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信號與系統(tǒng) 武漢大學 電氣工程學院 課程介紹 教材 胡釙編著信號與系統(tǒng) 北京 中國電力出版社 2009 學時 40學時 實驗 10學時 考核 理論考試 平時成績 作業(yè) 考勤 期中測驗 實驗 作業(yè) 每章一次 學分 2 5學分 推薦參考書目 書后參考文獻鄭君理閔大鎰管致中 美 奧本海姆 學時安排 學時Cp1信號與系統(tǒng)的基本概念4Cp2連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析4Cp3連續(xù)信號的頻譜 傅里葉變換6Cp4連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析3Cp5連續(xù)時間系統(tǒng)的人復頻域分析3Cp6離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析6Cp7離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析8Cp8Z變換與離散時間系統(tǒng)的z域分析6 作業(yè) Cp1 1 a c e 2 2 4 6 3 1 2 3 6 1 3 5 7 8 1 3 5 7 9 12 13 16 19Cp2 1 3 1 3 5 7 9 a c e 10 1 3 5 Cp3 4 5 6 1 3 7 2 4 9 10 2 4 6 11 15 17Cp4 3 6 7 8 9 10Cp5 19 20 22 1 3 Cp6 1 1 3 5 2 6 1 3 5 11 14 18 23 25 2 26 30 1 33 35 1 36 37 38Cp7 1 3 4 1 3 6 8 11 15 19 21 1 3 5 24 27 30 35 39 40 43 47Cp8 2 3 7 13 19 25 27 2 4 31 42 44 第1章信號與系統(tǒng)的基本概念 基本要求 1 了解信號與系統(tǒng)的基本概念與定義 能畫出信號的波形 2 了解常用基本信號的描述方法及分類 信號的特點與性質 并會應用這些性質 3 了解信號的時域分解 變換與運算方法 并會求解 4 了解系統(tǒng)的概念與分類 理解LTI因果系統(tǒng)的定義與性質 并會應用這些性質 5 了解LTI的數學模型與傳輸算子及時域分析的基本方法 學習原則 物理描述與數學語言并重 信號分析與系統(tǒng)分析并重 時域分析與頻域變換法并重 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)并重 理論 系統(tǒng)與實驗并重 1 1信號及其描述 各種傳輸信號的方法 烽火 鼓聲 旗語 電信號信號按物理屬性分 電信號和非電信號 它們可以相互轉換 1 1 1什么是信號 信號是信息的一種物理體現 信息則是信號的具體內容 電信號傳輸優(yōu)點 容易產生 便于控制 易于處理 本課程討論電信號 簡稱 信號 1 1 2信號處理系統(tǒng) 信號處理是利用器件或設備 對信號進行分析 變換 綜合 識別等加工以達到提取有用信息和便于利用的目的 1 1信號及其描述 1 1 2信號的描述 單邊指數信號函數表達式 描述信號的常用方法 1 函數表達式f t 連續(xù)信號 或離散序列 離散信號 2 波形圖 3 數據表 單邊指數信號波形圖 信號 與 函數 或 序列 兩詞常相互通用 1 1信號及其描述 模擬信號 時間和幅值均為連續(xù)的信號 抽樣信號 時間是離散的 幅值是連續(xù)的信號 數字信號 時間和幅值均為離散的信號 離散時間信號 1 2 3 1 2信號的分類 1 按信號的時間特性分類 信號的分類方法很多 可以從不同的角度對信號進行分類 確定性信號 連續(xù)時間信號 時間變量t連續(xù)或稱模擬信號 離散時間信號 數字信號 信號 可以用確定時間函數表示的信號 稱為確定信號或規(guī)則信號 隨機信號 時間離散幅值連續(xù) 時間離散幅值離散 抽樣信號 時間離散幅值連續(xù) 不能用確定時間函數表示的信號 且在任意時刻的取值都具有不確定性 只可能知道它的統(tǒng)計特性 如在某時刻取某一數值的概率 這類信號稱為隨機信號或不確定信號 電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲 雷電干擾信號就是兩種典型 隨機信號 1 2信號的分類 連續(xù)時間信號 連續(xù)時間信號 可包含不連續(xù)點 離散時間信號 抽樣信號 數字信號 f n 2 1 1 01234 n 判斷下列波形是連續(xù)時間還是離散時間信號 若是離散時間信號是否為數字信號 值域連續(xù) 值域不連續(xù) 1 2信號的描述及分類 2 周期信號與非周期信號 周期信號是定義在 區(qū)間 每隔一定時間T 或整數N 按相同規(guī)律重復變化的信號 連續(xù)周期信號f t 滿足 f t f t mT m 0 1 2 離散周期信號f k 滿足 f k f k mN m 0 1 2 滿足上述關系的最小T 或整數N 稱為該信號的周期 1 2信號的描述及分類 例1判斷下列信號是否為周期信號 若是 確定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 解 兩個周期信號x t y t 的周期分別為T1和T2 若其周期之比T1 T2為有理數 則其和信號x t y t 仍然是周期信號 其周期為T1和T2的最小公倍數 1 sin2t是周期信號 其角頻率和周期分別為 1 2rad s T1 2 1 scos3t是周期信號 其角頻率和周期分別為 2 3rad s T2 2 2 2 3 s 由于T1 T2 3 2為有理數 故f1 t 為周期信號 其周期為T1和T2的最小公倍數2 2 cos2t和sin t的周期分別為T1 s T2 2s 由于T1 T2為無理數 故f2 t 為非周期信號 1 2信號的描述及分類 3 按信號能量特點分類 1 信號f t 的能量 將信號f t 施加于1 電阻上 它所消耗瞬時功率為 在區(qū)間 的能量和平均功率定義為 2 信號的功率P 若信號f t 的功率有界 即P 則稱為功率有限信號 簡稱功率信號 此時E 若信號f t 的能量有界 即E 則稱其為能量有限信號 簡稱能量信號 此時P 0 1 2信號的描述及分類 1 信號f t 的能量 2 信號的功率P 1 2信號的分類 5 因果信號與非因果信號 因果信號 或有始信號 將t 0時 為零 t 0接入系統(tǒng)的信號稱為因果信號 1 3典型信號 常用單元信號 1 3 1單位斜變信號 1 3 2單位階躍信號 單位階躍函數是對某些物理對象從一個狀態(tài)瞬間突變到另一個狀態(tài)的描述 1 3典型信號 1 3 3 單位矩形脈沖信號 1 3 4符號信號 符號函數也可以用階躍函數來表示 即sgn t 2u t 1 u t u t 1 3典型信號 1 3 5單位沖激信號1 定義單位沖激信號又可稱為沖激函數 狄拉克函數等 記為 t 單位沖激信號反映一種持續(xù)時間極短 函數值極大的信號類型 1 3典型信號 1 狄拉克定義法函數 t 為t 0處無限窄而又無限高 但面積為1的一個沖激 2 脈沖函數取極限定義法寬度為 高度為1 的矩形脈沖逼近沖激信號的過程如圖所示 1 3典型信號 1 篩分性質和抽樣性連續(xù)時間信號x t 與單位沖激信號相乘 等于將沖激時刻t0的信號值x t0 篩分 出來賦給沖激函數做沖激強度 即 把沖激函數與連續(xù)時間函數的乘積在整個時間范圍內積分 可以得到沖激時刻的連續(xù)時間信號的取值 即 抽樣 所以 沖激函數具有抽樣 檢測 特性 x t t t0 x t0 t t0 2 沖激函數的性質 1 3典型信號 對于移位情況 如果f t 在t 0處連續(xù) 且處處有界 則有 1 3典型信號 分和討論 積分結果為0 沖激函數抽樣性質證明 1 3典型信號 2 偶函數性 t t 證明奇偶性時 主要考察此函數的作用 即和其他函數共同作用的結果 1 3典型信號 3 沖激函數與階躍函數互為微積分關系 4 乘積性質 1 3典型信號 5 沖激偶 1 3典型信號 沖激偶的重要性質 沖激偶信號的另一個性質是 它所包含的面積等于零 這是因為正 負兩個沖激的面積相互抵消 1 3典型信號 6 尺度特性 分析 用兩邊與f t 的乘積的積分值相等證明 分a 0 a 0兩種情況 兩邊相等 i 1 3典型信號 ii 1 3典型信號 1 3 6復指數信號 當 0時 信號隨時間按指數規(guī)律增長當 0時 信號隨時間按指數規(guī)律衰減當 0時 指數信號變成恒定不變的直流信號 S 此時為實指數信號 1 3典型信號 1 3典型信號 s j 此時為復指數信號 利用歐拉公式 復指數信號虛部的波形 指數信號的重要性在于對它的微積分結果仍然是同冪的指數信號 1 3典型信號 抽樣信號Sa t 1 3 7抽樣信號 抽樣函數的性質 1 3典型信號 1 3 8高斯信號 1 4連續(xù)信號的運算 1 4 1時移 反褶 折疊 尺度 時移 f t b b 0 f t 右移b b 0 f t 左移 b 折疊 反褶 f t 信號f t 與f t 以縱軸鏡像對稱 1 4連續(xù)信號的運算 例 已知f t 波形 求 解 方法一 先折疊后時移 1 4連續(xù)信號的運算 方法二 先時移后折疊 注意 是對t的變換 0 0 1 左移 右移 1 1 4連續(xù)信號的運算 尺度變換 橫坐標展縮 f at a為常數 a 1表示f t 波形在時間軸上壓縮1 a 倍 a 1表示f t 波形在時間軸上擴展 a 倍 1 4連續(xù)信號的運算 時移 尺度 反褶 例題 1 4連續(xù)信號的運算 例題 信號f t 的波形如圖所示 畫出信號f 2t 4 的波形 1 4連續(xù)信號的運算 例 已知f 5 2t 的波形如圖所示 試畫出f t 的波形 t t 2 反轉 f 2t 中以 t代替t 可求得f 2t 表明f 2t 的波形 1 4連續(xù)信號的運算 以t 0的縱軸為中心線對褶 注意是偶數 故 1 4連續(xù)信號的運算 證明 兩邊積分 得 由f 2t f t 比例 3 比例 以代替f 2t 中的t 所得的f t 波形將是f 2t 波 形在時間軸上擴展兩倍 1 4連續(xù)信號的運算 1 微分 1 4 2微分和積分 1 4連續(xù)信號的運算 積分運算可削弱毛刺噪聲的影響 2 積分 f t 5 積分 1 4連續(xù)信號的運算 1 4 3加減 乘除 重要結論 任意信號f t 可分解為偶分量與奇分量之和 1 相加 證明 1 4連續(xù)信號的運算 2 相乘 幅度變化af t 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 5 0規(guī)則信號的分解 為了便于研究信號的傳輸和處理問題 往往將信號分解為一些簡單 基本 的信號之和 分解角度不同 可以分解為不同的分量 簡單分量組合直流分量與交流分量偶分量與奇分量任意信號分解為脈沖分量之和實部分量與虛部分量正交函數分量 鋸齒波 方波 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 5 1任意信號分解為直流分量與交流分量之和 一個信號的平均功率等于直流功率與交流功率之和 1 2 0 1 2 2 可以分解為四個不同時刻出現的階躍函數 解 1 例1 9 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 5 2奇偶分解 對任何實信號而言 信號的平均功率 偶分量功率 奇分量功率 1 5連續(xù)信號的合成和分解 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 5 1 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 1 圖1 35 兩個信號分解為奇 偶分量的實例 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 圖1 35 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 矩形窄脈沖序列 此窄脈沖可表示為 1 5 3脈沖分量 1 5連續(xù)信號的合成和分解 出現在不同時刻的不同強度的沖激函數的和 1 5連續(xù)信號的合成和分解 2 連續(xù)階躍信號之和 將信號分解為沖激信號疊加的方法應用很廣 后面的卷積積分中將用到 可利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 如圖所示分解任意信號 可以分解為階躍信號之和 1 5連續(xù)信號的合成和分解 1 5連續(xù)信號的分解 任意時刻的階躍為 將信號近似表示為 1 5連續(xù)信號的分解 然后 令窄脈沖寬度 并對上式極取限 最后 得到任意信號用階躍信號表示的積分形式為 1 6系統(tǒng)的模型 一般來講 系統(tǒng)是一個由若干互有關聯(lián)的單元組成的并具有某種功能以用來達到某些特定目的的有機整體 其意義十分廣泛 1 6 1系統(tǒng)的概念 電路與系統(tǒng)很難區(qū)分 只是觀點和處理問題的角度上的差別 故系統(tǒng)也可看作是一個轉換 或一種運算 r t T e t 此圖表示系統(tǒng)功能的方框圖 表示單輸入 單輸出系統(tǒng) 1 6系統(tǒng)的模型 1 6 2初始狀態(tài) 下面以電容 電感的電壓 電流關系理解系統(tǒng)初始狀態(tài)的概念 將 0 記為 初始 時刻 的瞬間 或電路發(fā)生 換路 的瞬間 為討論問題方便 習慣 初始 實際是一個相對時間 通常是一個非零的電源接入電路 1 6系統(tǒng)的模型 解由電容的電壓 電流關系 此式是一階線性微分方程 解此方程可得響應為 稱電容為動態(tài) 記憶 儲能 元件 1 6系統(tǒng)的模型 特別的若 代入上式成為 由電容與電感的對偶關系 或初始條件 以前的作用 是系統(tǒng)在該時刻的儲能 稱作系統(tǒng)的初始狀態(tài) 上式中的 或 是電流 在時刻 不特別說明本書的 初始 時刻取 1 6系統(tǒng)的模型 階線性微分方程的一般形式為 標準化初始條件 不能全部直接用于微分方程求解就是非標準化初始條件 1 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)2 靜態(tài)即時系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng) 按照系統(tǒng)內是否含有記憶元件 3 集總參數系統(tǒng)與分布參數系統(tǒng)4 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 按其特性分 5 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 按其參數是否隨t而變 6 可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)7 因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)8 穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng) 1 7系統(tǒng)的分類 本課程主要研究 集中參數的 線性非時變的連續(xù)時間和離散時間系統(tǒng) 以后簡稱線性系統(tǒng) 輸入 輸出都是離散時間信號 其數學模型是差分方程 輸入 輸出都是連續(xù)時間信號 其數學模型是微分方程 按所處理的信號類型劃分 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 1連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng) 激勵和響應均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng) 也稱模擬系統(tǒng) 激勵和響應均為離散時間信號的系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng) 也稱數字系統(tǒng) 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 2靜態(tài)即時系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng) 按照系統(tǒng)內是否含有記憶元件 系統(tǒng)的數學模型 一階微分方程 由理想電路元件符號表示的系統(tǒng)模型 i t LR e t 例如日光燈電路的電路模型 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 4線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 2 線性系統(tǒng)同時具有零輸入線性與零狀態(tài)線性 1 分解性 不滿足可分解性 是非線性系統(tǒng) 不滿足零狀態(tài)線性 是非線性系統(tǒng) 不滿足零輸入線性 是非線性系統(tǒng) 滿足可分解性 零輸入線性 零狀態(tài)線性 所以線性系統(tǒng) 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 5時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng) 若連續(xù)系統(tǒng)x t t0 y t t0 則稱為時不變連續(xù)系統(tǒng) 定義 即 若連續(xù)時不變系統(tǒng)的激勵移位 則響應的波形不變 且作同樣的移位 數學上 將y t 中的變量t代之以t t0 若t0 0 則右移 延時 若t0 0 則左移 提前 不滿足上述關系的系統(tǒng) 稱為時變系統(tǒng) 物理解釋 元件參數不隨時間改變 1 7系統(tǒng)的分類 1 7系統(tǒng)的分類 線性時不變系統(tǒng) LTI 1 疊加性與齊次性 合稱線性性質 線性系統(tǒng)判據 2 時不變性 非時變性 判據 若則 1 7系統(tǒng)的分類 3 微分特性對于線性時不變系統(tǒng) LTI 具有下列特性 根據線性與時不變性容易證明此特性 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 6可逆系統(tǒng)和不可逆系統(tǒng) 若系統(tǒng)在不同激勵信號作用下產生不同的響應 則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng) 對于每個可逆系統(tǒng)都存在一個 逆系統(tǒng) 當原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)級聯(lián)組合后 輸出信號與輸入信號相同 不同的激勵信號產生了相同的響應 因而它是不可逆的 1 7系統(tǒng)的分類 因果信號 或有始信號 t 0時 為零 t 0接入系統(tǒng)的信號稱為因果信號 系統(tǒng)為因果系統(tǒng) 1 7 7因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng) 若系統(tǒng)的響應不先于激勵 稱此系統(tǒng)為因果系統(tǒng) 否則 為非因果系統(tǒng) 因果系統(tǒng)的輸出 響應 不會出現在輸入信號激勵系統(tǒng)以前的時刻 1 7系統(tǒng)的分類 1 0 1 0 0 0 a 因果系統(tǒng) b 非因果系統(tǒng) 解 1 輸出值只取決于輸入的過去值如t 6時 輸出r 6 e 4 故為因果系統(tǒng) 2 輸出值取決于輸入的將來值如t 6時 r 6 e 8 故為非因果系統(tǒng) 1 7系統(tǒng)的分類 例4 判斷下列系統(tǒng)的因果性 現在的響應 現在的激勵 以前的激勵 為因果系統(tǒng) 1 7系統(tǒng)的分類 1 7 8穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng) 所謂穩(wěn)定系統(tǒng) 是指對于有限 有界 激勵只能產生有限 有界 響應的系統(tǒng) 則響應函數 1 8系統(tǒng)分析方法 給定系統(tǒng)的結構和參數 初始條件的情況下 求系統(tǒng)的響應 為了便于對系統(tǒng)進行分析 需要建立系統(tǒng)的模型 在模型的基礎上可以運用數學工具進行系統(tǒng)研究 系統(tǒng)模型 是系統(tǒng)物理特性的數學抽象 以數學表達式或具有理想特性的符號組合圖形來表示系統(tǒng)特性 1 時域分析 2 變換域分析 卷積積分 或卷積和 法 傅里葉變換 FT拉普拉斯變換 LTz變換 ZT離散傅里葉變換 DFT離散沃爾什變換 DWT 差分方程 離散系統(tǒng) 微分方程 連續(xù)系統(tǒng) 經典法求解 1 8系統(tǒng)分析方法 對于較復雜的系統(tǒng) 同一系統(tǒng)模型可有多種不同的數學表現形式 其數學模型有兩類 高階微分方程 也為輸入 輸出方程狀態(tài)方程 適合于多輸入多輸出系統(tǒng)分析 一階微分方程組 1 8 1LTI的數學模型 著眼于激勵與響應的關系 而不考慮系統(tǒng)內部變量情況 單輸入 單輸出系統(tǒng) 列寫一元n階微分方程 輸入 輸出描述法 狀態(tài)變量分析法 不僅可以給出系統(tǒng)的響應 還可以描述內部變量 如電容電壓或電感電流的變化情況 研究多輸入 多輸出系統(tǒng) 列寫多個一階微分方程 1 8LTI的數學模型與傳輸算子 若選 作為輸出 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 一階微分方程組 e t 線性高階微分方程