創(chuàng)新設(shè)計(jì)（浙江專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率與隨機(jī)變量及其分布 第2講 隨機(jī)變量及其分布列課件

第2講隨機(jī)變量及其分布列高考定位概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”，多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn)，?？疾楠?dú)立事件的概率，超幾何分布和二項(xiàng)分布的期望等.真真 題題 感感 悟悟(2016全國卷)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n19時(shí)，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.當(dāng)n20時(shí)，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合1.條件概率2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B).3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)4.超幾何分布5.離散型隨機(jī)變量的分布列x1x2x3xiPp1p2p3pi為離散型隨機(jī)變量的分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列具有兩個性質(zhì)：pi0；p1p2pi1(i1，2，3，).(3)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機(jī)變量的方差.(4)性質(zhì)E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)；X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p).熱點(diǎn)一相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型 微題型微題型1相互獨(dú)立事件的概率相互獨(dú)立事件的概率(1)獲賠的概率；(2)獲賠金額(單位：元)的分布列.綜上知，的分布列為探究提高對于復(fù)雜事件的概率，要先辨析事件的構(gòu)成，理清各事件之間的關(guān)系，并依據(jù)互斥事件概率的和，或者相互獨(dú)立事件概率的積的公式列出關(guān)系式；含“至多”“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解；并注意正難則反思想的應(yīng)用(即題目較難的也可從對立事件的角度考慮).微題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率(1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若走L2路線，求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(3)按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.探究提高在解題時(shí)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：(1)在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；(2)在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).熱點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列微題型微題型1利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率求分布列利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率求分布列(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望.可得隨機(jī)變量X的分布列為：探究提高解答這類問題使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確，或者用表格描述，使得問題描述有條理，不會有遺漏，也不會重復(fù)；分析清楚隨機(jī)變量取值對應(yīng)的事件是求解分布列的關(guān)鍵.微題型微題型2二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計(jì)得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：微題型微題型3超幾何分布超幾何分布【例23】 (2016合肥二模)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.探究提高抽取的4人中，運(yùn)動員可能為種子選手或一般運(yùn)動員，并且只能是這兩種情況之一，符合超幾何概型的特征，故可利用超幾何分布求概率.【訓(xùn)練2】 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.1.概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)發(fā)生時(shí)間不同：在P(A|B)中，事件A，B的發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生.(2)樣本空間不同：在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為總的樣本空間，因而有P(A|B)P(AB).2.求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布XB(n，p)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.