高中數(shù)學 第2章2.2.2第一課時等差數(shù)列的前n項和課件 新人教B版必修5

2.2.2等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和項和學習目標學習目標1.掌握等差數(shù)列的前掌握等差數(shù)列的前n項和公式，對于項和公式，對于a1，d，n，an，Sn五個量中已知三個量，求另兩個量五個量中已知三個量，求另兩個量.2靈活運用公式解決與等差數(shù)列有關的綜合靈活運用公式解決與等差數(shù)列有關的綜合問題問題3能構(gòu)建等差數(shù)列模型解決實際問題能構(gòu)建等差數(shù)列模型解決實際問題第一課時第一課時課堂互動講練課堂互動講練知能優(yōu)化訓練知能優(yōu)化訓練第第一一課課時時課前自主學案課前自主學案課前自主學案課前自主學案溫故夯基溫故夯基1等差數(shù)列的通項公式為：等差數(shù)列的通項公式為：_. 2等差數(shù)列的性質(zhì)：當?shù)炔顢?shù)列的性質(zhì)：當mnpq(m，n，p, qN)時，時，aman_，且，且a1an_.ana1(n1)dapaqa2an1知新益能知新益能提示：提示：當當d0時，時，Sn不是關于不是關于n的二次函數(shù)的二次函數(shù)2等差數(shù)列求和公式的推導等差數(shù)列求和公式的推導采用了倒序相加法，這是因為等差數(shù)列具有采用了倒序相加法，這是因為等差數(shù)列具有性質(zhì)：性質(zhì)：a1an_amanm1.3等差數(shù)列常用解法等差數(shù)列常用解法公式中有公式中有 a1，d，n，an，Sn五個量，已知三個五個量，已知三個求其余兩個，利用方程思想，確定求其余兩個，利用方程思想，確定a1，d，進，進而確定而確定an，Sn，這是等差數(shù)列有關問題的常用，這是等差數(shù)列有關問題的常用解法解法a2an1課堂互動講練課堂互動講練等差數(shù)列基本量的運算等差數(shù)列基本量的運算【分析】【分析】合理使用前合理使用前n項和公式，注意將其項和公式，注意將其變形，應用方程的思想變形，應用方程的思想【點評】【點評】a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本稱為等差數(shù)列的三個基本量，量，an和和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個都可以用這三個基本量來表示，五個量量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數(shù)列中可知三求二，即等差數(shù)列的通項公式及前的通項公式及前n項和公式中項和公式中“知三求二知三求二”的問的問題，一般是通過通項公式和前題，一般是通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方項和公式聯(lián)立方程程(組組)求解這種方法是解決數(shù)列運算的基本方求解這種方法是解決數(shù)列運算的基本方法，在具體求解過程中應注意已知與未知的聯(lián)法，在具體求解過程中應注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用系及整體思想的運用自我挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)1(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知中，已知a610, S55，求，求a8和和S8；(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知中，已知a163，求，求S31. 設設Sn是等差數(shù)列是等差數(shù)列an的前的前n項和，已知項和，已知S636，Sn324，若，若Sn6144(n6)，求項數(shù)，求項數(shù)n.【分析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立n滿足滿足的關系式的關系式【解】依題意【解】依題意a1a2a636，且且anan1an5SnSn6180.兩式相加，兩式相加，(a1an)(a2an1)(a6an5)216，【點評】【點評】在求數(shù)列的基本量的運算中，如在求數(shù)列的基本量的運算中，如果直接列方程組不易求解，一般可考慮利用果直接列方程組不易求解，一般可考慮利用性質(zhì)轉(zhuǎn)換變量關系，再求基本量性質(zhì)轉(zhuǎn)換變量關系，再求基本量自我挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)2在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，d2，an11, Sn35，求，求a1和項數(shù)和項數(shù)n. 一個水池有若干出水量相同的水龍頭，一個水池有若干出水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時放水，那么如果所有水龍頭同時放水，那么24 min可注可注滿水池如果開始時全部放開，以后每隔相滿水池如果開始時全部放開，以后每隔相等的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍等的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的間的5倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多少倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多少時間？時間？等差數(shù)列及前等差數(shù)列及前n項和應用實例項和應用實例【分析】【分析】每隔相等的時間關閉一個水龍頭，每隔相等的時間關閉一個水龍頭，則每個水龍頭放水的時間組成等差數(shù)列，用則每個水龍頭放水的時間組成等差數(shù)列，用等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和知識解決項和知識解決【解】設共有【解】設共有n個水龍頭，每個水龍頭放水個水龍頭，每個水龍頭放水時間從小到大依次為時間從小到大依次為x1，x2，xn，由已知可知由已知可知x2x1x3x2xnxn1，數(shù)列數(shù)列xn成等差數(shù)列成等差數(shù)列【點評】【點評】有關數(shù)列的應用問題，應首先通有關數(shù)列的應用問題，應首先通過對實際問題的研究建立數(shù)列的數(shù)學模型，過對實際問題的研究建立數(shù)列的數(shù)學模型，最后求出符合實際的答案，可分以下幾步考最后求出符合實際的答案，可分以下幾步考慮：慮：(1)問題中所涉及的數(shù)列問題中所涉及的數(shù)列an有何特征？有何特征？(2)是求數(shù)列是求數(shù)列an的通項還是求前的通項還是求前n項和？項和？(3)列出等式列出等式(或方程或方程)求解求解(4)怎樣求解？怎樣求解？(5)答案是怎樣的？答案是怎樣的？自我挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)3甲、乙兩物體分別從相距甲、乙兩物體分別從相距70 m的的兩處同時運動，甲第兩處同時運動，甲第1分鐘走分鐘走2 m，以后每分鐘，以后每分鐘比前比前1分鐘多走分鐘多走1 m，乙每分鐘走，乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？(2)如果甲、乙到達對方起點后立即折返，甲繼如果甲、乙到達對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前續(xù)每分鐘比前1分鐘多走分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定【分析】【分析】本題證本題證an是等差數(shù)列，只要用等是等差數(shù)列，只要用等差數(shù)列的定義或它的判定方法證就可以了差數(shù)列的定義或它的判定方法證就可以了【點評】【點評】(1)要掌握好判定數(shù)列是等差數(shù)列的要掌握好判定數(shù)列是等差數(shù)列的方法，有以下幾種：方法，有以下幾種：利用定義：利用定義：an1and(常數(shù)常數(shù))(nN)從第二項開始，任何一項都是它前一項與后從第二項開始，任何一項都是它前一項與后一項的等差中項，也是它前后與它等距離的兩一項的等差中項，也是它前后與它等距離的兩項的等差中項項的等差中項通項公式：通項公式：andnc(d，c為常數(shù)為常數(shù))，d是公差是公差,換言之，當換言之，當d0時，通項公式時，通項公式an是是n的一次函數(shù)的一次函數(shù),斜率恰好為它的公差，斜率恰好為它的公差，d0時是常數(shù)列時是常數(shù)列前前n項和公式：項和公式：Snan2bn(a，b為常數(shù)為常數(shù))，其中二次項系數(shù)其中二次項系數(shù)a恰是公差的一半，換言之，恰是公差的一半，換言之，d0時，前時，前n項和是項和是n的二次函數(shù)且常數(shù)項為的二次函數(shù)且常數(shù)項為0, d0時，時，Snna1是是n的正比例函數(shù)，此時數(shù)列的正比例函數(shù)，此時數(shù)列是常數(shù)列是常數(shù)列(2)本題是用的方法證明的本題是用的方法證明的