高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 理

第二節(jié)等差數(shù)列及其前第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和項(xiàng)和第五章數(shù)第五章數(shù) 列列考考 綱綱 要要 求求1理解等差數(shù)列的概念理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理一、等差數(shù)列的概念一、等差數(shù)列的概念1定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)，那么這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，記作數(shù)差都是同一個(gè)常數(shù)，那么這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，記作數(shù)列列 ，首項(xiàng)記作，首項(xiàng)記作a1，公差記作，公差記作d.2符號表示：符號表示： an1and(nN*)二、通項(xiàng)公式二、通項(xiàng)公式若數(shù)列若數(shù)列 為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，則ana1(n1)dam(nm)d.三、前三、前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式Sn na1 . na na12nn aa12n nd 四、等差中項(xiàng)四、等差中項(xiàng)如果三數(shù)如果三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則A叫做叫做a和和b的等差中項(xiàng)，即的等差中項(xiàng)，即A .五、等差數(shù)列的判定方法五、等差數(shù)列的判定方法1定義法：定義法： an1and (常數(shù)常數(shù))(nN*) 是等差數(shù)列是等差數(shù)列2中項(xiàng)公式法中項(xiàng)公式法 : 2an1anan2(nN*) 是等差數(shù)是等差數(shù)列列3通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式法： anknb(k，b是常數(shù)是常數(shù))(nN*) 是等是等差數(shù)列差數(shù)列4前前n項(xiàng)和公式法：項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B是常數(shù)是常數(shù))(nN*) 是等差數(shù)列是等差數(shù)列2a b na na na na六、用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識等差數(shù)列六、用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識等差數(shù)列1andna1d，d0時(shí)是關(guān)于時(shí)是關(guān)于n的一次函數(shù)的一次函數(shù)2Sn n2 ，d0時(shí)是關(guān)于時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為零的常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)的二次函數(shù)七、等差數(shù)列的重要性質(zhì)七、等差數(shù)列的重要性質(zhì)1在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，若中，若pqmn，則有，則有apaqaman；若；若2mpq，則有，則有2amapaq(p，q，m，nN*，簡稱，簡稱為下標(biāo)和性質(zhì)為下標(biāo)和性質(zhì))2在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等差數(shù)列，公差為為等差數(shù)列，公差為kd.3若數(shù)列若數(shù)列 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，Sn是其前是其前n項(xiàng)的和，項(xiàng)的和，kN*，那，那么么Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差數(shù)列，公差為也成等差數(shù)列，公差為k2d.2d12dan na na na基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1(2012重慶卷重慶卷)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a21，a45則則an的前的前5項(xiàng)和項(xiàng)和S5()A7B15C20D25解析：解析：a21，a45，a1a5a2a46.數(shù)列的數(shù)列的前前5項(xiàng)和為項(xiàng)和為S5 615.故故選選B.答案：答案：B1552aa2452aa522(2012大連、沈陽聯(lián)考大連、沈陽聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，若若a2，a4是方程是方程x2x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則S5的值是的值是()A. B5C D5 5252解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)閍2a41，所以，所以S5 .故選故選A.答案：答案：A1552aa2452aa523(2012湖南師大附中模擬湖南師大附中模擬)各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列an中，中，2a3 2a110，則，則a7的值為的值為_27a解析：解析：由由2a3 2a110，得，得 2(a3a11) 04a7 0，a7(4a7)0，a70，a74.答案：答案：427a27a27a4(2012南京市二模南京市二模)設(shè)設(shè)Sn是等差數(shù)列是等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)項(xiàng)和若和若 ，則，則 _.36SS1367SS考考 點(diǎn)點(diǎn) 探探 究究考點(diǎn)一考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例【例1】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列an中，中，a11，a33.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前k項(xiàng)和項(xiàng)和Sk35，求，求k的值的值思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：先運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而先運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式及前求得通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，再將項(xiàng)和公式，再將n用用k代換，得到關(guān)于代換，得到關(guān)于k的的方程，解方程即可求得項(xiàng)數(shù)方程，解方程即可求得項(xiàng)數(shù)k.解析：解析：(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為d，則，則ana1(n1)d.由由 a11，a33可得可得12d3，解得，解得d2.從而從而an1(n1)(2)32n.(2)由由(1)可知可知an32n，所以所以Sn 2nn2.由由Sk35可得可得2kk235，即即k22k350，解得，解得k7或或k5.又又kN*，故，故k7為所求為所求1322nn 點(diǎn)評：點(diǎn)評：解決等差數(shù)列的問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：解決等差數(shù)列的問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：(1)基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和和d的方程；的方程；(2)巧妙運(yùn)用巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡等差數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡變式探究變式探究1(1)(2012唐山市三模唐山市三模)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，已，已知知S721，S11121，則該數(shù)列的公差，則該數(shù)列的公差d()A5 B4 C3 D2(2)(2012江西卷江西卷)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則，則a5b5_.解析解析：(1)依題意有依題意有7a121d21,11a155d121，解解得得a19，d4.故選故選B.(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為的公差分別為d，b，則由，則由a3b321，得，得a1b12(bd)21，即，即2(bd)21714，bd7.a5b5a1b14(bd)74735.答案：答案：(1)B(2)35考點(diǎn)二考點(diǎn)二等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用【例【例2】(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a4a6a8a10a12120，則，則2a10a12的值為的值為_ (2)已知數(shù)列已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若a42a6a812，則該，則該數(shù)列前數(shù)列前11項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為_解析：解析：(1)a4a12a6a102a8，由由a4a6a8a10a12120得得5a8120，a824，于是，于是2a10a122(a82d)(a84d)a824.(2)由由a42a6a812，得得4a612，a63.S11 11333.答案答案：(1)24(2)33111112aa611 22a變式探究變式探究2(1)(2012汕頭市教學(xué)質(zhì)量測評汕頭市教學(xué)質(zhì)量測評)已知正項(xiàng)組成的等差數(shù)已知正項(xiàng)組成的等差數(shù)列列an的前的前20項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100，那么，那么a6a15的最大值為的最大值為()A25 B50 C100 D. 不存在不存在(2)(2012凱里市二模凱里市二模)等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，an0，且，且a1a2a1a4a2a5a4a536，則，則a3_.點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題根據(jù)題設(shè)條件巧妙運(yùn)用了等差數(shù)列的下標(biāo)和本題根據(jù)題設(shè)條件巧妙運(yùn)用了等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，通項(xiàng)公式的變式，使解答過程很簡捷性質(zhì)，通項(xiàng)公式的變式，使解答過程很簡捷考點(diǎn)三考點(diǎn)三求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的各種方法項(xiàng)和的各種方法【例【例3】(1)已知已知an為等差數(shù)列，前為等差數(shù)列，前10項(xiàng)的和項(xiàng)的和S10100，前前100項(xiàng)的和項(xiàng)的和S10010，求前，求前110項(xiàng)的和項(xiàng)的和S110.(2)數(shù)列數(shù)列an中，中，a18，a42，且滿足，且滿足an22an1an0，nN*.求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)；的通項(xiàng)；設(shè)設(shè)Sn|a1|a2|an|，求，求Sn.思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：對于題對于題(1)，常用的思路有三條思路一：運(yùn)，常用的思路有三條思路一：運(yùn)用方程的思想，將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項(xiàng)用方程的思想，將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項(xiàng)a1與公差與公差d的兩個(gè)方程；思路二：運(yùn)用前的兩個(gè)方程；思路二：運(yùn)用前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 SnAn2Bn去求去求(先求出待定系數(shù)先求出待定系數(shù)A，B)；思路三：巧妙運(yùn)用前；思路三：巧妙運(yùn)用前n項(xiàng)和、等差數(shù)項(xiàng)和、等差數(shù)列的性質(zhì)列的性質(zhì)(下標(biāo)和的性質(zhì)下標(biāo)和的性質(zhì))，可化繁為簡，可化繁為簡對于題對于題(2)，易知，易知an為等差數(shù)列，先求出通項(xiàng)為等差數(shù)列，先求出通項(xiàng)an，然后再，然后再由通項(xiàng)由通項(xiàng)an判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，進(jìn)而可將判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，進(jìn)而可將 的絕對的絕對值符號去掉，將求數(shù)列值符號去掉，將求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列 的的前前n項(xiàng)和的問題項(xiàng)和的問題nan|a | na(2)由由an22an1an0，得得2an1anan2，an1anan2an1，所以數(shù)列所以數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，d 2，an2n10，nN*.4141aa點(diǎn)評：點(diǎn)評：(1)解決等差解決等差(比比)數(shù)列的問題時(shí)，通常考慮兩類方數(shù)列的問題時(shí)，通常考慮兩類方法：法：基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和和d(q)的方程；的方程；巧妙運(yùn)用等差巧妙運(yùn)用等差(比比)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)(如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)的性質(zhì)、和的性質(zhì))，可化繁為簡，可化繁為簡(2)數(shù)列數(shù)列 求和問題先由求和問題先由an的正負(fù)去掉絕對值符號，的正負(fù)去掉絕對值符號，然后分類討論轉(zhuǎn)化成然后分類討論轉(zhuǎn)化成an的求和問題的求和問題n|a |變式探究變式探究3(1)(2012海南嘉積中學(xué)期末海南嘉積中學(xué)期末)等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an2n1，其前，其前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前10項(xiàng)和為項(xiàng)和為()A. 70 B. 75 C. 100 D. 120(2)(2012南昌市調(diào)研南昌市調(diào)研)等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是數(shù)列的前是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列正確的是項(xiàng)的和，則下列正確的是 ()AS1，S2，S3均小于均小于0, S4，S5，S6，均大于均大于0 BS1，S2，S5均小于均小于0, S6，S7，均大于均大于0CS1，S2，S9均小于均小于0, S10，S11，均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13，均大于均大于0nSn解析：解析：(1)等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an2n1，Snn22n. n2，3451275.故選故選B.nSn答案：答案：(1)B(2)C考點(diǎn)四考點(diǎn)四等差數(shù)列的證明等差數(shù)列的證明點(diǎn)評：點(diǎn)評：判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：(1)定義法：定義法：an1and(常數(shù)常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：中項(xiàng)公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)是等差數(shù)列列(3)通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式法：anknb(k，b是常數(shù)是常數(shù))(nN*)an是等是等差數(shù)列差數(shù)列(4)前前n項(xiàng)和公式法：項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B是常數(shù)是常數(shù))(nN*) an是等差數(shù)列是等差數(shù)列變式探究變式探究考點(diǎn)五考點(diǎn)五等差數(shù)列中的最值問題等差數(shù)列中的最值問題【例【例5】(2012北京市東城區(qū)期末北京市東城區(qū)期末)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a5a74，a6a82，則數(shù)列，則數(shù)列an的公差等于的公差等于_；其前；其前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最大值為的最大值為_(法三法三)將已知兩式相減，得將已知兩式相減，得2d4(2)，d3，又由中項(xiàng)公式得又由中項(xiàng)公式得a620，a710，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性知，該數(shù)列的前性知，該數(shù)列的前6項(xiàng)都大于項(xiàng)都大于0，從第，從第7項(xiàng)起都是負(fù)值，項(xiàng)起都是負(fù)值，前前6項(xiàng)和最大，又可得項(xiàng)和最大，又可得a117，S6 57. 1662aa點(diǎn)評：點(diǎn)評：由于公差不等于零的等差數(shù)列不是單調(diào)遞增的就由于公差不等于零的等差數(shù)列不是單調(diào)遞增的就是單調(diào)遞減的，求其前是單調(diào)遞減的，求其前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，可以建立的最值時(shí)，可以建立Sn關(guān)于項(xiàng)關(guān)于項(xiàng)數(shù)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系，用二次函數(shù)的方法求解，如法一；也可以通的函數(shù)關(guān)系，用二次函數(shù)的方法求解，如法一；也可以通過數(shù)列中的項(xiàng)的正負(fù)變化過數(shù)列中的項(xiàng)的正負(fù)變化(也要考慮可能等于零的項(xiàng)也要考慮可能等于零的項(xiàng))確定何時(shí)確定何時(shí)Sn取得最值，如法二、法三取得最值，如法二、法三變式探究變式探究5. (2012廈門市模擬廈門市模擬)設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，若，若S410，S515，則，則a4的最大值為的最大值為_考點(diǎn)六考點(diǎn)六與等差數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新問題與等差數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新問題變式探究變式探究6(2012上海五校聯(lián)合調(diào)研上海五校聯(lián)合調(diào)研)對于實(shí)數(shù)對于實(shí)數(shù)x，用，用x表示不超表示不超過過x的最大整數(shù)，如的最大整數(shù)，如0.980，1.21.若若nN*，an ，Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，則項(xiàng)和，則S4n等于等于()A2n2n B2n22n C2n2n D2n22n4n解析：解析：當(dāng)當(dāng)n1,2,3時(shí)，數(shù)列的前時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)都為項(xiàng)都為0；當(dāng)；當(dāng)n4,5,6,7時(shí)，時(shí)，數(shù)列的第數(shù)列的第4到第到第7項(xiàng)都為項(xiàng)都為1；當(dāng)；當(dāng)n8,9,10,11時(shí)，數(shù)列的第時(shí)，數(shù)列的第8到第到第11項(xiàng)都為項(xiàng)都為2；以此類推，；以此類推，a4n4a4n3a4n2a4n1n1，a4nn，S4n30412(n1)n，即，即S4n2n2n.故選故選A.答案：答案：A課時(shí)升華課時(shí)升華 1理解等差數(shù)列的定義與特征確定等差數(shù)列通項(xiàng)、前理解等差數(shù)列的定義與特征確定等差數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和解析式的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)項(xiàng)和解析式的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)a1和公差和公差d. 2通項(xiàng)的拓展：通項(xiàng)的拓展：anam(nm)d. 3等差數(shù)列中的巧妙設(shè)元：三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為等差數(shù)列中的巧妙設(shè)元：三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為ad，a，ad；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d.4等差數(shù)列等差數(shù)列an中，若能靈活運(yùn)用以下性質(zhì)中，若能靈活運(yùn)用以下性質(zhì)(即下標(biāo)和性即下標(biāo)和性質(zhì)質(zhì))：“若若pqmn，則有，則有apaqaman；若；若2mpq，則有則有2amapaq(p，q，m，nN*)”，可使解題過程簡潔明，可使解題過程簡潔明快快5方程思想的應(yīng)用：利用公式列方程方程思想的應(yīng)用：利用公式列方程(組組)，解決，解決“知三求知三求二二”(即知道即知道an，a1，n，d，Sn這五個(gè)量中的任意三個(gè)就可以求這五個(gè)量中的任意三個(gè)就可以求出其余的兩個(gè)出其余的兩個(gè))問題，要求選用公式要恰當(dāng)問題，要求選用公式要恰當(dāng)特別要注意運(yùn)用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法，揭示等差數(shù)列特別要注意運(yùn)用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法，揭示等差數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系的特征及基本量之間的關(guān)系.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2(2012湖北卷湖北卷)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為前三項(xiàng)的和為3，前，前三項(xiàng)的積為三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或或an43(n1)3n7.故故an3n5或或an3n7.記數(shù)列記數(shù)列|an|的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，S2|a1|a2|5；當(dāng)當(dāng)n3時(shí)，時(shí)，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)高考預(yù)測高考預(yù)測1已知已知an為等差數(shù)列，其公差為為等差數(shù)列，其公差為2，且，且a7是是a3與與a9的的等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)，Sn為為an的前的前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，nN*，則，則S10的值為的值為()A110 B. 90 C. 90 D. 110解析：解析：a7是是a3 與與a9的等比中項(xiàng)，公差為的等比中項(xiàng)，公差為2，所以，所以 a3a9，所以，所以 (a78)(a74)，解得，解得 a78，所以，所以a120，所以所以S10102010 (2)110.故選故選D.答案：答案：D27a27a92