假設(shè)檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷.ppt

假設(shè)檢驗(yàn)與重要概率分布 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一次小組展示 一 假設(shè)檢驗(yàn) 1 定義 根據(jù)樣本信息判斷總體分布是否具有指定特征 這個(gè)過(guò)程就叫做假設(shè)檢驗(yàn) 2 方法 運(yùn)用 反證法 的思想 即先假定假設(shè)成立 然后根據(jù)某種判別準(zhǔn)則看能得出什么樣的結(jié)果 如果得出合理結(jié)果 則自然認(rèn)為假設(shè)成立 如果得出不合理結(jié)果 則認(rèn)為假設(shè)不成立 在假設(shè)檢驗(yàn)中 我們首先對(duì)總體參數(shù)做一個(gè)嘗試性的假設(shè) 該嘗試性的假設(shè)被稱為原假設(shè) 記作H0 然后 定義另一個(gè)與原假設(shè)內(nèi)容完全相反的假設(shè) 記作H 稱之為備擇假設(shè) 假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)這兩個(gè)對(duì)立的假設(shè)H0和H 進(jìn)行檢驗(yàn) 一般來(lái)說(shuō) 假設(shè)檢驗(yàn)是拒絕H0 從而證明H 正確 1 等號(hào)只能位于原假設(shè)H0中 2 單側(cè)檢驗(yàn)方向的設(shè)定 決定了拒絕規(guī)則的選擇 3 一般先設(shè)定備擇假設(shè)H 4 H0與H 應(yīng)保證相互獨(dú)立且完備 注意事項(xiàng) 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤 表格中的第一行說(shuō)明 當(dāng)做出接受H0結(jié)論時(shí)所可能發(fā)生的情況 這時(shí) 如果H0是真的 則該結(jié)論正確 如果H 是真的 那么我們發(fā)生了第二類錯(cuò)誤 即當(dāng)H0為假時(shí)我們卻接受了H0 表格中的第二行說(shuō)明 當(dāng)做出拒絕H0結(jié)論時(shí)所可能發(fā)生的情況 這是 如果H0是真的 那么我們發(fā)生了第一類錯(cuò)誤 即當(dāng)H0是真的時(shí)候我們卻拒絕了H0 如果H 是真的 則拒絕H0是正確的 當(dāng)原假設(shè)以等式的形式為真時(shí) 犯第一類錯(cuò)誤的概率被稱為檢驗(yàn)的顯著性水平 用希臘字母 表示顯著性水平 一般取 為0 05或0 01 通過(guò)選擇 控制了犯第一類錯(cuò)誤的概率 一般的 我們將控制第一類錯(cuò)誤的假設(shè)檢驗(yàn)叫做顯著性檢驗(yàn) 3 原假設(shè)和備擇假設(shè)的建立三種形式 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)主要是雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn) 雙側(cè)檢驗(yàn) 左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn) 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 樣本均值為 根據(jù)單個(gè)總體的抽樣分布結(jié)論 選用統(tǒng)計(jì)量 選用統(tǒng)計(jì)量 4 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 5 P 值法 P 值是一個(gè)概率值 衡量樣本對(duì)原假設(shè)的支持程度 P 越小說(shuō)明對(duì)原假設(shè)的支持程度越低 小的P 值表明在假設(shè)H0為真時(shí) 統(tǒng)計(jì)量的值時(shí)異常的 以下側(cè)檢驗(yàn)為例 方法 首先根據(jù)題目中所給條件計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 然后通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得出Z下側(cè)的面積 即P 值 接著找到給定的顯著性水平 最后如果P 值 則拒絕H0 5 臨界值法 臨界值導(dǎo)致拒絕原假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的最大值 一般的 臨界值是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)面積對(duì)應(yīng)于 0 01的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值 以下側(cè)檢驗(yàn)為例 方法 首先根據(jù)題目中所給條件計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 然后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)面積對(duì)應(yīng)于 的Z值 即臨界值 最后如果所求Z值 Z 則拒絕H0 假設(shè)檢驗(yàn)的步驟 1 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)2 指定檢驗(yàn)中的顯著性水平3 搜集樣本數(shù)據(jù)并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值P 值法4 利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出P 值5 如果P 值 則拒絕H0臨界值法4 顯著性水平確定臨界值以及拒絕規(guī)則5 利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值及拒絕規(guī)則確定是否拒絕H0 對(duì)于上側(cè)檢驗(yàn) 和雙側(cè)檢驗(yàn)的P 值法和臨界值法運(yùn)用的原理是相同的 這里不一一列舉 總體均值的檢驗(yàn) 例 某電子元器件生產(chǎn)廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè) 使用壽命不低于2000小時(shí)為合格品 該電子元器件的使用壽命服從正態(tài)分別 標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí) 從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了120個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè) 測(cè)得樣本均值為1960小時(shí) 在的顯著性水平下檢驗(yàn)該批電子元器件的質(zhì)量是否符合要求 解 由題意總體服從正態(tài)分布 樣本均值 樣本容量 4 382 拒絕域 2 33 所以拒絕原假設(shè) 即電子元件的質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn) 1 2 3 4 二 重要的概率分布復(fù)習(xí) 一 正態(tài)分布 二 t分布 三 x 分布 四 F分布 一 正態(tài)分布 1 簡(jiǎn)介 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言 正態(tài)分布是最重要的一種概率分布 其形狀似 鐘型 經(jīng)驗(yàn)表明 對(duì)于其值依賴于眾多微小因素且每一因素均產(chǎn)生微小的或正或負(fù)影響的連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō) 正態(tài)分布是一個(gè)相當(dāng)好的描述模型 如身高 體重 考試成績(jī)等 表示隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 符號(hào) 表示隨機(jī)變量服從什么樣的分布 N表示正態(tài)分布 為正態(tài)分布的 總體 均值 或期望 和方差 X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 可在區(qū)間 內(nèi)任意取值 2 2 68 近似 3 3 95 近似 99 7 近似 2 正態(tài)曲線下的區(qū)域示意圖 正態(tài)分布曲線以均值 為中心 對(duì)稱分布 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈中間高 兩邊低 在均值 處達(dá)到最高 向兩邊逐漸降低 即隨機(jī)變量在遠(yuǎn)離均值處取值的概率逐漸變小 正態(tài)曲線下的面積約有68 位于 兩值之間 約有95 面積位于 2 之間 約有99 7 的面積位于 3 之間 這些區(qū)域可用作概率的度量 即經(jīng)驗(yàn)法則 3 性質(zhì) 正態(tài)分布可由兩個(gè)參數(shù) 來(lái)描述 即一旦知道 的值 就可以根據(jù)附錄表查到隨機(jī)變量X落于某一區(qū)間的概率值 兩個(gè) 或多個(gè) 正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布 該性質(zhì)很重要 解釋如下 正態(tài)分布的偏度為0 峰度為3 如果變量X的均值為 方差為 定義一個(gè)新的變量Z 則根據(jù)性質(zhì)5 變量Z的均值為0 方差為1 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 我們稱之為單位或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 用符號(hào)表示為 X N 0 1 任一給定均值和方差的正態(tài)變量都可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 將其標(biāo)準(zhǔn)化可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算 4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 二 t分布 1 樣本均值的抽樣分布或概率分布樣本均值是總體均值的估計(jì)量 但是由于樣本均值是依靠某一給定樣本而定 因此它的值會(huì)因隨機(jī)樣本的不同而變化 由此 我們將樣本均值看作隨機(jī)變量 在樣本是隨機(jī)抽取得到的條件下 求樣本均值的概率密度函數(shù) 2 理論依據(jù) 若X1 X2 X3 Xn是來(lái)自于均值為 方差為 的正態(tài)總體的一隨機(jī)樣本 則樣本均值也服從正態(tài)分布 其均值為 方差為 n 即 也就是說(shuō) 樣本均值的抽樣 或概率 分布 同樣服從正態(tài)分布 樣本均值概率分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 將樣本均值的概率密度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后 可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中計(jì)算某一給定樣本均值大于或小于給定的總體均值的概率 3 中心極限定理 如果X1 X2 Xn是來(lái)自 均值為 方差為 任一總體的隨機(jī)樣本 隨著樣本容量的無(wú)限增大 其樣本均值趨于正態(tài)分布 其均值為 方差為 n 4 假定已知 和 的估計(jì)量S 則可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 代替總體標(biāo)準(zhǔn)差 得到一個(gè)新的變量t 根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論得知 變量t服從自由度為 n 1 的t分布 注意 在這里 自由度為 n 1 而不是n 結(jié)論 從正態(tài)總體中抽取隨機(jī)樣本 若該正態(tài)總體的均值為 但方差 用其估計(jì)量S 來(lái)代替 則其樣本均值服從t分布 通常用符號(hào)tk表示 其中k表示自由度 k 120 正態(tài) K 20 K 5 0 不同自由度下的t分布 5 性質(zhì) t分布與正態(tài)分布相類似 具有對(duì)稱性 t分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均值相同 為0 但方差為k n 2 由此 在求t分布的方差時(shí)定義自由度必須大于2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方差等于1 因此 t分布方差總大于標(biāo)準(zhǔn)分布的方差 也就是說(shuō) t分布比正態(tài)分布略 胖 些 t分布與正態(tài)分布當(dāng)k增大時(shí) t分布的方差接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方差值1 當(dāng)k 10時(shí) t分布的方差為10 8 1 25 當(dāng)k 30時(shí) t分布的方差為30 28 1 07 當(dāng)k 100時(shí) t分布的方差為100 98 1 02 結(jié)論 隨著自由度的逐漸增大t分布近似于正態(tài)分布 注意 對(duì)于t分布 不要求其樣本容量很大k 30時(shí) t分布與正態(tài)分布已很近似 t分布表的使用 0 1 812 1 812 例 自由度為10 P t 1 812 P t1 812 P t 1 812 P t 1 812 0 1 0 05 0 05 例 已知20名10歲男孩的跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)為1 65m 標(biāo)準(zhǔn)差為0 2m 求出其總體平均數(shù)的95 的置信區(qū)間 三 分布 1 分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種概率分布 它與正態(tài)分布有緊密的關(guān)系 統(tǒng)計(jì)理論證明 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方服從自由度為1的 分布 用符號(hào)表示為 其中 Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 即Z N 0 1 x 的下標(biāo) 1 表示自由度 自由度是指平方和中獨(dú)立觀察值的個(gè)數(shù) 因?yàn)槲覀兛紤]的是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方 故自由度為1 現(xiàn)在令Z1 Z2 Zk為k個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 即每一個(gè)變量都是均值為0 方差為1的正態(tài)變量 現(xiàn)在對(duì)所有的變量Zs平方 則它們的平方和服從自由度為k的X 分布 即 公式里的自由度為k 因?yàn)樵谒凶兞康钠椒胶椭杏衚個(gè)獨(dú)立的觀察值 分布的幾何圖形 f 概率密度 K 2 K 5 K 10 變量的密度函數(shù) 0 性質(zhì) 與正態(tài)分布不同 分布只取正值 它是平方和的分布 并且取值范圍從0到無(wú)限大 與正態(tài)分布不同 分布是斜分布 其偏度取決于自由度的大小 自由度越小 越向右偏 但是隨著自由度的增大 逐漸呈對(duì)稱 接近于正態(tài)分布 分布的期望值為k 方差為2k k為 分布的自由度 即 分布的方差是其均值的2倍 若E1 E2分別為自由度為k1 k2的兩個(gè)相互獨(dú)立的 變量 則其和 Z1 Z2 也是一個(gè) 變量 其自由度為 k1 k2 可以證明 樣本方差與總體方差的比值與自由度 n 1 的積服從自由度為 n 1 的 分布 公式表示為 其中 為總體方差 S 為樣本方差 樣本容量為n 四 F分布 令隨機(jī)樣本X1 X2 X3 Xm來(lái)自均值為 x和方差為 x 的正態(tài)總體 其樣本容量為m 隨機(jī)樣本Y1 Y2 Y3 Yn來(lái)自均值為 y和方差為 y 的正態(tài)總體 其樣本容量為n 且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立 假設(shè)知道這兩個(gè)隨機(jī)樣本的樣本方差Sx 和Sy 兩個(gè)總體方差的估計(jì)量 定義一個(gè)新的變量F 分析F值 如果這兩個(gè)總體方差真實(shí)相等 則計(jì)算出的F值接近于1 如果兩個(gè)總體方差真實(shí)值不相等 則F值不等于1 兩總體方差相差越大 則F值越大 統(tǒng)計(jì)理論表明 如果 x y 即兩總體方差相等 則F服從分子自由度為k1 m 1 分母自由度為k2 n 1 的F分布 需要說(shuō)明一點(diǎn) 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 更準(zhǔn)確的說(shuō)法是 Sx x Sy y 服從F分布 但我們上式給出 x y 故樣本方差之比服從F分布 F分布又稱為方差比分布 通常用符號(hào)表示為 其中的雙下標(biāo)表明了分子與分母的自由度 在計(jì)算F值時(shí) 將方差大的值放在上面 故F值總是大于或等于1 性質(zhì) 與 分布類似 F分布也是斜分布 向右偏 其取值范圍也為0到無(wú)限大 見下圖 0 F F F 概率密度 F2 2 F50 50 F10 2 與 分布類似 當(dāng)自由度k1 k2逐漸增大時(shí) F分布近似于正態(tài)分布 t分布變量的平方服從分子自由度為1 分母自由度為k的F分布 即 變量與其自由度之比近似為分母自由度為m 分子自由度很大 無(wú)限大 的F變量 即 當(dāng)n 對(duì)于大容量的樣本 我們可以用 分布來(lái)代替F分布 同樣 也可用F分布代替 分布 性質(zhì)3也可以改寫為 即若分子自由度充分大 則Fm n值的m倍 等于自由度為m的 分布 例 兩個(gè)班做同樣的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)測(cè)試 其中 一班級(jí)共有學(xué)生100名 二班級(jí)共有學(xué)生150名 老師從一班級(jí)隨機(jī)抽取25個(gè)學(xué)生 從二班級(jí)隨機(jī)抽取31個(gè)學(xué)生 觀察得到兩個(gè)班級(jí)學(xué)生考試平均分?jǐn)?shù)的樣本方差分別為100和132 假設(shè)學(xué)生考試平均分?jǐn)?shù)這一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 能否認(rèn)為這兩個(gè)班級(jí)的分?jǐn)?shù)平均值同方差 分析 這兩個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)自兩個(gè)正態(tài)總體 并且相互獨(dú)立 則首先利用公式計(jì)算F值 F 132 100 1 32它服從自由度為30 24的F分布 查F分布表得當(dāng)分子自由度為30 分母自由度為24時(shí) 在顯著水平為5 時(shí) F值為1 94 比較1 94和1 31 進(jìn)一步可得出結(jié)論 兩總體同方差 四種重要的分布之間的關(guān)系 若自由度充分大 至少為30 則t分布近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 若分母自由度充分大 F值的m倍 m為分子自由度 近似自由度為m的 分布 若Z N 0 1 和 m 相互獨(dú)立 且 分布的自由度為m 則 即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量與 變量和其自由度比值的平方根之比 服從自由度為m的t分布 t分布變量的平方服從分子自由度為1 分母自由度為k的F分布 即 若自由度充分大 則 分布近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 謝謝觀賞