高一數(shù)學(xué)《第一講 函數(shù)》課件

第一講第一講 函數(shù)函數(shù)函數(shù)的高考要求函數(shù)的高考要求：2 2掌握函數(shù)關(guān)系的建立，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握互為反函掌握函數(shù)關(guān)系的建立，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握互為反函 數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系3 3理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的最大值、最小值的概念，理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的最大值、最小值的概念， 并能判定簡(jiǎn)單函數(shù)的這些性質(zhì)，能利用函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對(duì)稱(chēng)性并能判定簡(jiǎn)單函數(shù)的這些性質(zhì)，能利用函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對(duì)稱(chēng)性 的關(guān)系描繪函數(shù)的圖象的關(guān)系描繪函數(shù)的圖象4 4掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方 程和對(duì)數(shù)方程程和對(duì)數(shù)方程5 5掌握二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，并能綜合解掌握二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，并能綜合解 決相關(guān)問(wèn)題決相關(guān)問(wèn)題1 1理解和掌握集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集、命題的四種形式與等價(jià)理解和掌握集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集、命題的四種形式與等價(jià) 命題、充要條件等概念，能掌握集合與命題的有關(guān)述語(yǔ)和符號(hào)，以集命題、充要條件等概念，能掌握集合與命題的有關(guān)述語(yǔ)和符號(hào)，以集 合語(yǔ)言和集合思想為工具，能正確的表示函數(shù)的定義域、值域、方程合語(yǔ)言和集合思想為工具，能正確的表示函數(shù)的定義域、值域、方程 與不等式的解集、曲線的軌跡方程及其交點(diǎn)等問(wèn)題與不等式的解集、曲線的軌跡方程及其交點(diǎn)等問(wèn)題 一、函數(shù)的概念及性質(zhì)一、函數(shù)的概念及性質(zhì)例例1已知函數(shù)已知函數(shù)y = f（x） （定義域?yàn)槎x域?yàn)镈，值域?yàn)?，值域?yàn)锳）有反函數(shù)）有反函數(shù)y= f -1-1（x）， 則方程則方程 f（x）=0有解有解x=a，且，且f（x）x（xD）的充要條件是）的充要條件是y= f - -1（x） 滿足滿足 答：函數(shù)答：函數(shù)f - -1（x）的圖象在直線的圖象在直線y= x的下方且過(guò)點(diǎn)（的下方且過(guò)點(diǎn)（0，a） 例例2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）= sin2x，若，若f（x+t）是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則t的一個(gè)可能值是的一個(gè)可能值是 答：答：t的一個(gè)可能值是，的一個(gè)可能值是，kZ 41k2 分析分析:24或或: f - -1（0）=a 且且f - -1（x） x（ x ）f（x+t）=sin2（x+t）sin2（x+ ） =sin（2x+ ）=cos2x , ，sin2（x+ ） =sin（2x+ ）= - -cos2x ,4323 例例3. 已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= x2- -2ax- -b （xR），給出下列命題：），給出下列命題：f（x）必是偶函數(shù)；必是偶函數(shù)；當(dāng)當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)，時(shí)，f（x）的圖象必關(guān)于直線的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)；若若a2+b0，則，則f（x）在區(qū)間在區(qū)間 a，+ 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；f（x）有最大值有最大值 a2+b 其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是 分析：分析： 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，xR，f（x）是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 由由f（0）=f（2）得得 - -b = 4- -4a- -b ，此時(shí)，此時(shí)，a=1或或a=1- - b， 212對(duì)后者，當(dāng)對(duì)后者，當(dāng)b0時(shí)，其圖象不關(guān)于直線時(shí)，其圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) 若若a2+b0，則，則 = 4（a2+b）0，f（x）=x2- -2ax- -b =（x- -a）- -a2- -b ， 可知：命題可知：命題是正確是正確 雖然當(dāng)雖然當(dāng)x=a時(shí)，時(shí)，（x- -a）- -a2- -b有最小值有最小值- -a2- -b， 2但不能確定但不能確定f（x） x2- -2ax- -b （xR）有最大值）有最大值 a2+b ， 因此正確命題的序號(hào)應(yīng)為因此正確命題的序號(hào)應(yīng)為 例例4已知函數(shù)已知函數(shù)y=f（x）是定義在是定義在R上的周期函數(shù)，周期上的周期函數(shù)，周期T=5 ，函數(shù)，函數(shù) y = f（x） （- -1x1）是奇函數(shù)又知）是奇函數(shù)又知y=f（x）在在0，1上是一次函數(shù)，在上是一次函數(shù)，在1，4上上 是二次函數(shù)，且在是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值時(shí)函數(shù)取得最小值- -5 （）證明：）證明：f（1）+ f（4）= 0； （）試求）試求y=f（x）分別在分別在1，4、4，9上的解析式上的解析式分析（分析（）函數(shù)函數(shù)y=f（x）是以是以5為周期的周期函數(shù)，且在為周期的周期函數(shù)，且在x- -1，1上是奇函數(shù)，上是奇函數(shù)， f（4）= 從而從而 f（1）+ f（4）= 0 （）當(dāng)）當(dāng)x1，4時(shí)，由題意可設(shè)：時(shí)，由題意可設(shè)：f（x）= a（x- -2）- -5 （a0），），由由f（1）+ f（4）= 0得得 f（x）= 2（x- -2）- -5 （1x4） f（x）在在x- -1，1上是奇函數(shù)，上是奇函數(shù)，222a（1- -2）- -5+ a（4- -2）- -5 = 0，解得解得a=2 ，2f（4- -5）= f（- -1）= - - f（1）， 當(dāng)當(dāng)x - -1，0)時(shí)，時(shí)， 又又f（1）= k1= k， k= - -3， f（0）= - - f（0），f（0）= 0又又y=f（x）在在x0，1上是一次函數(shù)上是一次函數(shù)， 可設(shè)可設(shè)f（x）= kx，x0，1， f（1）=2（1- -2） - -5= - -3， 當(dāng)當(dāng)x0，1時(shí)，時(shí)，f（x）= - -3x 2 當(dāng)當(dāng)x4，6時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)x- -1，1時(shí)，時(shí)，f（x）= - -3x 當(dāng)當(dāng)x（6，9時(shí)，時(shí)，x- -5(1，4 ， x- -5- -1，1， f（x）= f（x- -5）= - -3（x- -5）= - -3x+15f（x）= f（x- -5）= 2（x- -5）- -2 - - 5 = 2（x- -7） - - 5 22 f（x）= - -3x+15 , x4，62( (x- -7）- - 5 , x（6，920- -x1，f（x）= - - f（- -x）= - -3x，例例4已知函數(shù)已知函數(shù)y=f（x）是定義在是定義在R上的周期函數(shù)，周期上的周期函數(shù)，周期T=5 ，函數(shù)，函數(shù) y = f（x） （- -1x1）是奇函數(shù)又知）是奇函數(shù)又知y=f（x）在在0，1上是一次函數(shù)，在上是一次函數(shù)，在1，4上上 是二次函數(shù)，且在是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值時(shí)函數(shù)取得最小值- -5 （）證明：）證明：f（1）+ f（4）= 0； （）試求）試求y=f（x）分別在分別在1，4、4，9上的解析式上的解析式回顧回顧:1,40,1-1,0)-1,14,61,46,94,9（）f（1） = - - f（- -1）= - - f（- -1+5）= - -f（4）f（1）+ f（4）= 0（）例例5已知集合已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零的全體：存在非零常數(shù)常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）=T f（x）成立成立（1）函數(shù)）函數(shù)f（x）= x是否屬于集合是否屬于集合M？說(shuō)明理由；？說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（a0且且a1）的圖象與）的圖象與y= x的圖象有公共點(diǎn)的圖象有公共點(diǎn)證明：證明：f（x）= ax M；（3）若函數(shù)）若函數(shù) f（x）=sinKxM，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)K的取值范圍的取值范圍分析：分析：（）（）任取非零實(shí)數(shù)任取非零實(shí)數(shù)TR， 當(dāng)當(dāng)x = - - T時(shí)，時(shí)，f（x+T）= f（ - - T +T）= f（0）=0， Tf（x）= Tf（ - - T ）= T（- -T）= - - T2， 而而T0， Tf（x）0，從而從而f（x+T）Tf（x）不存在非零常數(shù)不存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）=T f（x）成立成立f（x）= x M（2） 由題意可知：公共點(diǎn)在第一象限由題意可知：公共點(diǎn)在第一象限 設(shè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為設(shè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為T(mén)（T0），）， 于是（于是（T， aT）與（）與（T，T）重合，）重合，aT=T， 任取任取xR，f（x+T）= ax+T = ax aT= axT= Tf（x）， f（x）= axM （3） 當(dāng)當(dāng)K=0時(shí)，時(shí)，f（x）=0，顯然，顯然f（x）=0M當(dāng)當(dāng)K0時(shí)，時(shí)， f（x）=sinKxM， 存在非零常數(shù)存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）= Tf（x）成立成立 即即 sin（Kx+KT）=T sinKx恒成立恒成立 K0且且xR， KxR，Kx+KTR， sin（Kx+KT）- -1，1， 而而TsinKx- - T ， T ， sin（Kx+KT）=T sinKx恒成立，恒成立， - -1，1= - - T ， T ， T =1，T=1 當(dāng)當(dāng)T=1時(shí)，時(shí)，sin（Kx+K）= sinKx恒成立，恒成立， K=2m （mZ） 當(dāng)當(dāng)T= - -1時(shí)，時(shí)，sin（Kx+K）= - -sinKx恒成立，恒成立， K =（2m- -1） ，（，（mZ）綜上所述，綜上所述，K的取值范圍是的取值范圍是K K= m ，mZ二、函數(shù)的思想方法及應(yīng)用二、函數(shù)的思想方法及應(yīng)用 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍使用的方法提煉數(shù)學(xué)思想方法，把握數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍使用的方法提煉數(shù)學(xué)思想方法，把握數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)會(huì)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的”提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、把數(shù)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力和發(fā)展智力結(jié)合起來(lái)的關(guān)鍵近幾年的數(shù)學(xué)高考試學(xué)學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力和發(fā)展智力結(jié)合起來(lái)的關(guān)鍵近幾年的數(shù)學(xué)高考試卷十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，并貫穿于整個(gè)試卷之中卷十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，并貫穿于整個(gè)試卷之中 例例1設(shè)奇函數(shù)設(shè)奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)槎x域?yàn)? -5，5 ，若當(dāng)，若當(dāng)x0，5 時(shí)，時(shí)， f（x）的圖象如下圖所示，的圖象如下圖所示，則不等式則不等式f（x）0的解集是的解集是 分析：分析：由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，作出由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，作出f（x）在定義域內(nèi)的圖象，在定義域內(nèi)的圖象， 再由再由f（x）0找出使找出使f（x）的圖象在的圖象在x軸下方的區(qū)域，從而得到軸下方的區(qū)域，從而得到 不等式不等式f（x）0的解集為（的解集為（- -2，0） 2，5 例例2. 若函數(shù)若函數(shù)f（x）= a x b + 2在在 0，+）上為）上為 增函數(shù)，則實(shí)數(shù)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是的取值范圍是 ； a0且且b0 考慮考慮y = x 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)時(shí), ,向右平移向右平移b個(gè)單位個(gè)單位 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)時(shí), 向左平移向左平移 b 個(gè)單位個(gè)單位分析分析: :y = x- - b y = a x- b y = a x b + 2例例3一棱錐被平行于底面的平面截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，一棱錐被平行于底面的平面截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，若小棱錐及棱臺(tái)的體積分別是若小棱錐及棱臺(tái)的體積分別是y和和x，則，則y和和x的函數(shù)圖象大致形狀為（的函數(shù)圖象大致形狀為（ ） 分析：分析：y + x = V（定值），（定值），y = V- - x對(duì)應(yīng)的函數(shù)簡(jiǎn)圖應(yīng)是（對(duì)應(yīng)的函數(shù)簡(jiǎn)圖應(yīng)是（B） 例例4等腰等腰 ABC中中C=90，AB=4，P、Q分別在線段分別在線段AB、AC上，且上，且PQ平分平分 ABC的面積，設(shè)的面積，設(shè)AP=x，PQ=y，求，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，并求其最值的函數(shù)，并求其最值A(chǔ)CBQP分析：分析： S APQ = S ABC ， x AQ sin45= （ ），212124221 AQ =， x24 y2=x2+ AQ 2 - -2x AQ cos45= x2 +- -8， 232x y= （2x4）82322xx x2 + 232x2 = 8 ， 322當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x= 2 2，4時(shí)，等號(hào)成立，時(shí)，等號(hào)成立， 42當(dāng)當(dāng)x= 2 時(shí)時(shí) 42ymin= ， 828令令t = x2，2當(dāng)當(dāng)t4，4 時(shí)時(shí) t + - -8是減函數(shù)，是減函數(shù)，t + - -84+8- -8=4； t32t32 當(dāng)當(dāng)t4 ，16時(shí)，時(shí)，t + - -8是增函數(shù)，是增函數(shù)， 2t32t32t + - -816+2- -8=10； y ，10當(dāng)當(dāng)t=16，即，即x=4時(shí)，時(shí)，y max = 1021ACBQPxy則則832ttyt4，16， y2解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是：解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是：（2）將涉及到的其他變量用自變量的解析式表示；）將涉及到的其他變量用自變量的解析式表示；（3）建立目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)的定義域；）建立目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)的定義域；（4）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的特征用相應(yīng)的方法求解）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的特征用相應(yīng)的方法求解 （1）設(shè)計(jì)自變量；）設(shè)計(jì)自變量；例例5已知不等式已知不等式 （1- - x2） （p x2 - - x + 1）+ 1 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)p（0，3） 恒成立，求恒成立，求x的取值范圍的取值范圍31log31log分析分析:原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于:1- -x20px2- -x+103( 1- -x2) px2- -x+1即即px2- -x+10(p+3)x2- -x- -20p（0，3）令令 f（p）= x2 p + （1 x） ， g（p）= x2 p +（3x2 - - x - -2）， 則原不等式等價(jià)于：則原不等式等價(jià)于： ，對(duì)，對(duì)p（0，3）恒成立，）恒成立， f（p）0g（p）0現(xiàn)將現(xiàn)將f（p）及及g（p）看成關(guān)于看成關(guān)于p的一次函數(shù)，的一次函數(shù)， 則當(dāng)則當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)p（0，3）顯然成立；）顯然成立； 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，只須時(shí)，只須 f（0）0g（3）0即即1- -x06x2- -x- -2 0 ,解得：解得：- - x0或或0 x 213221綜上所述，綜上所述，x的取值范圍是的取值范圍是- - ， 32例例6 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y= f1（x）的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn) 且過(guò)點(diǎn)（且過(guò)點(diǎn)（1，1）,反比例函數(shù)反比例函數(shù)y = f2（x）的圖象與的圖象與 直線直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f（x）=f1（x）+f2（x） 1）求函數(shù)）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；的表達(dá)式； 2）證明：當(dāng)）證明：當(dāng)a3 時(shí)，關(guān)于時(shí)，關(guān)于 x 的方程的方程f（x）= f（a）有三個(gè)實(shí)數(shù)解有三個(gè)實(shí)數(shù)解分析分析:1）由已知，設(shè)由已知，設(shè) f1（x）=ax2， 再由再由 f1（1）=1，得，得 a=1， f1（x）= x2 再設(shè)再設(shè)f2（x） = （k0），）， xkkk它的圖象與直線它的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（ ， ），），B（- - ，- - ），）， kk由由 AB =8，得，得k=8， f2（x）= ，故，故 f（x）= x2 + x8x82）由由f（x）= f（a）得得 x2 + = a2 + x8a8即即 = - - x2 + a2 + a8x8在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2（x）= 和和f3（x）= - - x2 + a2 + 的大致圖象，的大致圖象，x8a8當(dāng)當(dāng)a3時(shí)，時(shí)，f3（2）- - f2（2）= a2 + - -80， a8或這樣或這樣: 由由f（x）= f（a）得得 x2 + = a2 + ， x8a8ax8即即 （x- -a）（x + a - - ）= 0 ， 得方程的一個(gè)解為得方程的一個(gè)解為x1= a 方程方程x +a - - = 0化為化為ax2+a2x- -8=0 ， ax8 由由a3得得 =a4+32a0，且，且x2= aaaa23242, x3= aaaa23242 顯然顯然 x20，x30 x2x3 且且x2x1 若若 x1 =x3 ，即，即 a = aaaa23242, 則則,解得解得a=0或或a= 314這與這與a3矛盾，矛盾，x1 x3，故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解 例例7已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= 2x+a的反函數(shù)是的反函數(shù)是y= f - -1（x），設(shè)，設(shè)P（x +a，y1），）， Q（x，y2），），R（2+a，y3）是）是y= f - -1（x）圖象上不同的點(diǎn)圖象上不同的點(diǎn)（1）如果存在正實(shí)數(shù)）如果存在正實(shí)數(shù)x，使得，使得y1，y2，y3成等差數(shù)列，試用成等差數(shù)列，試用x表示實(shí)數(shù)表示實(shí)數(shù)a；（2）在（）在（1）的條件下，如果實(shí)數(shù)）的條件下，如果實(shí)數(shù)x是唯一的，試求實(shí)數(shù)是唯一的，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍分析分析:(1)由由f（x）= 2x+a，易得，易得，f - -1（x）=log2（x - - a）（xa） P、Q、R是是y= f - -1（x）圖象上不同的三點(diǎn)，圖象上不同的三點(diǎn)， y1= log2x ，y2= log2（x - - a），），y3=1，且，且a0（即（即x 2） 又又y1，y2，y3成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即2y2=y1+y3， 2 log2（x - -a）=log2x + 1 ， 即即log2= log2（x - -a）；x - - a= ，x0 x2x2x2a = x - -（x0且且x2）（）（）令令y1= a，y2= x - -= t2 - -t，x221其中其中t = （t0且且t2） x22121 y2 = t 2 t = （t -1-1）2 - - （t0且且t2） 21在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,便知：便知：當(dāng)當(dāng)a 0或或a = - - 時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)， 2121即在即在（1）的條件下，實(shí)數(shù)的條件下，實(shí)數(shù)x的值唯一的值唯一 因此，實(shí)數(shù)因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是a a 0或或a = - - 例例8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，若存在，若存在x0D，使，使f（x0）= x0成立成立 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)以（以（x0，y0）（這里）（這里y0= f（x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的的圖象上的“穩(wěn)定穩(wěn)定點(diǎn)點(diǎn)”（）若函數(shù)）若函數(shù) f（x） = 的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 試求實(shí)數(shù)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；的取值范圍；（）已知定義在實(shí)數(shù)集）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 求證：求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”axx13axx13axx1113 設(shè)設(shè)P（x1，x1），），Q（x2， x2）（）（x1x2）是函數(shù)）是函數(shù)f（x）= 的圖象上兩個(gè)的的圖象上兩個(gè)的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 分析分析:則有則有 = x1及及 = x2， axx2213即即 x12+ax1=3x1- -1（x1 - -a）及）及 x22+ax2=3x2- -1（x2 - -a），）， （）亦即亦即 x12+（a- -3）x1+1=0（x1 - -a）及）及x22+（a- -3）x2+1=0（x2 - -a） x1， x2是方程是方程x2 +（a- -3）x+1=0的兩根，的兩根， x1 - -a，x2 - -a 方程方程x2 +（a- -3）x+1=0有兩個(gè)相異實(shí)根且不等于有兩個(gè)相異實(shí)根且不等于- -a ， =（a- -3） - -410且且（- -a）+（a- -3）（）（- -a）+10， 2231解得解得: a的取值范圍為（的取值范圍為（- -，- - ）（- - ，1）（5，+）31（） f（x）是是R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù) ， f（- -0）= - - f（0），即，即f（0）=0 ， 故故,原點(diǎn)（原點(diǎn)（0，0）是函數(shù)）是函數(shù)f（x）的的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)” 若若f（x）還有還有“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”（x0 ，x0），這里），這里 x00則由則由f（x）為奇函數(shù)可知：為奇函數(shù)可知：f（- -x0）= - - f（x0）= - - x0 ， 這說(shuō)明（這說(shuō)明（- -x0 ，- -x0）也是）也是f（x）的的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 由題意知，它為有限個(gè)由題意知，它為有限個(gè) 因此，因此，f（x）的圖象上的的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”除了原點(diǎn)除了原點(diǎn)外外且原點(diǎn)也為其且原點(diǎn)也為其“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”，故，它的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，故，它的個(gè)數(shù)是奇數(shù)是有限個(gè)成對(duì)出現(xiàn)的，是有限個(gè)成對(duì)出現(xiàn)的， 注注: : 學(xué)習(xí)能力學(xué)習(xí)能力（即學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力）（即學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力） 它是通過(guò)閱讀，理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括它是通過(guò)閱讀，理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括新的概念、定理、公式、法則和方法等），并能運(yùn)用它們作新的概念、定理、公式、法則和方法等），并能運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題常見(jiàn)的有以下幾種情況：學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題常見(jiàn)的有以下幾種情況：（1）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念；）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念；（2）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定理、公式和法則；）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定理、公式和法則；（3）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)方法）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)方法.例例9. 甲、乙兩大型公司生產(chǎn)同一種商品，但由于設(shè)備陳舊，需要更甲、乙兩大型公司生產(chǎn)同一種商品，但由于設(shè)備陳舊，需要更新經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)新經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)f（x）、g（x）及任意的及任意的x0，當(dāng)甲公司投入，當(dāng)甲公司投入x百萬(wàn)元百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若乙公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于改造設(shè)備時(shí)，若乙公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于f（x）百萬(wàn)元，則乙公司有百萬(wàn)元，則乙公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入x百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若甲百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若甲公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于g（x）百萬(wàn)元，則甲公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則百萬(wàn)元，則甲公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)（1）請(qǐng)解釋?zhuān)┱?qǐng)解釋f（0）、g（0）的實(shí)際意義；的實(shí)際意義；（2）設(shè)直線）設(shè)直線y= x 與與y= f（x）的圖象交于點(diǎn)（的圖象交于點(diǎn)（x0 ，y0），），x0 0， 請(qǐng)解釋請(qǐng)解釋x0 ，y0的實(shí)際意義；的實(shí)際意義；（3）當(dāng)）當(dāng)f（x）= x+5，g（x）=2 +10時(shí)，甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng)時(shí)，甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng) 爭(zhēng)，經(jīng)過(guò)協(xié)商，同意在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能地減少改爭(zhēng)，經(jīng)過(guò)協(xié)商，同意在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能地減少改 造設(shè)備資金，問(wèn)：此時(shí)甲造設(shè)備資金，問(wèn)：此時(shí)甲、乙兩公司各投入多少百萬(wàn)元？乙兩公司各投入多少百萬(wàn)元？201x分析：分析： （1） f（0）表示當(dāng)甲公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)表示當(dāng)甲公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，至少要投入險(xiǎn)，至少要投入f（0）百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造；百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造； g（0）表示當(dāng)乙公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，甲公司要避免倒閉的風(fēng)表示當(dāng)乙公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，甲公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，至少要投入險(xiǎn)，至少要投入g（0）百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造（2）由題意可知由題意可知 y0= x0，且，且y0= f（x0）， f（x0）= x0 201201201 當(dāng)甲投入當(dāng)甲投入x0百萬(wàn)元時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，要投入的資金百萬(wàn)元時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，要投入的資金至少是甲投入的至少是甲投入的 （3）設(shè)甲公司投入的資金是設(shè)甲公司投入的資金是x百萬(wàn)元，乙公司投入的資金是百萬(wàn)元，乙公司投入的資金是y百萬(wàn)元，百萬(wàn)元， 由題意可知：由題意可知： 當(dāng)當(dāng)yf（x）= x+5時(shí)，乙公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；時(shí)，乙公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)當(dāng)xg（y）=2 +10時(shí)，甲公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，甲公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn) y 由圖可知，雙方無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)域由圖可知，雙方無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)域是圖中的陰影部分是圖中的陰影部分 現(xiàn)由現(xiàn)由y=x+5102yx得得x=20y=25 在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下，在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下， 甲公司至少投入甲公司至少投入20百萬(wàn)元、乙公司至少百萬(wàn)元、乙公司至少投入投入25百萬(wàn)元，進(jìn)行設(shè)備改造百萬(wàn)元，進(jìn)行設(shè)備改造練習(xí)（一）練習(xí)（一）1函數(shù)函數(shù)f（x）=tgx+ 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?；2函數(shù)函數(shù)y=log（6+2x- -x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ； 3定義在定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任何實(shí)數(shù)，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，總有，總有f（x+2）= - -f（x），）， 當(dāng)當(dāng)x0，1時(shí)時(shí), f（x）= x，則，則f（x）在在2，3上，上，f（x）= ；4已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程（的方程（ ） = 有正根，則實(shí)數(shù)有正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍 是是 ；5記函數(shù)記函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳，g（x）= lg（x a - -1）（）（2 a- - x） （a1） 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锽 （1）求）求A；（；（2）若）若B A；求實(shí)數(shù)；求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍6已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= （a0， x0） （1）求證：）求證：f（x）在（在（0，+）上是遞增函數(shù)；）上是遞增函數(shù)； （2）若）若f（x）在在m，n上的值域是上的值域是m，n （mn），求），求a的取值的取值 范圍，并求相應(yīng)的范圍，并求相應(yīng)的m，n的值；的值； （3）若）若f（x）2x在（在（0，+）上恒成立，求）上恒成立，求a的取值范圍的取值范圍 xsin2121xaalg1lg1132xxxa11練習(xí)（二）練習(xí)（二）1對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a- -1，1，函數(shù)，函數(shù)f（x）= x2 +（a- -4）x+ 4- -2a的值總大的值總大 于零，則于零，則a的取值范圍是的取值范圍是 ；2如圖，已知如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，是長(zhǎng)方形紙片，AB=2，AD=4，在，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)邊上有一動(dòng)點(diǎn) P，把紙片的左下角折起，使點(diǎn)，把紙片的左下角折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)P重合，且折痕線段重合，且折痕線段MN的端點(diǎn)的端點(diǎn) M在在AB上，上，N在在AD上，設(shè)上，設(shè)PAB= （1）用）用 表示線段表示線段MN的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度f(wàn)（ ）； （2）求）求f（ ）的定義域的定義域 K D C A B P N M3等腰直角等腰直角 ABC，C=90，AB = 4，P、Q分別在線分別在線 段段AB、AC上，且上，且PQ平分平分 ABC的面積，設(shè)的面積，設(shè) AP=x， PQ=y求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，并求最大值的函數(shù)，并求最大值4a取何值時(shí)，方程取何值時(shí)，方程lg（x- -1）+ lg（3- -x）= lg（1- -ax） 有一解，兩解，無(wú)解？有一解，兩解，無(wú)解？5某單位用木料制作如圖所示的框架，某單位用木料制作如圖所示的框架， 框架的下部是邊長(zhǎng)分別為框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x，y（單位：（單位：m）的矩形，）的矩形， 上部是等腰三角形要求框架?chē)傻目偯娣e為上部是等腰三角形要求框架?chē)傻目偯娣e為8m2， 問(wèn)問(wèn)x，y分別為多少（精確到分別為多少（精確到0001m）時(shí)，用料最??？）時(shí)，用料最??？6定義在定義在R上的函數(shù)上的函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意滿足：如果對(duì)任意x1，x2R， 都有都有f（ ） f（x1）+f（x2），則稱(chēng)，則稱(chēng)f（x）是是R上的上的 凹函數(shù)已知二次函數(shù)凹函數(shù)已知二次函數(shù)f（x）= ax2+x（aR，且，且a0） （1）求證：當(dāng)）求證：當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）是凹函數(shù)；）是凹函數(shù)； （2）如果）如果x0，1時(shí)，時(shí)， f（x） 1，試求，試求a的取值范圍的取值范圍221xx 21答案：答案：練習(xí)（一）練習(xí)（一）1 2k ，2k + )(2k + ，2k +，kZ 2 ，2) 3f（x）= 2 - - x 4（ ，1）5（1）A=（- -，- - 1） 1，+），（），（2）（）（- -，- - 2 ，1）6（1）略；（）略；（2）0a ，m = ，n = ；（；（3）a 練習(xí)（二）練習(xí)（二）1（- -，1）（3，+） 2（1）f（ ）= ，（，（2） ， 3y = （2x4），當(dāng)），當(dāng)x=4時(shí)，時(shí)，ymax=4當(dāng)當(dāng)a=0 或或 a1時(shí)，原方程有一解；時(shí)，原方程有一解； 當(dāng)當(dāng)0a 時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)a0或或a1時(shí)，原方程無(wú)解時(shí)，原方程無(wú)解 22411012121aa24112aa2411242cossin183222xx1012431315用料長(zhǎng)度用料長(zhǎng)度 = 2x+2y+2（ x）= （ + ）x + ， 當(dāng)當(dāng)x = 8- -4 2343 （m），），y = 2 2828（m）時(shí)，用料最?。r(shí)，用料最省6（1）略；（）略；（2）- -2a022232x1622