湖南省高中數(shù)學(xué)第2輪總復(fù)習(xí) 專題3第12講 函數(shù)、幾何背景下的數(shù)列綜合問題課件 文 新人教版

專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明1幾何背景下的數(shù)列綜合問題，一般是以幾何問題為載體，構(gòu)成數(shù)列情境，內(nèi)容往往涉及幾何、數(shù)列、方程等方面，問題求解應(yīng)根據(jù)題設(shè)理清思路，利用數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化化歸思想，破譯問題情境，轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列或簡單的遞推數(shù)列，從而解決問題2nmnaaS函數(shù)背景下的數(shù)列綜合問題，一般通過某個函數(shù)建立 、之間的等量關(guān)系式，是數(shù)列與函數(shù)的一種常見的綜合問題，求解的基本思路是從函數(shù)的角度思考問題，有效地利用函數(shù)的性質(zhì)，特別是導(dǎo)數(shù)工具，逐步過渡為數(shù)列問題從而解決問題*1()212 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 ijiaijiji N把正數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：設(shè)、是位于這個數(shù)中從上往下數(shù)第 行、從左往右數(shù)第 個例1數(shù)數(shù)表中第 行共有一、數(shù)陣問整題個正數(shù) 2112233122223422010112233444()12ijnnnnaijAaaaaAAAAnAnn若，求 、 的值；把，通過觀察 與，與， 與，與，猜想當(dāng)時，與的大小關(guān)系 不要求證明 211101110101122332“”1 2 222121.220102211.010212010982010 21127.ijnnniijijnaAnajajAaaija 思路：首先根據(jù)信息容易得到每行數(shù)的個數(shù)，再依據(jù) 與數(shù)表位置的關(guān)系而求解；第問的關(guān)鍵是得到 表達式，再用 歸納猜想 的方法解決數(shù)表中前 行共有個數(shù)，所以因為，所以令，解得因為解析：21(1 2 22) 1 2 31 nnnan ，2222222222121232 2.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnn nAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn 所以當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)當(dāng)時，則；時，猜想2222222222121232 2.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnn nAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn 所以當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)當(dāng)時，則；時，猜想24222122222434242162322232(4)2232222232.213123222645621022nkkknnnkknk kkkkkkkkkkkkkkk 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確當(dāng)時，即成立；假設(shè)當(dāng)時，則因為，212222213122.21324224.(4321,2,3224.knnnnnnAnnnAnnkknknnnnAnnnnn 所以即當(dāng)時，猜想也正確由得，當(dāng)時，成綜上立，即所述，當(dāng)時，當(dāng)時，證明當(dāng)時，還可用下面；當(dāng)時，的方法：0123nnnn2421 1CCC1121261321.)22nnnCn nn nnnn nnnn 當(dāng)時，分析數(shù)陣問題的關(guān)鍵是識圖識表，理解圖所含信息給出的規(guī)律，突破了這點就較容易轉(zhuǎn)化為基本的數(shù)列問題了，然后利用數(shù)列的基本知識、方法與技巧便可解【點評】決問題 11*1121233312()1(0112)01()111.xxnnnnnnnnnnyfxxf aaaaaab baf anaTaaaSaaaQTSQaaaRN已知函數(shù)滿足：，且，定義數(shù)列，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；設(shè)，試用二、函數(shù)背景下，表例2的數(shù)示列問題 1113332212333222331233312*131111.011111111111(.12)11xxxnnnnnnf aaa af xaxaf aa aababababaQaaab aaaTa a abab aaa naTbSaaa N因為，所以，所以又，所以所以數(shù)列為首項為 ，公比為 ，各項為正的等比方數(shù)列因為，所以又法 ：解析：3233331.aQSTa，所以3123332132132131333123321313223113311232212131332333T1111111111112()()()22.3.Ta a aTa a aa a aa aa aQQaaaaaaQaaaaaaaaaaaaaaa aaTa aa aQS方，所以，又，所所以法2：以解決函數(shù)背景下的數(shù)列問題的切入點是依據(jù)題設(shè)條件，探究數(shù)列的簡單遞推關(guān)系式或通項公式，將問題化歸為數(shù)列基本問【點評】題求解 *11112221212(2011)1,0(0)112).2knnnnPCyxxkkMMxPPCMMxPMMMaaaaakN過點作曲線 ：，的切線，切點為，設(shè)在 軸上的投影是點又過點 作曲線 的切線，切點為，設(shè)在 軸上的投影是點 ， ，依此下去，得到一系列點， ， ，設(shè)它們的橫坐標 ， ， ， 構(gòu)成數(shù)列求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其三、幾何背景下的數(shù)通項公式；當(dāng)例3常德月問題考列時，令 .nnnnnbbnSa，求數(shù)列的前 項和利用求導(dǎo)數(shù)這一工具求出切線斜率，進而求出切線方程，通過求點的坐標等價轉(zhuǎn)化成數(shù)分析:列問題 11111111,11()11,0011100.1()11111kknnnkknnkknnnnnnnnnnyxykxMaayaka xanPkakaaaknPaakakaaaakkkakkakka對求導(dǎo)數(shù)，得，則切點是， 的切線方程是當(dāng)時，切線過點，即，得；當(dāng)時，切線過點，即，得所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為解析：，*.nN 2323412311122.212322221113.22222111112222221111221.1222122.222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnkabnbnSnSnSSnnn 當(dāng)時，數(shù)列的前 項和，得兩式相所以減，得 1()第問看似繁雜，但只要理清了思路利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程 ，再加上運算細心，也就迎刃【點評】而解了 1*11231232(202)45.21.1110)4281nnnnnnnnnnanSaSyxnbaaabf xb xb xb xb xffnnN已知東北三校第一次數(shù)列的前 項和為 ，點，在直線上，其中令，且求數(shù)列的通項公式；若，求聯(lián)考備選題 的表達式，并比較與的大小 11*1*111*11*1111211214254343(2)44(2)222(2)22(2)22124nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSannaSSaannaaaannbaannbaabqbaaaaaNNNN因為，即，所以，所以，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，其解析:公比為，首項，而21111316426224.nnnaabb，且，所以，所以，所以 2312321123123234134522341222312312223 22 212223 221222224 122421221nnnnnnnnnnnnf xb xb xb xb xfxbb xb xnb xfbbbnbfnfnfnn 因為，所以，所以，所以， 所以，得： 2221412nnnfn，所以， 22222201118441 24 214122111840184218444540184341021 1CCCC222123321.nnnnnnnnnnnfnnnnnnnnnfnnfnnnfnnfnnnnnnnnf 所以當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以；當(dāng)所以當(dāng)時，且，所以當(dāng)時，總有時，總有 2184 .nn數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合力度所以，解決此類題目僅靠掌握一點數(shù)列的基本知識，無異于杯水車薪，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價轉(zhuǎn)化”等