高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考綱《不等式的證明》課件28 理

第 6 講 不等式的證明常用的證明不等式的方法(1)比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論為了判斷作差后的符號，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A B1B2Bn B，及從已知條件 A 出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論 B.(3)分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”綜合過程有時(shí)正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定AB. 凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法(5)放縮法：要證明不等式 A0，且 a1，若 Ploga (a31)，Qloga (a21)，則 P 與 Q 的大小關(guān)系為()AAPQBPQCPQAbc 時(shí)，前兩項(xiàng)為正，最后一項(xiàng)為負(fù)，如何使得三項(xiàng)之和為正，成為問題的關(guān)鍵，需采用“拆”的技巧，把第三項(xiàng)并入前兩項(xiàng)中去，于是想到 ca(ca)ca(cb)(ba)ca(cb)ca(ba)，問題便迎刃而解證明：左一右ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(bc)ca(cb)(ba)a(ab)(bc)c(bc)(ba)(ab)(bc)(ac)例例 1：已知：abc，求證：a2bb2cc2aab2bc2ca2.abc，(ab)(bc)(ca)0.因此：a2bb2cc2aab2bc2ca2.比較法證不等式步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其化簡目標(biāo)應(yīng)是 n 個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論第三步：得出結(jié)論【互動(dòng)探究】證明：ab1，ax2by2(axby)2 ax2by2a2x22abxyb2y2a(1a)x2b(1b)y22abxyabx2bay22abxyab(xy)2.又 a、bR+，ab(xy)2 0.ax2by2(axby)2.考點(diǎn) 2綜合法【互動(dòng)探究】1b 1a考點(diǎn) 3反證法例 3：已知 a0，b0，且 ab2.求證：1ba，1ab中至少解題思路：由于題目結(jié)論是：至少有一個(gè)小于 2，情況較復(fù)雜，討論起來比較繁，宜采用反證法證明：假設(shè)1ba，1ab都不小于 2，則1ba2，1ab2.a0，b0，1b2a,1a2b，兩式相加可得 1b1a2(ab)，即 ab2，這與已知 ab2 矛盾故假設(shè)不成立因此：，a b，中至少有一個(gè)小于 2.有一個(gè)小于 2.從正難則反的角度考慮，即要證明不等式 AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定 AB，凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法【互動(dòng)探究】3若 0 x、y、zB，可適當(dāng)選擇一個(gè) C，使得 CB，反之亦然主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時(shí)的證明一般的放縮技巧有：分式放縮：固定分子，放縮分母；固定分母，放縮分子多見于分式類不等式的證明；添舍放縮：視情況丟掉或增多一些項(xiàng)進(jìn)行放縮，多見于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明【互動(dòng)探究】用分析法論證“若 A 則 B”這個(gè)命題的模式是：欲證命題 B 為真，只需證明命題 B1 為真，從而又只需證明命題B2 為真，從而又只需證明命題 A 為真，今已知 A 真，故 B必真簡寫為：B B1 B2 Bn A.論中正確的是()DA(a1)(c1)0Cac1Bac1Dac1解析：若 1abc，f(x)|lgx|lgx 單調(diào)遞增，f(a) f(b) f(c)，不成立，若 0abcf(b)f(c)，不成立，故 0a1，由 f(a) f(c)得：lgalgc，即 lgac0，0ac1.【互動(dòng)探究】5設(shè) f(x)|lgx|，若 0ab f(c) f(b)，則下列結(jié)2數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)不等式是一個(gè)與自然數(shù) n 有關(guān)的命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明3構(gòu)造法：在不等式的證明中，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，如構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明