（浙江專版）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測(cè)十一 概率、隨機(jī)變量及其分布單元檢測(cè)（含解析）.docx

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單元檢測(cè)十一　概率、隨機(jī)變量及其分布 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 第Ⅰ卷(選擇題　共40分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由題意可先算出10個(gè)元素中取出3個(gè)的所有基本事件為C＝120(種)情況；而三種粽子各取到1個(gè)有CCC＝30(種)情況，則可由古典概型的概率公式得P＝＝. 2．袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一個(gè)球，抽取后不放回．若每顆球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則甲、乙、丙三人所得球顏色互異的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　甲、乙、丙三人所得球顏色互異的概率是P＝＝. 3．兩名學(xué)生參加考試，隨機(jī)變量X代表通過的學(xué)生人數(shù)，其分布列為 X 0 1 2 P 那么這兩人通過考試的概率中較小值為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　設(shè)甲通過考試的概率為p，乙通過考試的概率為q，依題意得(1－p)(1－q)＝，p(1－q)＋q(1－p)＝，pq＝，解得p＝，q＝或p＝，q＝，所以兩人通過考試的概率中較小值為. 4．口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，數(shù)列{an}滿足an＝如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為(　　) A．C25 B．C25 C．C25 D．C25 答案　B 解析　據(jù)題意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到紅球，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即可確定其概率． 5．(2018湖州質(zhì)檢)若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“先進(jìn)數(shù)”，例如：4是“先進(jìn)數(shù)”，因?yàn)?＋5＋6產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，2不是“先進(jìn)數(shù)”，因?yàn)?＋3＋4不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的自然數(shù)是“先進(jìn)數(shù)”的概率為(　　) A．0.10 B．0.90 C．0.89 D．0.88 答案　D 解析　一位數(shù)中不是“先進(jìn)數(shù)”的有0,1,2共3個(gè)；兩位數(shù)中不是“先進(jìn)數(shù)”，則其個(gè)位數(shù)可以取0,1,2，十位數(shù)可取1,2,3，共有9個(gè)，則小于100的數(shù)中，不是“先進(jìn)數(shù)”的數(shù)共有12個(gè)，所以小于100的自然數(shù)是“先進(jìn)數(shù)”的概率為P＝1－＝0.88. 6．(2018溫州市高考適應(yīng)性測(cè)試)隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝，則D(3X－2)等于(　　) X －1 0 1 P a b A.9B．7C．5D．3 答案　C 解析　由X的分布列得＋a＋b＝1，① E(X)＝(－1)＋0a＋1b＝，② 聯(lián)立①②，解得 則D(X)＝2＋2＋2＝， 則D(3X－2)＝32＝5，故選C. 7．(2018湖州模擬)在10包種子中，有3包白菜種子，4包胡蘿卜種子，3包茄子種子，從這10包種子中任取3包，記X為取到白菜種子的包數(shù)，則E(X)等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由于從10包種子中任取3包的結(jié)果數(shù)為C，從10包種子中任取3包，其中恰有k包白菜種子的結(jié)果數(shù)為CC，那么從10包種子中任取3包，其中恰有k包白菜種子的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 8．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X)>1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈，可得p∈. 9．(2018浙江省綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝0)＝pi，P(ξi＝1)＝1－pi，且0p2，且D(ξ1)>D(ξ2) C．p1D(ξ2) D．p1>p2，且D(ξ1)p2. 因?yàn)?D(ξ2)，故選B. 10．(2018紹興嵊州市第二次適應(yīng)性考試)已知隨機(jī)變量ξi的分布列如下： ξi 0 1 2 P (1－pi)2 2pi(1－pi) p 其中i＝1,2，若0D(2ξ2) C．E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2) 答案　A 解析　由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1,2)， 則E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2， D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)， 所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2， D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)， D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2)． 因?yàn)?0)＝.則這個(gè)班報(bào)名參加社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為________；E(ξ)＝________. 答案　5　 解析　設(shè)既報(bào)名參加話劇社團(tuán)又參加攝影社團(tuán)的有x人，則該班報(bào)名總?cè)藬?shù)為(7－x)． 因?yàn)镻(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝， 所以P(ξ＝0)＝.而P(ξ＝0)＝＝， 即＝，解得x1＝2，x2＝(舍)． 所以該班報(bào)名參加社團(tuán)的人數(shù)為5. ξ的可能取值為0,1,2， P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 因此E(ξ)＝0＋1＋2＝. 17．王先生家住A小區(qū)，他工作在B科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線(如圖)，L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，，若走L1路線，王先生最多遇到1次紅燈的概率為________；若走L2路線，王先生遇到紅燈次數(shù)X的均值為________． 答案　　 解析　走L1路線最多遇到1次紅燈的概率為 C3＋C2＝，依題意X的可能取值為0,1,2， 則由題意P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＝， P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝0＋1＋2＝. 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 18．(14分)甲、乙兩人各射擊一次，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都為0.6，求： (1)兩人都擊中目標(biāo)的概率； (2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率； (3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率． 解　設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A，“乙擊中目標(biāo)”為事件B. (1)兩人都擊中目標(biāo)的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝0.36. (2)恰有一人擊中目標(biāo)的概率為 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.48. (3)∵兩人都未擊中目標(biāo)的概率為P()＝0.16， ∴至少有一人擊中目標(biāo)的概率為1－P()＝0.84. 19．(15分)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值． 解　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”， 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ＝2＋2＋2＝. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4) ＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P E(X)＝2＋3＋4＋5＝. 20．(15分)有編號(hào)為D1，D2，…，D10的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑(單位：mm)，得到下面數(shù)據(jù)： 編號(hào) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 直徑 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148 其中直徑在區(qū)間(148,152]內(nèi)的零件為一等品． (1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)零件均為一等品的概率； (2)從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)．用ξ表示這2個(gè)零件直徑之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)可知，10個(gè)零件中一等品零件共有5個(gè)． 設(shè)“從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)，2個(gè)零件均為一等品”為事件A，則P(A)＝＝. (2)∵ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P ∴ξ的均值為E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 21．(15分)甲、乙二人比賽投籃，每人連續(xù)投3次，投中次數(shù)多者獲勝．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中與否相互獨(dú)立． (1)求乙直到第3次才投中的概率； (2)在比賽前，從勝負(fù)的角度考慮，你支持誰？請(qǐng)說明理由． 解　(1)記事件Ai：乙第i次投中(i＝1,2,3)， 則P(Ai)＝(i＝1,2,3)，事件A1，A2，A3相互獨(dú)立， P(乙直到第3次才投中)＝P(12A3) ＝P(1)P(2)P(A3) ＝＝. (2)支持乙，理由如下： 設(shè)甲投中的次數(shù)為ξ，乙投中的次數(shù)為η，則η～B， ∴乙投中次數(shù)的均值E(η)＝3＝. ξ的可能取值是0,1,2,3，則 P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝C＋ C2＝， P(ξ＝2)＝C2＋C＝， P(ξ＝3)＝C2＝， ∴甲投中次數(shù)的均值 E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝， ∴E(η)>E(ξ)， ∴在比賽前，從勝負(fù)的角度考試，應(yīng)支持乙． 22．(15分)(2019浙江省金華十校期末)甲、乙同學(xué)參加學(xué)?！耙徽镜降住标J關(guān)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：①依次闖關(guān)過程中，若闖關(guān)成功則繼續(xù)答題；若沒通關(guān)則被淘汰；②每人最多闖3關(guān)；③闖第一關(guān)得10分，闖第二關(guān)得20分，闖第三關(guān)得30分，一關(guān)都沒過則沒有得分．已知甲每次闖關(guān)成功的概率為，乙每次闖關(guān)成功的概率為. (1)設(shè)乙的得分總數(shù)為ξ，求ξ的分布列和均值； (2)求甲恰好比乙多30分的概率． 解　(1)ξ的可能取值為0,10,30,60. P(ξ＝0)＝1－＝， P(ξ＝10)＝＝， P(ξ＝30)＝＝， P(ξ＝60)＝3＝. 則ξ的分布列如下表： ξ 0 10 30 60 P E(ξ)＝0＋10＋30＋60＝. (2)設(shè)甲恰好比乙多30分為事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B2，則A＝B1∪B2，B1，B2為互斥事件． P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2) ＝2＋3＝. 所以甲恰好比乙多30分的概率為.