.ACD.ABDE,GFAB.ABDE,GFAB.又又AB= DE,GF=AB.AB= DE,GF=AB.四邊形四邊形GFABGFAB為平行四邊形，則為平行四邊形，則AFBG.AFBG.AFAF 平面平面BCE,BGBCE,BG平面平面BCE,BCE,AFAF平面平面BCE.BCE.1212(2)(2)ACDACD為等邊三角形，為等邊三角形，F(xiàn) F為為CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AFCDAFCD，DEDE平面平面ACDACD，AFAF平面平面ACDACD，DEAF.BGAF,BGDE,BGCDDEAF.BGAF,BGDE,BGCD，又，又CDDE=D,CDDE=D,BGBG平面平面CDE.CDE.BGBG平面平面BCEBCE，平面平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.考向考向 2 2 面面垂直的性質(zhì)面面垂直的性質(zhì) 【典例【典例2 2】(2013(2013連云港模擬連云港模擬) )如圖，四棱錐如圖，四棱錐P-ABCDP-ABCD的底面的底面為矩形，且為矩形，且AB= ,BC=1,E,FAB= ,BC=1,E,F分別為分別為AB,PCAB,PC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)若平面若平面PACPAC平面平面ABCDABCD，求證：平面，求證：平面PACPAC平面平面PDE.PDE.2【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)可作輔助線構(gòu)造平行四邊形，在平面可作輔助線構(gòu)造平行四邊形，在平面PADPAD內(nèi)作內(nèi)作出與出與EFEF平行的直線，也可作輔助線構(gòu)造過(guò)平行的直線，也可作輔助線構(gòu)造過(guò)EFEF且與平面且與平面PADPAD平行平行的平面的平面. .(2)(2)注意確定平面注意確定平面PACPAC與平面與平面ABCDABCD的交線，并在平面的交線，并在平面ABCDABCD內(nèi)尋找內(nèi)尋找與交線垂直的直線，可得線面垂直關(guān)系與交線垂直的直線，可得線面垂直關(guān)系. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)方法一：取線段方法一：取線段PDPD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M，連結(jié)，連結(jié)FMFM，AM.AM.因?yàn)橐驗(yàn)镕 F為為PCPC的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以FMCD,FMCD,且且FM= CD.FM= CD.因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD為矩形，為矩形，E E為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以EACDEACD，且，且EA= CD,EA= CD,所以所以FMEAFMEA，且，且FM=EA.FM=EA.所以四邊形所以四邊形AEFMAEFM為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以EFAM.EFAM.又又AMAM平面平面PADPAD，EFEF 平面平面PADPAD，所以，所以EFEF平面平面PAD.PAD.1212方法二：取方法二：取CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn)Q Q，連結(jié)，連結(jié)FQ,EQ.FQ,EQ.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，E E為為ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以AE=DQ,AE=DQ,且且AEDQ.AEDQ.所以四邊形所以四邊形AEQDAEQD為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以EQAD.EQAD.又又ADAD平面平面PAD,EQPAD,EQ 平面平面PAD,PAD,所以所以EQEQ平面平面PAD.PAD.因?yàn)橐驗(yàn)镼,FQ,F分別為分別為CDCD，CPCP的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以FQPD.FQPD.又又PDPD平面平面PADPAD，F(xiàn)QFQ 平面平面PAD,PAD,所以所以EQEQ平面平面PAD.PAD.因?yàn)橐驗(yàn)镼,FQ,F分別為分別為CDCD，CPCP的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以FQPD.FQPD.又又PDPD平面平面PADPAD，F(xiàn)QFQ 平面平面PAD,PAD,所以所以FQFQ平面平面PAD.PAD.又又FQ,EQFQ,EQ平面平面EQF,FQEQ=Q,EQF,FQEQ=Q,所以平面所以平面EQFEQF平面平面PAD.PAD.因?yàn)橐驗(yàn)镋FEF平面平面EQFEQF，所以，所以EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)設(shè)設(shè)AC,DEAC,DE相交于相交于G.G.在矩形在矩形ABCDABCD中，因?yàn)橹校驗(yàn)锳B= BCAB= BC，E E為為ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以又又DAE=CDA,DAE=CDA,所以所以DAEDAECDA,CDA,所以所以ADE=DCA.ADE=DCA.又又ADE+CDE=ADC=90ADE+CDE=ADC=90, ,所以所以DCA+CDE=90DCA+CDE=90. .由由DGCDGC的內(nèi)角和為的內(nèi)角和為180180, ,得得DGC=90DGC=90, ,即即DEAC.DEAC.2DACD2.AEDA又因?yàn)槠矫嬗忠驗(yàn)槠矫鍼ACPAC平面平面ABCDABCD，平面，平面PACPAC平面平面ABCD=AC,ABCD=AC,DEDE平面平面ABCDABCD，所以，所以DEDE平面平面PAC,PAC,又又DEDE平面平面PDE,PDE,所以平面所以平面PACPAC平面平面PDE.PDE.【拓展提升【拓展提升】面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面平面. .這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù). .運(yùn)用時(shí)要注意運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線”. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013東海模擬東海模擬) )如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底中，底面面ABCDABCD是菱形，是菱形，BAD=60BAD=60,AB=2,PA=1,PA,AB=2,PA=1,PA平面平面ABCDABCD，E E是是PCPC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn) F 是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：BEBE平面平面PDF.PDF.(2)(2)求證：平面求證：平面PDFPDF平面平面PAB.PAB.【證明【證明】(1)(1)取取PDPD的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為M M，連結(jié)，連結(jié)MEME，MFMF，因?yàn)?，因?yàn)镋 E是是PCPC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .所以所以MEME是是PCDPCD的中位線的中位線. .所以所以MECD,ME= CD,MECD,ME= CD,又因?yàn)橛忠驗(yàn)镕 F是是ABAB的中點(diǎn)，且由于的中點(diǎn)，且由于ABCDABCD是菱形，是菱形，ABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,所以所以MEFB,MEFB,且且ME=FB,ME=FB,所以四邊形所以四邊形MEBFMEBF是平行四邊形，所以是平行四邊形，所以BEMF.BEMF.因?yàn)橐驗(yàn)锽EBE 平面平面PDF,MFPDF,MF平面平面PDFPDF，所以，所以BEBE平面平面PDF.PDF.12(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)镻APA平面平面ABCDABCD，DFDF平面平面ABCDABCD，所以，所以DFPA,DFPA,連結(jié)連結(jié)BDBD，因?yàn)榈酌嬉驗(yàn)榈酌鍭BCDABCD是菱形，是菱形，BAD=60BAD=60, ,所以所以DABDAB為正三角形，因?yàn)檎切?，因?yàn)闉镕 F是是ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以DFAB.DFAB.因?yàn)橐驗(yàn)镻A,ABPA,AB是平面是平面PABPAB內(nèi)的兩條相內(nèi)的兩條相交直線，所以交直線，所以DFDF平面平面PAB,PAB,因?yàn)橐驗(yàn)镈FDF平面平面PDFPDF，所以平面，所以平面PDFPDF平面平面PAB.PAB.考向考向 3 3 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 【典例【典例3 3】如圖所示，如圖所示，M M，N N，K K分別是分別是正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ABAB，CDCD，C C1 1D D1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：(1)AN(1)AN平面平面A A1 1MK.MK.(2)(2)平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)要證線面平行，需證線線平行；要證線面平行，需證線線平行；(2)(2)要證面面要證面面垂直，需證線面垂直垂直，需證線面垂直. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)如圖所示，連結(jié)如圖所示，連結(jié)NK.NK.在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，四邊形四邊形AAAA1 1D D1 1D D，DDDD1 1C C1 1C C都為正方形，都為正方形，AAAA1 1DDDD1 1，AAAA1 1=DD=DD1 1，C C1 1D D1 1CDCD，C C1 1D D1 1=CD.=CD.NN，K K分別為分別為CDCD，C C1 1D D1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DNDDND1 1K K，DN=DDN=D1 1K K， 四邊形四邊形DDDD1 1KNKN為平行四邊形為平行四邊形. .KNDDKNDD1 1，KN=DDKN=DD1 1，AAAA1 1KNKN，AAAA1 1=KN=KN，四邊形四邊形AAAA1 1KNKN為平行四邊形，為平行四邊形，ANAANA1 1K.K.AA1 1K K平面平面A A1 1MKMK，ANAN 平面平面A A1 1MKMK，ANAN平面平面A A1 1MK.MK.(2)(2)連結(jié)連結(jié)BCBC1 1. .在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABCABC1 1D D1 1，AB=CAB=C1 1D D1 1. .MM，K K分別為分別為ABAB，C C1 1D D1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BMCBMC1 1K K，BM=CBM=C1 1K K，四邊形四邊形BCBC1 1KMKM為平行四邊形，為平行四邊形，MKBCMKBC1 1. .在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1B B1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，BCBC1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1B B1 1BCBC1 1. .MKBCMKBC1 1,A,A1 1B B1 1MK.MK.四邊形四邊形BBBB1 1C C1 1C C為正方形，為正方形，BCBC1 1BB1 1C.C.MKBMKB1 1C.AC.A1 1B B1 1平面平面A A1 1B B1 1C C，B B1 1C C平面平面A A1 1B B1 1C C，A A1 1B B1 1BB1 1C=BC=B1 1，MKMK平面平面A A1 1B B1 1C.C.又又MKMK平面平面A A1 1MKMK，平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK.【拓展提升【拓展提升】垂直關(guān)系綜合題的類型及解法垂直關(guān)系綜合題的類型及解法(1)(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化面面垂直間的轉(zhuǎn)化. .(2)(2)垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用判定的綜合應(yīng)用. .(3)(3)垂直與體積結(jié)合問(wèn)題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到垂直與體積結(jié)合問(wèn)題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積表示高的線段，進(jìn)而求得體積. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如圖，已知三棱錐如圖，已知三棱錐A-BPCA-BPC中，中，APPCAPPC，ACBCACBC，M M為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，D D為為PBPB的的中點(diǎn)，且中點(diǎn)，且PMBPMB為正三角形為正三角形. .(1)(1)求證：求證：DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)求證：平面求證：平面ABCABC平面平面APC.APC.(3)(3)若若BCBC4 4，ABAB2020，求三棱錐，求三棱錐D-BCMD-BCM的體積的體積. .【解析【解析】(1)M(1)M為為ABAB中點(diǎn)，中點(diǎn)，D D為為PBPB中點(diǎn)，中點(diǎn)，DMAP.DMAP.又又DMDM 平面平面APCAPC，APAP平面平面APC,APC,DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)PMBPMB為正三角形，且為正三角形，且D D為為PBPB中點(diǎn)，中點(diǎn)，MDPB.MDPB.又由又由(1)(1)知知MDAPMDAP，APPB.APPB.又又APPCAPPC，PBPC=PPBPC=P，APAP平面平面PBCPBC，APBC.APBC.又又ACBCACBC，APAC=AAPAC=A，BCBC平面平面APC.APC.又又BCBC平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面APC.APC.(3)AB(3)AB2020，MPMP1010，PBPB10.10.又又BCBC4 4，PCPC= = 又又DMDM100 16 2 21, BCDPBC111SSPC BC2 21 42442 21.11AP400 100 5 322，D BCMM BCDBCD11VVSDM2 21 5 3 10 7.33【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】平行、垂直關(guān)系綜合證明題的規(guī)范解答平行、垂直關(guān)系綜合證明題的規(guī)范解答【典例【典例】(14(14分分)(2012)(2012江蘇高考江蘇高考) )如圖，如圖，在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，A A1 1B B1 1=A=A1 1C C1 1,D,D,E E分別是棱分別是棱BC,CCBC,CC1 1上的點(diǎn)上的點(diǎn)( (點(diǎn)點(diǎn)D D不同于點(diǎn)不同于點(diǎn)C)C)且且ADDE,FADDE,F為為B B1 1C C1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：(1)(1)平面平面ADEADE平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .(2)(2)直線直線A A1 1FF平面平面ADE.ADE.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)锳BC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱，是直三棱柱，所以所以CCCC1 1平面平面ABCABC，1 1分分又又ADAD平面平面ABCABC，所以，所以CCCC1 1ADAD， 2 2分分又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳DDEADDE,CC,CC1 1,DE,DE平面平面BCCBCC1 1B B1 1,CC,CC1 1DE=E,DE=E,所以所以ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1， 4 4分分又又ADAD平面平面ADE,ADE,所以平面所以平面ADEADE平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .6 6分分(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)锳 A1 1B B1 1=A=A1 1C C1 1,F,F為為B B1 1C C1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以A A1 1FBFB1 1C C1 1. .因?yàn)橐驗(yàn)镃CCC1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1, ,且且A A1 1F F平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以所以CCCC1 1AA1 1F F，8 8分分又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃CCC1 1,B,B1 1C C1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1，CCCC1 1BB1 1C C1 1=C=C1 1, ,所以所以A A1 1FF平面平面BCCBCC1 1B B1 1， 1010分分由由(1)(1)知知ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以A A1 1FADFAD. .1212分分又又ADAD平面平面ADE,AADE,A1 1F F 平面平面ADEADE，所以所以A A1 1FF平面平面ADE.ADE.1414分分【失分警示【失分警示】( (下文下文見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程) )1.(20131.(2013南京模擬南京模擬) )已知已知,為平面，為平面，m m，n n為直線，下列命為直線，下列命題：題：若若mn,nmn,n, ,則則mm; ;若若m,mm,m，則，則; ;若若=n,m,m=n,m,m, ,則則mnmn. .其中是真命題的有其中是真命題的有_(_(填寫所有正確命題的序號(hào)填寫所有正確命題的序號(hào)).).【解析【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤.mn,n.mn,n，則，則mm或或m m. .正確正確. .垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. .正確正確. .如圖，過(guò)如圖，過(guò)m m作平面作平面,=a,a,=a,a ，則由，則由mm知知mama, ,又又m,am,a. .又又a a,=n,=n,anan, ,故故mnmn. .答案：答案：2.(20132.(2013蘇州模擬蘇州模擬) )已知兩條不同的直線已知兩條不同的直線m m，n n，兩個(gè)不同的平，兩個(gè)不同的平面面，則下列命題中的真命題是，則下列命題中的真命題是_(_(填序號(hào)填序號(hào)).).若若mm，nn，則，則mnmn若若mm，nn，則，則mnmn若若mm，nn，則，則mnmn若若mm，nn，則，則mnmn【解析【解析】由由m,m,可得可得mm或或m m，又，又nn，故，故mnmn，即，即正確；如圖正確；如圖(1)(1)，m,n,m,n, ,但但mnmn，故故錯(cuò)；如圖錯(cuò)；如圖(2)(2)知知錯(cuò)；如圖錯(cuò)；如圖(3)(3)正方體中，正方體中，m,nm,n, ,，但，但m,nm,n相交，故相交，故錯(cuò)錯(cuò). .答案：答案：3.(20133.(2013宿遷模擬宿遷模擬) )若若m m，n n，l是互不重合的直線，是互不重合的直線，是互不重合的平面，給出下列命題：是互不重合的平面，給出下列命題：若若,=m,mn,=m,mn，則，則nn或或nn；若若,=m,=m,=n,=n,則則mnmn；若若m m不垂直于不垂直于,則則m m不可能垂直于不可能垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；若若=m,mn=m,mn, ,且且n n ,n,n ，則，則nn且且nn；若若=m,=n,=m,=n,= =l，且，且, ,則則mn,mmn,ml,nnl, ,其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是_._.【解析【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如圖如圖(1)(1)所示所示, ,=m,mn=m,mn, ,但但n n與與,都不垂直都不垂直. .正確正確. .錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如圖如圖(1)(1)所示所示m m與與不垂直，但不垂直，但m m與與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直. .正確正確. .正確正確. .如圖如圖(2)(2)所示，所示，, ,=m,m=m,m, ,同理可證同理可證n,n,l, ,mn,mmn,ml,n,nl. .答案：答案：4.(20124.(2012天津高考天津高考) )如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形是矩形,ADPD,BC=1,PC= PD=CD=2.,ADPD,BC=1,PC= PD=CD=2.(1)(1)求異面直線求異面直線PAPA與與BCBC所成角的正切值所成角的正切值. .(2)(2)證明平面證明平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD.(3)(3)求直線求直線PBPB與平面與平面ABCDABCD所成角的正弦值所成角的正弦值. .2 3,【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)PAD(1)PAD即是異面直線所成的角即是異面直線所成的角( (或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角).).(2)(2)證明證明ADAD平面平面PDC.PDC.(3)(3)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作平面作平面ABCDABCD的垂線，垂足設(shè)為點(diǎn)的垂線，垂足設(shè)為點(diǎn)E E，解直角三角形，解直角三角形PEB.PEB.【解析【解析】(1)(1)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，因?yàn)榈酌嬉驗(yàn)榈酌鍭BCDABCD是矩形，所以是矩形，所以AD=BCAD=BC且且ADBC.ADBC.故故PADPAD為異面直線為異面直線PAPA與與BCBC所成的角所成的角( (或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角).).在在RtRtPDAPDA中，中，tanPADtanPAD= =2.= =2.所以，異面直線所以，異面直線PAPA與與BCBC所成角的正切值為所成角的正切值為2.2.PDAD(2)(2)由于底面由于底面ABCDABCD是矩形，故是矩形，故ADCD.ADCD.又由于又由于ADPD,CDPD=D,ADPD,CDPD=D,因此因此ADAD平面平面PDCPDC，而，而ADAD平面平面ABCDABCD，所以平面所以平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD.(3)(3)在平面在平面PDCPDC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P P作作PECDPECD交直線交直線CDCD于點(diǎn)于點(diǎn)E E，連結(jié)，連結(jié)EB.EB.由由于平面于平面PDCPDC平面平面ABCDABCD，而直線，而直線CDCD是平面是平面PDCPDC與平面與平面ABCDABCD的交線的交線. .故故PEPE平面平面ABCDABCD，由此得，由此得PBEPBE為直線為直線PBPB與平面與平面ABCDABCD所成的角所成的角. .在在PDCPDC中，由于中，由于PD=CD=2,PC= ,PD=CD=2,PC= ,可得可得PCD=30PCD=30, ,在在RtRtPECPEC中，中，PE=PCsinPE=PCsin 30 30= =由由ADBC,ADADBC,AD平面平面PDC,PDC,得得BCBC平面平面PDC,PDC,因此因此BCPC,BCPC,在在RtRtPCBPCB中，中，在在RtRtPEBPEB中，中，sinPBEsinPBE= =2 33,22PBPCBC13,PE39.PB131.1.如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，且底面各邊都相等，且底面各邊都相等，M M是是PCPC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M M滿足滿足_時(shí)，時(shí)，平面平面MBDMBD平面平面PCD.(PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可) )【解析【解析】由由PABDPABD，ACBDACBD可得可得BDBD平面平面PACPAC，所以，所以BDPC.BDPC.所所以當(dāng)以當(dāng)DMPC(DMPC(或或BMPC)BMPC)時(shí)，即有時(shí)，即有PCPC平面平面MBDMBD，而，而PCPC平面平面PCDPCD，平面平面MBDMBD平面平面PCD.PCD.答案答案: :DMPC(DMPC(或或BMPCBMPC等等) )2.2.如圖，在長(zhǎng)方形如圖，在長(zhǎng)方形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=1BC=1，E E為為DCDC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn) F為線為線段段EC(EC(端點(diǎn)除外端點(diǎn)除外) )上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn). .現(xiàn)將現(xiàn)將AFDAFD沿沿AFAF折起，使平面折起，使平面ABDABD平面平面ABC.ABC.在平面在平面ABDABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)內(nèi)過(guò)點(diǎn)D D作作DKABDKAB，K K為垂足為垂足. .設(shè)設(shè)AK=t,AK=t,則則t t的的取值范圍是取值范圍是_._.【解析【解析】連結(jié)連結(jié)KFKF，易證，易證DKKF.DKKF.設(shè)設(shè)EF=m,EF=m,則則0m1.0m1.在在RtRtDKFDKF中，中，DF=1+mDF=1+m，由勾股定理得由勾股定理得DFDF2 2=DK=DK2 2+KF+KF2 2，即即(1+m)(1+m)2 2=1-t=1-t2 2+1+(1+m-t)+1+(1+m-t)2 2, ,t= .t= .又又0m1,0m1,故故 t1.t1.答案答案: :( ( ，1)1)2222DK1t ,KF11mt,11m1212