高考數(shù)學一輪總復習 第八章 立體幾何 第3講 點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件 文

第3講點、直線、平面之間的位置關(guān)系考綱要求考點分布考情風向標1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi).公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.2.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2011年大綱卷第15題考查異面直線所成的角；2012年大綱卷第16題考查異面直線所成的角；2013年新課標卷第19題(1)以三棱柱為背景，證明線線垂直；(2)考查線面位置判定定理及求三棱柱體積；2014年大綱卷第4題考查異面直線所成的角；2014年新課標卷第19題(1)以三棱柱為背景，證明線線垂直；(2)考查線面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱的高平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ)，是高考主要考點之一，考查內(nèi)容有以平面基本性質(zhì)、推論為基礎(chǔ)的共線、共面問題，也有以平行、異面為主的兩直線的位置關(guān)系，求異面直線所成的角是本節(jié)的重點項目公理 1公理 2公理 3公理 4圖形語言1.平面基本性質(zhì)即四條公理的“圖形語言”“文字語言”“符號語言”列表項目公理 1公理 2公理 3公理 4文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線平行于同一條直線的兩條直線平行符號語言A，B，C 不共線A，B，C 確定平面(續(xù)表)推論 1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論 2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論 3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補兩直線的位置關(guān)系共平行沒有交點相交一個交點異面直線沒有交點直線與平面的位置關(guān)系平行沒有交點相交一個交點在平面內(nèi)無數(shù)個交點兩平面的位置關(guān)系平行沒有交點相交無數(shù)個交點2.空間線、面之間的位置關(guān)系3.異面直線所成的角銳角或直角(0，90過空間任一點 O 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b.那么直線 a與 b所成的_，叫做異面直線 a 與b 所成的角(或夾角)，其范圍是_.1.(2013 年安徽)在下列命題中，不是公理的是()A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C.如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)AD.如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么他們有且只有一條過該點的公共直線解析：B，C，D 說法均不需證明，也無法證明，是公理；A 選項可以推導證明，故是定理.故選 A.2.若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是)A“這兩條直線沒有公共點”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.在長方體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()CA.3 條B.4 條C.5 條D.6 條解析：如圖D43，用列舉法知，符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1.故選C.4.若A，B，Al，Bl，Pl，則( ) DA.PB.P C.lD.P圖 D43考點 1 平面的基本性質(zhì)，則()例 1：若直線 l 不平行于平面，且 lA.內(nèi)的所有直線與 l 異面B.內(nèi)不存在與 l 平行的直線C.內(nèi)存在唯一的直線與 l 平行D.內(nèi)的直線與 l 都相交答案：B解析：不妨設直線lM，過點M的內(nèi)的直線與l不異面，故A錯誤；假設存在與l平行的直線m，則由ml，得l，這與lM矛盾.故B正確；C顯然錯誤；內(nèi)存在與l異面的直線，故D錯誤.故選B.【規(guī)律方法】直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過直線，如果直線不在平面內(nèi)，記作l ，包括直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形.反映平面基本性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形和研究點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公理 3 是證明三(多)點共線或三線共點的依據(jù).【互動探究】A1.下列推斷中，錯誤的個數(shù)是()Al，A，Bl，Bl；A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，重合；l，AlA .A.1 個B.2 個C.3 個D.0 個考點 2 空間內(nèi)兩直線的位置關(guān)系例2：如圖831，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是()圖 831A.MN 與 CC1 垂直C.MN 與 BD 平行B.MN 與 AC 垂直D.MN 與 A1B1 平行答案：D【規(guī)律方法】判斷直線是否平行比較簡單直觀，可以利用公理 4；判斷直線是否異面則比較困難，掌握異面直線的兩種判斷方法：反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，再由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面；在客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.【互動探究】2.如圖 832 所示的是正方體和正四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是_(填上所有正確答案的序號).圖 8323.如圖 833，G，H，M，N 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則使直線 GH，MN 是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號).圖 833解析：圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N 三點在三棱柱的側(cè)面上，MG 與這個側(cè)面相交于G，M 平面GHN，因此直線 GH 與 MN 異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH 與MN 共面；圖中，G，M，N 共面，但H 平面GMN，因此 GH 與 MN 異面.答案：考點 3 異面直線所成的角例3：在正方體ABCDA1B1C1D1中.(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.圖 834解：(1)如圖834，連接AB1，B1C.由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.AB1ACB1C，B1CA60，即A1D與AC所成的角為60.(2)如圖 835，連接 AC，BD.圖 835在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，EFBD.EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.【規(guī)律方法】求異面直線所成角的基本方法就是平移，有時候平移兩條直線，有時候只需要平移一條直線，直到得到兩條相交直線，最后在三角形或四邊形中解決問題.【互動探究】B4.(2014 年大綱)已知在正四面體 ABCD 中，點 E 是 AB 的中點，則異面直線 CE 與 BD 所成角的余弦值為()考點 4 三點共線、三線共點的證明圖 836例4：如圖836，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.證明：(1)如圖837，連接EF，CD1，A1B.圖 837E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F(xiàn)四點共面.CE與D1F必相交.設交點為點P，如圖837，則由點PCE，CE平面ABCD，得點P平面ABCD.同理點P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，點P直線DA.CE，D1F，DA三線共點.【規(guī)律方法】要證明 M，N，K 三點共線，由公理 3 知，只要證明 M，N，K 都在兩個平面的交線上即可.證明多點共線問題：可由兩點連一條直線，再驗證其他各點均在這條直線上；可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上相交兩平面的唯一交線，關(guān)鍵是通過繪出圖形，作出兩個適當?shù)钠矫婊蜉o助平面，證明這些點是這兩個平面的公共點.【互動探究】A5.在空間四邊形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA 上分別取 E，F(xiàn)，G，H 四點，若 EF 與 GH 交于點 M，則()A.點 M 一定在 AC 上B.點 M 一定在 BD 上C.點 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D.點 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上解析：點M 在平面ABC 內(nèi)，又在平面ADC 內(nèi)，故必在交線 AC 上.難點突破 利用平移求異面直線所成的角例題：(1)(2012年大綱)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為_.解析：如圖838，連接DF，則AEDF.圖838(2)(2014 年大綱)已知正四面體 ABCD 中，E 是 AB 的中點，則異面直線 CE 與 BD 所成角的余弦值為()答案：B【規(guī)律方法】求異面直線所成角的基本方法就是平移，有時候平移兩條直線，有時候只需要平移一條直線，直到得到兩條相交直線，最后在三角形或四邊形中解決問題.1. 反映平面基本性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形和研究點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)； 公理 2 的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公理3 是證明三(多)點共線或三線共點的依據(jù).2.正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”.掌握異面直線的兩種判斷方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面.(2)客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.3.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解.4.平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定成立.例如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“同時垂直于一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間都不成立.