高中數(shù)學(xué)第一章 常用邏輯用語選修一7 全稱量詞與存在量詞

1.4 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞P21 思考：下列語句是命題嗎？下列語句是命題嗎？(1)與與(3)，(2)與與(4)之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？(1)x3；(2)2x+1是整數(shù)；是整數(shù)；(3)對所有的對所有的xR，x3；(4)對任意一個對任意一個xZ，2x+1是整數(shù)是整數(shù)。語句語句(1)(2)(1)(2)不能判斷真假，不是命題；不能判斷真假，不是命題；語句語句(3)(4)(3)(4)可以判斷真假，是命題。可以判斷真假，是命題。全稱量詞、全稱命題定義：全稱量詞、全稱命題定義：短語短語“所有的所有的”“”“任意一個任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號用符號“ ”“ ”表示。表示。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。常見的全稱量詞還有常見的全稱量詞還有“一切一切” “每一個每一個” “任給任給” “所有的所有的”等等 。 全稱命題舉例：全稱命題舉例：全稱命題符號記法：全稱命題符號記法：命題：對任意的nZ，2n+1是奇數(shù)； 所有的正方形都是矩形。 通常，將含有變量通常，將含有變量x的語句用的語句用p(x), q(x), r(x),表示，變量表示，變量x的取值范圍用的取值范圍用M表示，那么，表示，那么，( ),xMp x ，全稱命題全稱命題“對對M中任意一個中任意一個x，有，有p(x)成立成立 ”可用符號簡記為：可用符號簡記為：讀作讀作“對任意對任意x屬于屬于M，有，有p(x)成立成立”。解：解：（1）假命題；）假命題； （2）真命題；）真命題； （3）假命題。）假命題。例例1 判斷下列全稱命題的真假：判斷下列全稱命題的真假：（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2） （3）對每一個無理數(shù)）對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)。也是無理數(shù)。2,1 1;xR x 小小 結(jié)：結(jié)： 判斷全稱命題 xM,p(x)是真命題的方法： 判斷全稱命題 xM,p(x)是假命題的方法：需要對集合需要對集合M中每個元素中每個元素x，證明，證明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一個元素中找到一個元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可 （舉反例）（舉反例）P23 P23 練習(xí)：練習(xí)：1 判斷下列全稱命題的真假：判斷下列全稱命題的真假：（1）每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；）每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）任何實數(shù)都有算術(shù)平方根）任何實數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）2 |xx xx 是無理數(shù) ， 是無理數(shù)。P22 思考：下列語句是命題嗎？下列語句是命題嗎？(1)與與(3)，(2)與與(4)之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？(1)2x+1=3；(2)x能被能被2和和3整除；整除；(3)存在一個存在一個x0R，使，使2x+1=3；(4)至少有一個至少有一個x0Z，x能被能被2和和3整除。整除。語句語句(1)(2)(1)(2)不能判斷真假，不是命題；不能判斷真假，不是命題；語句語句(3)(4)(3)(4)可以判斷真假，是命題?？梢耘袛嗾婕伲敲}。存在量詞、特稱命題定義：存在量詞、特稱命題定義：短語短語“存在一個存在一個”“”“至少有一個至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量在邏輯中通常叫做存在量詞，詞，并用符號并用符號“ ”“ ”表示。表示。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。常見的存在量詞還有常見的存在量詞還有“有些有些”“”“有一個有一個”“對某個對某個”“”“有的有的”等等 。 特稱命題舉例：特稱命題舉例：特稱命題符號記法：特稱命題符號記法：命題：有的平行四邊形是菱形；命題：有的平行四邊形是菱形； 有一個素數(shù)不是奇數(shù)。有一個素數(shù)不是奇數(shù)。 通常，將含有變量通常，將含有變量x的語句用的語句用p(x), q(x), r(x),表示，變量表示，變量x的取值范圍用的取值范圍用M表示，那么，表示，那么，00(),xMp x，特稱命題特稱命題“存在存在M中的一個中的一個x0，使，使p(x0)成立成立 ”可用符號簡記為：可用符號簡記為：讀作讀作“存在一個存在一個x0屬于屬于M，使，使p(x0)成立成立”。解：解：（1）假命題；）假命題； （2）假命題；）假命題； （3）真命題。）真命題。例例2 判斷下列特稱命題的真假：判斷下列特稱命題的真假：（1）有一個實數(shù)）有一個實數(shù)x0，使，使x02+2x0+3=0；（2）存在兩個相交平面垂直于同一條直線；）存在兩個相交平面垂直于同一條直線； （3）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)。）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)。小小 結(jié)：結(jié)：00判斷特稱命題 xM,p(x )是真命題的方法：00判斷特稱命題 xM,p(x )是假命題的方法：需要證明集合需要證明集合M中，使中，使p(x)成立的元素成立的元素x不存在。不存在。只需在集合只需在集合M中找到一個元素中找到一個元素x0，使得，使得p(x0) 成立即可成立即可 （舉例證明）（舉例證明）P23 P23 練練 習(xí)：習(xí)：2 判斷下列特稱命題的真假：判斷下列特稱命題的真假：（1）（2）至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；）至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；（3）200 |xx xx是無理數(shù) ，是無理數(shù)。00,0;xR x解：解：（1）真命題；）真命題； （2）真命題；）真命題； （3）真命題。）真命題。練習(xí) （2）存在這樣的實數(shù)它的平方等于它本身。）存在這樣的實數(shù)它的平方等于它本身。 （3）任一個實數(shù)乘以）任一個實數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)；都等于它的相反數(shù)； （4）存在實數(shù)）存在實數(shù)x，x3x2； 3、用符號、用符號“ ”與與“ ”表達(dá)下列命表達(dá)下列命題：題： （1）實數(shù)都能寫成小數(shù)形式；）實數(shù)都能寫成小數(shù)形式；小結(jié)：2 2、全稱命題的符號記法。、全稱命題的符號記法。 1、全稱量詞、全稱命題的定義。、全稱量詞、全稱命題的定義。 3、判斷全稱命題真假性的方法。、判斷全稱命題真假性的方法。 4、存在量詞、特稱命題的定義。、存在量詞、特稱命題的定義。5、特稱命題的符號記法。、特稱命題的符號記法。 6、判斷特稱命題真假性的方法。、判斷特稱命題真假性的方法。 同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：命題命題 全稱命題全稱命題特稱命題特稱命題所有的所有的xM，p(x)成立成立對一切對一切xM，p(x)成立成立對每一個對每一個xM，p(x)成成 立立任選一個任選一個xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一個至少有一個x0M，使，使 p(x)成立成立對有些對有些x0M，使，使p(x)成成 立立對某個對某個x0M，使，使p(x)成成 立立有一個有一個x0M，使，使p(x)成成 立立, ( )xM p x 0, ( )xM p x表述方法表述方法作業(yè) 1、P31第第5題。題。 2、設(shè)、設(shè)a、b、c均為非零實數(shù)，求證：方程均為非零實數(shù)，求證：方程 ax2+2bx+c=0， bx2+2cx+a=0， cx2+2ax+b=0中至少有一個有實數(shù)根。中至少有一個有實數(shù)根。