高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題8 第39練 隨機(jī)變量及其分布列課件 理

題型分析高考展望隨機(jī)變量及其分布列是高考的一個(gè)必考熱點(diǎn)，主要包括離散型隨機(jī)變量及其分布列，期望與方差，二項(xiàng)分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對(duì)本部分知識(shí)的考查，一是以實(shí)際生活為背景求解離散型隨機(jī)變量的分布列和期望；二是獨(dú)立事件概率的求解；三是考查二項(xiàng)分布.?？碱}型精析高考題型精練題型一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率題型二離散型隨機(jī)變量的期望和方差題型三二項(xiàng)分布問題?？碱}型精析題型一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率例1(1)(2014課標(biāo)全國(guó))某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45解析已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，答案A(2)(2014山東)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為 ，在D上的概率為 ；對(duì)落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為 ，在D上的概率為 .假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；解記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，記Bj為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為j分” (j0,1,3)，記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.解由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)可得隨機(jī)變量的分布列為點(diǎn)評(píng)(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A) .(3)相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解.變式訓(xùn)練1(1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()B(2)(2014陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg) 300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg) 610概率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；解設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，利潤(rùn)產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格成本.X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率.解 設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為所以，這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.題型二離散型隨機(jī)變量的期望和方差例2(2015山東)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；解個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).隨機(jī)變量X的取值為：0，1,1，所以X的分布列為點(diǎn)評(píng)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對(duì)應(yīng).變式訓(xùn)練2(2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；解設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.題型三二項(xiàng)分布問題例3(2014湖北)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；由二項(xiàng)分布，得在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40X120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？解記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬元).安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 00015 000.安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).點(diǎn)評(píng)應(yīng)用公式Pn(k)C pk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解X的可能的取值為0,1,2,3.X的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練解析設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為ABC，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.12345678910高考題型精練12345678910答案A高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910解析設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對(duì)立事件，答案A高考題型精練3.先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()12345678910高考題型精練12345678910事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件，高考題型精練事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，12345678910答案B高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練123456789105.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率為_.高考題型精練12345678910解析由題設(shè)，分兩類情況：第1個(gè)正確，第2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，此時(shí)概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.答案0.128高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910高考題型精練(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.12345678910高考題型精練(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)12345678910(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)高考題型精練P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)12345678910P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)高考題型精練故X的分布列為12345678910高考題型精練8.已知甲箱中只放有x個(gè)紅球與y個(gè)白球(x，y0，且xy6)，乙箱中只放有2個(gè)紅球、1個(gè)白球與1個(gè)黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個(gè)球，從乙箱中任取1個(gè)球.(1)記取出的3個(gè)顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時(shí)x，y的值；12345678910高考題型精練當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)P取得最大值時(shí)，xy3.12345678910高考題型精練(2)當(dāng)x2時(shí)，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的期望E().解當(dāng)x2時(shí)，即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球，所以的所有可能取值為0,1,2,3.12345678910高考題型精練所以，紅球個(gè)數(shù)的分布列為12345678910高考題型精練9.(2014福建)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.12345678910高考題型精練解設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.12345678910依題意，得X的所有可能取值為20,60.高考題型精練即X的分布列為12345678910高考題型精練(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.12345678910高考題型精練12345678910解根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，高考題型精練12345678910因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.高考題型精練12345678910以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為高考題型精練12345678910對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為高考題型精練12345678910由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.高考題型精練10.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；解記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.12345678910高考題型精練(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解X的可能取值為200,300,400.12345678910高考題型精練P(X400)1P(X200)P(X300)12345678910故X的分布列為