高考數學 第五章 第二節(jié)等差數列及其前n項和課件 理

第二節(jié) 等差數列及其前n項和1.1.等差數列的定義等差數列的定義一般地，如果一個數列從第一般地，如果一個數列從第2 2項起，每一項與它的前一項的差項起，每一項與它的前一項的差等于等于_，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的叫做等差數列的_，一般用字母，一般用字母d d表示；定義的表達式表示；定義的表達式為：為：_(nN_(nN* *).).同一個常數同一個常數公差公差a an+1n+1-a-an n=d=d【即時應用即時應用】判斷下列數列是否為等差數列判斷下列數列是否為等差數列( (請在括號中填寫請在括號中填寫“是是”或或“否否”).).(1)(1)數列數列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0， ( ) ( )(2)(2)數列數列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3， ( ) ( )(3)(3)數列數列 ( ) ( )(4)(4)數列數列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a， ( ) ( )2345， ， ， ，【解析解析】(1)(4)(1)(4)中從第二項開始，每項與前一項的差為同一常中從第二項開始，每項與前一項的差為同一常數；而數；而(2)(3)(2)(3)并不是同一常數，故并不是同一常數，故(1)(4)(1)(4)為等差數列，為等差數列，(2)(3)(2)(3)不是不是. .答案答案: :(1)(1)是是 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等差數列的通項公式等差數列的通項公式若等差數列若等差數列aan n 的首項是的首項是a a1 1，公差是，公差是d d，則其通項公式為，則其通項公式為a an n=_.=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d【即時應用即時應用】(1)(1)在等差數列在等差數列aan n 中，中，a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,則數列的通項公式為則數列的通項公式為_._.(2)(2)等差數列等差數列1010，7 7，4 4，的第的第2020項為項為_._.【解析解析】(1)a(1)a5 5=a=a1 1+4d,a+4d,a1212=a=a1 1+11d,+11d, , ,解得解得aan n=a=a1 1+(n-1)d=-2+(n-1)+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.11a4d10a11d311a2,d3 (2)(2)由由a a1 1=10,d=7-10=-3,n=20,=10,d=7-10=-3,n=20,得得a a2020=10+(20-1)=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案答案: :(1)a(1)an n=3n-5 (2)-47=3n-5 (2)-473.3.等差中項等差中項若若a a，A A，b b成等差數列，則成等差數列，則A A叫做叫做a a，b b的等差中項，且的等差中項，且A= .A= .ab2【即時應用即時應用】(1)A= (1)A= 是是a a，A A，b b成等差數列的成等差數列的_條件條件. .(2)(2)若等差數列若等差數列aan n 的前三項依次為的前三項依次為a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,則它的第五則它的第五項為項為_._.ab2【解析解析】(1)(1)若若A= ,A= ,可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差數列；反之，若成等差數列；反之，若a,A,ba,A,b成等差數列，則成等差數列，則A= .A= .故故A= A= 是是a a，A A，b b成等差數列的充要條件成等差數列的充要條件. .(2)(2)由題意知由題意知2a+12a+1是是a a與與4a+24a+2的等差中項，即的等差中項，即 , ,解得解得a=0,a=0,故數列故數列aan n 的前三項依次為的前三項依次為0 0，1 1，2 2，則，則a a5 5=0+4=0+41=4.1=4.答案答案: :(1)(1)充要充要 (2)4(2)4ab2ab2ab2a4a22a12 4.4.等差數列的前等差數列的前n n項和公式項和公式若已知等差數列若已知等差數列aan n ，首項，首項a a1 1和末項和末項a an n，則其前，則其前n n項和公式項和公式S Sn n= = ，或若等差數列，或若等差數列aan n 的首項是的首項是a a1 1，公差是，公差是d d，則其，則其前前n n項和公式項和公式S Sn n= .= .1nn aa21n n1nad2【即時應用即時應用】(1)(1)在等差數列在等差數列aan n 中，中，a a1 1=5,a=5,an n=95,n=10,=95,n=10,則則S Sn n=_.=_.(2)(2)在等差數列在等差數列aan n 中，中，a a1 1=100,d=-2,n=50,=100,d=-2,n=50,則則S Sn n=_.=_.(3)(3)在等差數列在等差數列aan n 中，中，d=2,n=15,ad=2,n=15,an n=-10,=-10,則則S Sn n=_.=_.【解析解析】(1)(1)(2) (2) =50=50(100-49)=2 550.(100-49)=2 550.(3)(3)由由a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d得得, ,-10=a-10=a1 1+(15-1)+(15-1)2,2,解得解得a a1 1=-38,=-38,答案答案: :(1)500 (2)2 550 (3)-360(1)500 (2)2 550 (3)-3601nnn aa10595S500.22n1n n150 49Snad50 100( 2)22 1nnn aaS21538 10360.2 熱點考向熱點考向 1 1 等差數列的基本運算等差數列的基本運算【方法點睛方法點睛】1.1.等差數列運算問題的通性通法等差數列運算問題的通性通法等差數列運算問題的一般求法是設出首項等差數列運算問題的一般求法是設出首項a a1 1和公差和公差d d，然后由通，然后由通項公式或前項公式或前n n項和公式轉化為方程項和公式轉化為方程( (組組) )求解求解. .2.2.等差數列前等差數列前n n項和公式的應用方法項和公式的應用方法等差數列前等差數列前n n項和公式有兩個，如果已知項數項和公式有兩個，如果已知項數n n、首項、首項a a1 1和第和第n n項項a an n，則利用，則利用 , ,如果已知項數如果已知項數n n、首項、首項a a1 1和公差和公差d d，則，則利用利用1nnn aaS2n1n n1 dSna.2【例例1 1】(1)(2012(1)(2012福建高考福建高考) )等差數列等差數列aan n 中中,a,a1 1+a+a5 5=10,a=10,a4 4= =7.7.則數列則數列aan n 的公差為的公差為( )( )(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)4(2)(2)九章算術九章算術“竹九節(jié)竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根問題：現(xiàn)有一根9 9節(jié)的竹子，自上節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4 4節(jié)的容積共為節(jié)的容積共為3 3升，下面升，下面3 3節(jié)的容積共節(jié)的容積共4 4升，則第升，則第5 5節(jié)的容積為節(jié)的容積為_升升. .(3)(2011(3)(2011福建高考福建高考) )已知等差數列已知等差數列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3.求數列求數列aan n 的通項公式；的通項公式；若數列若數列aan n 的前的前k k項和項和S Sk k=-35=-35，求，求k k的值的值. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選B Ba a1 1+a+a5 5=2a=2a3 3=10=10，a a3 3=5=5，所以，所以d=ad=a4 4-a-a3 3=2.=2.(2)(2)方法一：設自上第一節(jié)竹子容量為方法一：設自上第一節(jié)竹子容量為a a1 1, ,依次類推，數列依次類推，數列aan n 為等差數列為等差數列. .又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=4a=4a1 1+6d=3,+6d=3,a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=3a=3a1 1+21d=4.+21d=4.解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 方法二：設自上第一節(jié)竹子容量為方法二：設自上第一節(jié)竹子容量為a a1 1，則第九節(jié)容量為，則第九節(jié)容量為a a9 9, ,且數且數列列aan n 為等差數列為等差數列. .a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=3,a=3,a7 7+a+a8 8+a+a9 9=4,=4,即即4a4a5 5-10d=3 -10d=3 3a3a5 5+9d=4 +9d=4 聯(lián)立解得聯(lián)立解得答案答案: : 567a.666766(3)(3)設等差數列設等差數列aan n 的公差為的公差為d d，由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.從而從而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知a an n=3-2n,=3-2n,由由S Sk k=-35=-35得得2k-k2k-k2 2=-35.=-35.即即k k2 2-2k-35=0-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kNkN* *, ,故故k=7.k=7.2nn132nS2nn .2【互動探究互動探究】本例第本例第(3)(3)題中，若將題中，若將“a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3”改為改為“a a1 1=31,S=31,S1010=S=S2222”，試求，試求S Sn n；這個數列的前多少項的和最大？并求出這個最大值這個數列的前多少項的和最大？并求出這個最大值. .【解析解析】SS1010=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a1010, ,S S2222=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a2222，又，又S S1010=S=S2222，a a1111+a+a1212+ +a+a2222=0=0， , ,即即a a1111+a+a2222=2a=2a1 1+31d=0,+31d=0,又又a a1 1=31,d=-2,=31,d=-2,SSn n=na=na1 1+ =31n-n(n-1)=32n-n+ =31n-n(n-1)=32n-n2 2. .112212 aa02n n1d2方法一：由知方法一：由知S Sn n=32n-n=32n-n2 2, ,當當n=16n=16時，時，S Sn n有最大值，有最大值，S Sn n的最大值是的最大值是256.256.方法二：由方法二：由S Sn n=32n-n=32n-n2 2=n(32-n),=n(32-n),欲使欲使S Sn n有最大值，應有有最大值，應有1n32,1n6),=324(n6),求數列求數列aan n 的項數及的項數及a a9 9+a+a1010. .【解題指南解題指南】(1)(1)根據根據S S2 2=S=S6 6，先求，先求a a4 4+a+a5 5的值，再求的值，再求a a5 5. .(2)(2)根據根據S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差數列求解成等差數列求解. .(3)(3)根據前根據前6 6項與最后項與最后6 6項的和求出項的和求出a a1 1+a+an n, ,再求再求n n及及a a9 9+a+a1010. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)S(1)S2 2=S=S6 6，S S6 6-S-S2 2=a=a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6=0=0，2(a2(a4 4+a+a5 5)=0,)=0,即即a a4 4+a+a5 5=0=0，a a5 5=-a=-a4 4=-1.=-1.答案答案: :-1-1(2)(2)設等差數列設等差數列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,則則S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差數成等差數列，列，且且S S3 3=40=40，S S6 6-S-S3 3=20.=20.SS9 9-S-S6 6=20+(-20)=0=20+(-20)=0，S S9 9=S=S6 6=60.=60.答案答案: :6060(3)(3)由題意知由題意知a a1 1+a+a2 2+ +a+a6 6=36 =36 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+ +a+an-5n-5=180 =180 + +得得(a(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+)+(a+(a6 6+a+an-5n-5)=6(a)=6(a1 1+a+an n)=216)=216，a a1 1+a+an n=36,=36,又又 ,18n=324,n=18.,18n=324,n=18.aa1 1+a+a1818=36,a=36,a9 9+a+a1010=a=a1 1+a+a1818=36.=36.1nnn aaS3242【互動探究互動探究】若本例中第若本例中第(1)(1)題條件不變，改為求此等差數列的題條件不變，改為求此等差數列的前多少項的和最大，并求出最大值前多少項的和最大，并求出最大值. .【解析解析】在本例中第在本例中第(1)(1)題已求解出題已求解出a a5 5=-1,=-1,又又a a4 4=1,=1,得公差得公差d=-2,d=-2,此等差數列的前此等差數列的前4 4項和，即項和，即S S4 4最大最大. .且且S S4 4=1+3+5+7=16.=1+3+5+7=16.【反思反思感悟感悟】1.1.在等差數列在等差數列aan n 中，若中，若m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,則則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k是常用的性質，本例第是常用的性質，本例第(1)(1)、(3)(3)題都用到了這個題都用到了這個性質，在應用此性質時，一定要觀察好每一項的下標規(guī)律，不性質，在應用此性質時，一定要觀察好每一項的下標規(guī)律，不要犯要犯a a2 2+a+a5 5=a=a7 7的錯誤的錯誤. .2.2.本例第本例第(2)(2)題也可先求題也可先求a a1 1,d,d,再求再求a a7 7+a+a8 8+a+a9 9, ,但不如用性質簡單但不如用性質簡單. .【變式備選變式備選】等差數列等差數列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n，已知，已知a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2= =0,S0,S2m-12m-1=38,=38,求求m m的值的值. .【解析解析】aam-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m, ,aam-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2=2a=2am m-a-am m2 2=0=0，解得解得a am m=0=0或或a am m=2.=2.又又a a1 1+a+a2m-12m-1=2a=2am m, ,aam m0,a0,am m=2,2m-1=19,=2,2m-1=19,解得解得m=10.m=10.12m 12m 1maaS2m 12m 1 a38,21.(20121.(2012遼寧高考遼寧高考) )在等差數列在等差數列aan n 中，已知中，已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,則該則該數列前數列前1111項和項和S S1111=( )=( )(A)58 (B)88 (A)58 (B)88 (C)143 (C)143 (D)176(D)176【解析解析】選選B.B.由于由于aan n 為等差數列，所以為等差數列，所以a a1 1+a+a1111=a=a4 4+a+a8 8=16=16，S S1111= = 故選故選B.B.48111(aa ) 11(aa ) 1116 1188.2222.(20132.(2013寧德模擬寧德模擬) )已知等差數列已知等差數列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,若若m1,m1,且且a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0,S-1=0,S2m-12m-1=39,=39,則則m m等于等于( )( )(A)39 (B)20 (A)39 (B)20 (C)19 (C)19 (D)10(D)10【解析解析】選選B.B.數列數列aan n 為等差數列，為等差數列，則則a am-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m，則則a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0-1=0可化為可化為2a2am m-a-am m2 2-1=0,-1=0,解得：解得：a am m=1.=1.又又S S2m-12m-1=(2m-1)a=(2m-1)am m=39,=39,則則m=20.m=20.故選故選B.B.3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )設設S Sn n是公差為是公差為d(d0)d(d0)的無窮等差數列的無窮等差數列aan n 的前的前n n項和項和, ,則下列命題錯誤的是則下列命題錯誤的是( )( )(A)(A)若若d0,d0,則數列則數列SSn n 有最大項有最大項(B)(B)若數列若數列SSn n 有最大項有最大項, ,則則d0d00(D)(D)若對任意若對任意nNnN* *, ,均有均有S Sn n0,0,則數列則數列SSn n 是遞增數列是遞增數列【解析解析】選選C.C.若數列若數列aan n 為遞增數列為遞增數列, ,但數列的前若干項可能為但數列的前若干項可能為負數，則存在負數，則存在nNnN* *，S Sn n0 0故選項錯誤故選項錯誤4.(20124.(2012北京高考北京高考) )已知已知aan n 為等差數列，為等差數列，S Sn n為其前為其前n n項和項和. .若若a a1 1= S= S2 2=a=a3 3，則，則a a2 2=_ S=_ Sn n=_.=_.【解析解析】SS2 2=a=a3 3,a,a1 1+a+a2 2=a=a3 3，d=ad=a3 3-a-a2 2=a=a1 1= =aa2 2=a=a1 1+d=1,S+d=1,Sn n= =答案：答案：1 11,22nn.442nn441,2