陜西省漢中市陜飛二中高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三第三講 推理與證明課件

第三講第三講 推理與證明推理與證明1合情推理合情推理(1)歸納推理歸納推理歸納推理是由某類事物的歸納推理是由某類事物的 具有某些特征，推出該具有某些特征，推出該類事物的類事物的 都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出概括出 的推理的推理歸納推理的思維過(guò)程如下：歸納推理的思維過(guò)程如下：部分對(duì)象全部對(duì)象一般結(jié)論(2)類比推理類比推理類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理類比推理的思維過(guò)程如下：類比推理的思維過(guò)程如下：2演繹推理演繹推理“三段論三段論”是演繹推理的一般模式，包括：是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提大前提已知的一般原理已知的一般原理(2)小前提小前提所研究的特殊情況所研究的特殊情況(3)結(jié)論結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷3直接直接證明證明(1)綜合法綜合法用用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所表示所要要證明證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：(2)分析法分析法用用Q表示要表示要證明證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：4間接證明間接證明用反證法證明命題用反證法證明命題“若若p則則q”的過(guò)程可以用如圖所示的框圖的過(guò)程可以用如圖所示的框圖表示表示5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的步驟為：有關(guān)命題的步驟為：(1)證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；時(shí)命題成立；(2)假設(shè)假設(shè)nk(kn0，kN)時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明證明當(dāng)當(dāng)nk1時(shí)命時(shí)命題也成立；題也成立；(3)得出結(jié)論得出結(jié)論1(2011江西江西)觀察下列各式：觀察下列各式：7249,73343,742 401，則，則72 011的末兩位數(shù)字為的末兩位數(shù)字為A01B43C07 D49解析解析因?yàn)橐驗(yàn)?17,7249,73343,742 401,7516 807，76117 649，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期期T4.又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 01145023，所以，所以72 011的末兩位數(shù)字與的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，故選的末兩位數(shù)字相同，故選B.答案答案B答案答案C3(2011陜西陜西)觀察下列等式觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第照此規(guī)律，第n個(gè)等式為個(gè)等式為_(kāi)解析解析112,234932,345672552，第第n個(gè)等式為個(gè)等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.答案答案n(n1)(3n2)(2n1)24(2011福建福建)設(shè)設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合若映射是全體平面向量構(gòu)成的集合若映射f：VR滿足：對(duì)任意向量滿足：對(duì)任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以，以及任意及任意R，均有，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，則稱映，則稱映射射f具有性質(zhì)具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下映射：現(xiàn)給出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性質(zhì)其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為的映射的序號(hào)為_(kāi)(寫(xiě)出所有具有寫(xiě)出所有具有性質(zhì)性質(zhì)P的映射的序號(hào)的映射的序號(hào))解析解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)對(duì)于對(duì)于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)而而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質(zhì)具有性質(zhì)P.對(duì)于對(duì)于，f2(m)x2y，設(shè)，設(shè)a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又又是任意實(shí)數(shù)，是任意實(shí)數(shù)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故，故不具有性質(zhì)不具有性質(zhì)P.對(duì)于對(duì)于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質(zhì)具有性質(zhì)P.綜上，具有性質(zhì)綜上，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為的映射的序號(hào)為.答案答案推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，它有機(jī)地滲透到高中課推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，它有機(jī)地滲透到高中課程的各個(gè)章節(jié)，是高考考查的重點(diǎn)對(duì)象，特別是合情推理能程的各個(gè)章節(jié)，是高考考查的重點(diǎn)對(duì)象，特別是合情推理能力，高考對(duì)本部分的內(nèi)容，主要考查歸納和類比推理以及綜力，高考對(duì)本部分的內(nèi)容，主要考查歸納和類比推理以及綜合法、分析法、反證法和數(shù)學(xué)歸納法等證明方法，考查考生合法、分析法、反證法和數(shù)學(xué)歸納法等證明方法，考查考生的推理論證能力，所以在復(fù)習(xí)時(shí)要把合情推理作為復(fù)習(xí)的重的推理論證能力，所以在復(fù)習(xí)時(shí)要把合情推理作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，并且要把各種證明方法的理論搞清楚，明白各種推理論點(diǎn)，并且要把各種證明方法的理論搞清楚，明白各種推理論證方法的基本原理和適用環(huán)境，在具體應(yīng)用中把推理論證方證方法的基本原理和適用環(huán)境，在具體應(yīng)用中把推理論證方法的理論和實(shí)踐結(jié)合起來(lái)法的理論和實(shí)踐結(jié)合起來(lái)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類通過(guò)計(jì)算機(jī)已找到了隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類通過(guò)計(jì)算機(jī)已找到了630萬(wàn) 位 的 最 大 質(zhì) 數(shù) 某 同 學(xué) 在 學(xué) 習(xí) 中 發(fā) 現(xiàn) 由萬(wàn) 位 的 最 大 質(zhì) 數(shù) 某 同 學(xué) 在 學(xué) 習(xí) 中 發(fā) 現(xiàn) 由41,43,47,53,61,71,83,97組成的數(shù)列中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，他組成的數(shù)列中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，他根據(jù)這列數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式，得出了數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它根據(jù)這列數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式，得出了數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)于是他斷言：根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式寫(xiě)出的數(shù)均為們也是質(zhì)數(shù)于是他斷言：根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式寫(xiě)出的數(shù)均為質(zhì)數(shù)則這個(gè)通項(xiàng)公式為質(zhì)數(shù)則這個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)，該同學(xué)斷言是，該同學(xué)斷言是_的的(填填“正確正確”或者或者“錯(cuò)誤錯(cuò)誤”)合情推理合情推理【解析】【解析】根據(jù)題意知，通項(xiàng)公式根據(jù)題意知，通項(xiàng)公式an412462(n1)n(n1)41.取取n41，得，得an41411 681，顯，顯然不是質(zhì)數(shù)，從而該同學(xué)斷言是錯(cuò)誤的故填然不是質(zhì)數(shù)，從而該同學(xué)斷言是錯(cuò)誤的故填ann(n1)41，nN，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤【答案答案】ann(n1)41(nN)；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤歸納推理與類比推理之區(qū)別歸納推理與類比推理之區(qū)別1歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論2類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)1(1)對(duì)大于或等于對(duì)大于或等于2的自然數(shù)的自然數(shù)m和和n，m的的n次方冪有如下分次方冪有如下分解方式：解方式：22133213542135723353379114313151719根據(jù)上述分解規(guī)律，則根據(jù)上述分解規(guī)律，則5213579，若，若m3(mN)的的分解中最小的數(shù)是分解中最小的數(shù)是73，則，則m的值為的值為_(kāi)解析解析m3的分解中，最小的數(shù)為的分解中，最小的數(shù)為m2m1，由由m2m173，得，得m9.答案答案9(2011陜西陜西)敘述并證明余弦定理敘述并證明余弦定理【解析】【解析】余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍或：在或：在ABC中，中，a，b，c分別為分別為A，B，C的對(duì)邊有的對(duì)邊有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.演繹推理演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確的但是，在解決和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確的但是，在解決類似的問(wèn)題時(shí)，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性類似的問(wèn)題時(shí)，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性2(2011福建福建)在整數(shù)集在整數(shù)集Z中，被中，被5除所得余數(shù)為除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組的所有整數(shù)組成一個(gè)成一個(gè)“類類”，記為，記為k，即，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4，給出如下四個(gè)結(jié)論：給出如下四個(gè)結(jié)論：2 0111；33；Z01234；“整數(shù)整數(shù)a，b屬于同一屬于同一類類”的充要條件是的充要條件是“ab0”其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A1B2C3 D4解析解析由于由于k5nk|nZ，對(duì)于，對(duì)于，2 0115等于等于402余余1，2 0111對(duì)于對(duì)于，352，被，被5除應(yīng)余除應(yīng)余2，錯(cuò)對(duì)于錯(cuò)對(duì)于，任意一整數(shù)，任意一整數(shù)x，被，被5除余數(shù)為除余數(shù)為0,1,2,3,4，x01234，正確對(duì)于正確對(duì)于，先證充，先證充分性，分性，a，b是同一類，可設(shè)是同一類，可設(shè)a5n1k，b5n2k，則，則ab5(n1n2)能被能被5整除余整除余0.下面下面證明證明必要性，若必要性，若ab0，則可設(shè)則可設(shè)ab5n，nZ，即，即a5nb，nZ.不妨令不妨令b5mk，mZ，則，則a5n5mk5(nm)k，nZ，mZ.a，b屬于同一類，故屬于同一類，故正確，則正確的有正確，則正確的有.答案答案C直接證明與間接證明直接證明與間接證明【解題切點(diǎn)】(1)構(gòu)造新數(shù)列求an與bn.(2)利用反證法證明1反證法是一種間接證明方法，如果正面證明有困難或者反證法是一種間接證明方法，如果正面證明有困難或者直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時(shí)，可以直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法證明對(duì)于題目中出現(xiàn)考慮用反證法證明對(duì)于題目中出現(xiàn)“至多至多”、“至少至少”、“均是均是”、“不都是不都是”等字眼時(shí)，從正面難以找到突破口，等字眼時(shí)，從正面難以找到突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立竿見(jiàn)影可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立竿見(jiàn)影2綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法，常用分析綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法，常用分析法尋求解決問(wèn)題的突破口，然后用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程法尋求解決問(wèn)題的突破口，然后用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程3大小不等的三個(gè)圓兩兩外切，半徑成等差數(shù)列，試證明大小不等的三個(gè)圓兩兩外切，半徑成等差數(shù)列，試證明以各圓圓心為頂點(diǎn)的三角形的三內(nèi)角不可能成等差數(shù)列以各圓圓心為頂點(diǎn)的三角形的三內(nèi)角不可能成等差數(shù)列(2011開(kāi)封模擬開(kāi)封模擬)把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有行共有2i1個(gè)正整數(shù)設(shè)個(gè)正整數(shù)設(shè)aij(i，jN)表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)(1)若若aij2 010，求，求i和和j的值；的值；(2)記記Ana11a22a33ann(nN)，試比較，試比較An與與n2n的大小，并說(shuō)明理由的大小，并說(shuō)明理由123456789101112131415數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【解題切點(diǎn)】【解題切點(diǎn)】(1)首先根據(jù)各行數(shù)字的個(gè)數(shù)推斷首先根據(jù)各行數(shù)字的個(gè)數(shù)推斷2 010所在所在的行，然后推斷的行，然后推斷2 010是這行中的第幾個(gè)數(shù)；是這行中的第幾個(gè)數(shù)；(2)ann2n1n1，求和后歸納，求和后歸納An與與n2n的大小的大小【解析】【解析】(1)因?yàn)閿?shù)表中前因?yàn)閿?shù)表中前i1行共有行共有12222i22i11個(gè)數(shù)，則第個(gè)數(shù)，則第i行的第一個(gè)數(shù)是行的第一個(gè)數(shù)是2i1，所以，所以aij2i1j1.因?yàn)橐驗(yàn)?102 010211，aij2 010，則，則i110，即，即i11.令令210j12 010，則，則j2 0102101987.1數(shù)學(xué)歸納法可證明一些與自然數(shù)數(shù)學(xué)歸納法可證明一些與自然數(shù)n有關(guān)的命題在證明時(shí)，有關(guān)的命題在證明時(shí)，要注意對(duì)命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，一般是利用公式，把所要證明的要注意對(duì)命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，一般是利用公式，把所要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知或歸納假設(shè)上來(lái)，必要時(shí)轉(zhuǎn)化要證明的結(jié)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知或歸納假設(shè)上來(lái)，必要時(shí)轉(zhuǎn)化要證明的結(jié)論論2在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第2個(gè)步驟中，突出了兩個(gè)湊字，個(gè)步驟中，突出了兩個(gè)湊字，一一“湊湊”假設(shè)，二假設(shè)，二“湊湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確結(jié)論，關(guān)鍵是明確nk1時(shí)證明時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由的目標(biāo)，充分考慮由nk到到nk1時(shí)，命題形式之間的區(qū)時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系別和聯(lián)系4試比較試比較nn1與與(n1)n(nN)的大小當(dāng)?shù)拇笮‘?dāng)n1時(shí)，有時(shí)，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當(dāng)；當(dāng)n2時(shí)，有時(shí)，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當(dāng)；當(dāng)n3時(shí)，有時(shí)，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當(dāng)；當(dāng)n4時(shí)，有時(shí)，有nn1_(n1)n(填，或填，或)猜想一個(gè)一般性結(jié)論，并猜想一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明加以證明解析解析當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，nn1121，(n1)n212，nn1(n1)n；當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，nn1238，(n1)n329，nn1(n1)n；