成人高考專升本《高等數(shù)學(xué)一》模擬題及解析

模擬試卷（一）一. 選擇題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。 *1. 當(dāng)時，與比較是（ ） A. 是較高階的無窮小量 B. 是較低階的無窮小量 C. 與是同階無窮小量，但不是等價無窮小量 D. 與是等價無窮小量 解析： 故選C。 *2. 設(shè)函數(shù)，則等于（ ） A. B. C. D. 解析： 選C 3. 設(shè)，則向量在向量上的投影為（ ） A. B. 1C. D. *4. 設(shè)是二階線性常系數(shù)微分方程的兩個特解，則（ ） A. 是所給方程的解，但不是通解 B. 是所給方程的解，但不一定是通解 C. 是所給方程的通解 D. 不是所給方程的通解 解：當(dāng)線性無關(guān)時，是方程的通解；當(dāng)線性相關(guān)時，不是通解，故應(yīng)選B。 *5. 設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處必定（ ） A. 發(fā)散B. 條件收斂 C. 絕對收斂D. 斂散性不能確定 解：在處收斂，故冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間，而，故在處絕對收斂。 故應(yīng)選C。二. 填空題：本大題共10個小題，10個空。每空4分，共40分，把答案寫在題中橫線上。 6. 設(shè)，則_。 7. ，則_。 8. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值是_。 9. 設(shè)，則_。 *10. 定積分_。 解： *11. 廣義積分_。 解： *12. 設(shè)，則_。 13. 微分方程的通解為_。 *14. 冪級數(shù)的收斂半徑為_。 解： ，所以收斂半徑為 15. 設(shè)區(qū)域D由y軸，所圍成，則_。三. 解答題：本大題共13個小題，共90分，第16題第25題每小題6分，第26題第28題每小題10分。解答時要求寫出推理，演算步驟。 16. 求極限。 *17. 設(shè)，試確定k的值使在點處連續(xù)。 解： 要使在處連續(xù)，應(yīng)有 18. 設(shè)，求曲線上點（1，2e+1）處的切線方程。 19. 設(shè)是的原函數(shù)，求。 20. 設(shè)，求。 *21. 已知平面，。 求過點且與平面都垂直的平面的方程。 的法向量為，的法向量 所求平面與都垂直，故的法向量為 所求平面又過點，故其方程為：即： 22. 判定級數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂。 *23. 求微分方程滿足初始條件的特解。 由，故所求特解為 *24. 求，其中區(qū)域D是由曲線及所圍成。 因區(qū)域關(guān)于y軸對稱，而x是奇函數(shù)，故 *25. 求微分方程的通解。 解：特征方程： 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 （1） 因是特征值，故可設(shè)特解為 代入原方程并整理得： 故所求通解為： 26. 求函數(shù)的極值點與極值，并指出曲線的凸凹區(qū)間。 *27. 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)。 *28. 求函數(shù)的極值點與極植。 解：令 解得唯一的駐點（2，-2） 由且，知（2，-2）是的極大值點 極大值為【試題答案】一. 1. 故選C。 2. 選C 3. 解：上的投影為： 應(yīng)選B 4. 解：當(dāng)線性無關(guān)時，是方程的通解；當(dāng)線性相關(guān)時，不是通解，故應(yīng)選B。 5. 解：在處收斂，故冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間，而，故在處絕對收斂。 故應(yīng)選C。二. 6. 解： 令得： 7. 由 8. 解：，故y在1，5上嚴(yán)格單調(diào)遞增，于是最小值是。 9. 解： 10. 解： 11. 解： 12. 13. 解：特征方程為： 通解為 14. 解： ，所以收斂半徑為 15. 解：三. 16. 解： 17. 解： 要使在處連續(xù)，應(yīng)有 18. 解：，切線的斜率為 切線方程為：，即 19. 是的原函數(shù) 20. 解： 21. 的法向量為，的法向量 所求平面與都垂直，故的法向量為 所求平面又過點，故其方程為：即： 22. 解：滿足（i），（ii） 由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂 又因，令，則 與同時發(fā)散。 故原級數(shù)條件收斂。 23. 由，故所求特解為 24. 因區(qū)域關(guān)于y軸對稱，而x是奇函數(shù)，故 25. 解：特征方程： 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 （1） 因是特征值，故可設(shè)特解為 代入原方程并整理得： 故所求通解為： 26. ，令得駐點，又 故是的極小值點，極小值為： 因，曲線是上凹的 27. 28. 解：令 解得唯一的駐點（2，-2） 由且，知（2，-2）是的極大值點 極大值為12