16、函數(shù)的圖象14函數(shù)的圖象

在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中, 以函數(shù)以函數(shù) y=f(x) 中的中的 x 為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo), 函數(shù)函數(shù)值值 y 為縱坐標(biāo)的點為縱坐標(biāo)的點 (x, y) 的集合的集合, 叫做函數(shù)叫做函數(shù) y=f(x) 的圖象的圖象. 一、函數(shù)的圖象一、函數(shù)的圖象 注注: 圖象上每一點的坐標(biāo)圖象上每一點的坐標(biāo) (x, y) 均滿足函數(shù)關(guān)系均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x), 反過反過來來, 滿足滿足 y=f(x) 的每一組對應(yīng)值的每一組對應(yīng)值 x, y 為坐標(biāo)的點為坐標(biāo)的點 (x, y), 均在其圖均在其圖象上象上. 二、基本步驟二、基本步驟1.討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的基本性質(zhì)；討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的基本性質(zhì)； 2.如果函數(shù)的圖象與圖象變換有關(guān)如果函數(shù)的圖象與圖象變換有關(guān), 應(yīng)考慮用圖象變換作應(yīng)考慮用圖象變換作出圖象；出圖象； 3.作函數(shù)的圖象必須準(zhǔn)確描出關(guān)鍵的點線作函數(shù)的圖象必須準(zhǔn)確描出關(guān)鍵的點線( (如圖象與如圖象與 x, y 軸軸的交點的交點, 極值點極值點, 對稱軸對稱軸, 漸近線等漸近線等) ). 描點法作函數(shù)圖象是根據(jù)函數(shù)解析式描點法作函數(shù)圖象是根據(jù)函數(shù)解析式, 列出函數(shù)中列出函數(shù)中 x, y 的的一些對應(yīng)值表一些對應(yīng)值表, 在坐標(biāo)系內(nèi)描出點在坐標(biāo)系內(nèi)描出點, 然后用平滑的曲線將這些然后用平滑的曲線將這些點連接起來點連接起來. 利用這種方法作圖時利用這種方法作圖時, 要與研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合要與研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來起來. 1.描點法描點法 常用變換方法有三種常用變換方法有三種: 平移變換平移變換; 伸縮變換伸縮變換; 對稱變換對稱變換.2.圖象變換法圖象變換法 函數(shù)圖象的畫法有兩種常見的方法函數(shù)圖象的畫法有兩種常見的方法: 一是一是描點法描點法; 二是圖象二是圖象變換法變換法.三、函數(shù)圖象的畫法三、函數(shù)圖象的畫法(1)平移變換平移變換: 由由 y=f(x) 的圖象變換得的圖象變換得 y=f(x+a)+b 的圖象的圖象.沿沿 x 軸向左平移軸向左平移 (a0) 或或 向右平移向右平移 (a0) 或或 向下平移向下平移 (b0, A 1, 0, 1) )的的圖象圖象.y=f(x) y=f( x); 縱坐標(biāo)伸長縱坐標(biāo)伸長( (A1) )或或 縮短縮短( (0A1) )或或 伸長伸長( (0 1) )到原來的到原來的 ( ( y 不變不變) ) 1 y=f(x) 與與 y=f(- -x) y=f(x) 與與 y= - -f(x) y=f(x) 與與 y= - -f(- -x)關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于 x 軸對稱軸對稱關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱 y=f(x) 與與 y=f - -1(x)關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對稱對稱 y=f(x) 與與 y=f(|x|) y=f(x) 與與 y=|f(x)| y=f(x) 與與 y= - -f - -1(- -x)關(guān)于直線關(guān)于直線 y=- -x 對稱對稱 保留保留 y 軸右邊圖象軸右邊圖象, 去掉左邊圖象去掉左邊圖象, 再作關(guān)于再作關(guān)于 y 軸的對稱圖象軸的對稱圖象. 保留保留 x 軸上方圖象軸上方圖象, 將將 x 軸下方圖軸下方圖象翻折上去象翻折上去.四、函數(shù)圖象的對稱性四、函數(shù)圖象的對稱性對于函數(shù)對于函數(shù) y=f(x), 若對定義域內(nèi)的任意若對定義域內(nèi)的任意 x 都有：都有： f(a- -x)=f(a+x)( (或或 f(x)=f(2a- -x) ), 則則 f(x) 的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于直線直線 x=a 對稱對稱; f(a- -x)+f(a+x)=2b( (或或 f(x)+f(2a- -x)=2b) ), 則則 f(x) 的圖象關(guān)的圖象關(guān)于于點點 (a, b) 對稱對稱.課堂練習(xí)1.函數(shù)函數(shù) y=2- -x 的圖象向左平移的圖象向左平移 2 個單位得函數(shù)個單位得函數(shù) 的圖象的圖象. 2.將函數(shù)將函數(shù) y=tan|x| 的圖象向右平移的圖象向右平移 2 個單位得函數(shù)個單位得函數(shù)_的圖象的圖象. 3.函數(shù)函數(shù)y=log2(3x- -1)的圖象左移的圖象左移2個單位得函數(shù)個單位得函數(shù)_ 的圖象的圖象. 4.將函數(shù)將函數(shù) y=(x- -2)3 的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 3 倍倍( (縱縱坐標(biāo)不變坐標(biāo)不變) )得到函數(shù)得到函數(shù)_的圖象的圖象.y=2- -(x+2)y=tan|x- -2|y=log2(3x+5)y=( x- -2)3 13 5.如圖表示一位騎自行車者和一位騎摩托車者在相距如圖表示一位騎自行車者和一位騎摩托車者在相距80km的的兩城間旅行的函數(shù)圖象兩城間旅行的函數(shù)圖象.123456ot( (小時小時) ) S 10 20 30 40 60 70 80 50 由圖可知騎自行車者用了由圖可知騎自行車者用了6小時小時( (含含途途中休息中休息1小時小時) ), 騎摩托車者用了騎摩托車者用了2小時小時. 有人根據(jù)這個函數(shù)圖有人根據(jù)這個函數(shù)圖象提出關(guān)于這兩個旅行者的如下信息象提出關(guān)于這兩個旅行者的如下信息:騎自行車者比騎摩托車者騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)早出發(fā)3小時小時, 晚到晚到1小時小時;騎自行車者是變速運動騎自行車者是變速運動, 騎騎摩托車者是勻速運動摩托車者是勻速運動;騎摩托車者在出發(fā)騎摩托車者在出發(fā)1.5小時小時后追上了騎自行車者后追上了騎自行車者.其中正確信息的序號是其中正確信息的序號是 . 6.方程方程 lgx=sinx 的實根的個數(shù)是的實根的個數(shù)是 .3 52oyx7.設(shè)奇函數(shù)設(shè)奇函數(shù) f(x) 的定義域為的定義域為 - -5, 5 , 若當(dāng)若當(dāng)x 0, 5 時時, f(x)的圖象如右圖所示的圖象如右圖所示. 則不等則不等式式 f(x)1 時時, 在同一坐標(biāo)系中在同一坐標(biāo)系中, 函數(shù)函數(shù) y=a- -x 與與 y=logax 的圖象的圖象是是( )A B C D 12.向高為向高為 H 的水瓶中注水的水瓶中注水, 注滿為止注滿為止, 如果注水量如果注水量 V 與水深與水深h 的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示, 那么水瓶的形狀是那么水瓶的形狀是( )hVHA B C D B A 15.作出下列函數(shù)的圖象作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=|x2- -2x|+1; (2)y=|log2(|x|- -1)|;(3)y= ; (4)y=lg . x- -3 2- -x 2- -x 1 14.在下列圖象中在下列圖象中, 二次二次函數(shù)函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù) y=( ( ) ) 的的圖象只可能是圖象只可能是( )abxA B C D xoyxoyxoy- -1xoy- -111A 16.對于正整數(shù)對于正整數(shù) k, 若關(guān)于若關(guān)于 x 的方程的方程 (x- -2k)2=ax 在區(qū)間在區(qū)間 ( (2k- -1, 2k+1 上有兩個不相等的實根上有兩個不相等的實根, 求求 a 的取值范圍的取值范圍.解解: 設(shè)設(shè) f(x)=(x - -2k)2 ( (x(2k - -1, 2k+1), f(x) 的圖象是以的圖象是以 A(2k - -1, 1) 及及 B(2k+1, 1) 為端點為端點, 頂點為頂點為 (2k, 0) 的一段拋物線的一段拋物線.f(2k - -1)=f(2k+1)=1, 設(shè)設(shè) g(x)=ax, 它表示過原點且斜率它表示過原點且斜率 k=a 的直線的直線.則命題等價于則命題等價于: 求使求使 f(x) 與與 g(x) 的圖象有兩個交點的的圖象有兩個交點的 a 的取的取值范圍值范圍.0a , k N*. 2k+11等價于等價于 0 - -x- -1. 解解: 令令 y= 4- -x2 , 它的圖象是以原點為它的圖象是以原點為圓心圓心, 2 為半徑的半圓為半徑的半圓. 畫出直線畫出直線 y=- -x- -1, 與半圓交于點與半圓交于點A. 解方程解方程 4- -x2 =- -x- -1( (- -2x- -1) )得得: 則不等式的解集為滿足則不等式的解集為滿足 y= 4- -x2 的圖象在的圖象在直線直線 y=- -x- -1 上方的上方的 x 的取值集合的取值集合, 為為 (xA, 2 .如圖所示如圖所示: xA= . - -1- -27故原不等式的解集為故原不等式的解集為 ( , 2 . - -1- -27 18.已知函數(shù)已知函數(shù) y=f(x) 的圖象與的圖象與 x 軸有三個不同的交點軸有三個不同的交點 (m, 0), (n, 0), (p, 0). 試分別就下列情況求試分別就下列情況求 m+n+p 的值的值: (1) y=f(x)為奇為奇函數(shù)函數(shù); (2) y=f(x) 的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱對稱.解解: (1)由于由于 f(x) 為奇函數(shù)為奇函數(shù), 它的圖象關(guān)于原點對稱它的圖象關(guān)于原點對稱, 因而因而f(x)的的圖象與圖象與 x 軸軸的的三個不同交點中三個不同交點中, 有一個為原點有一個為原點, 另兩個關(guān)于另兩個關(guān)于原點對稱原點對稱.m, n, p 中中有一個為有一個為 0, 另兩個互為相反數(shù)另兩個互為相反數(shù).m+n+p=0. (2)由于由于 y=f(x) 的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱對稱. 因而因而 f(x) 的的圖象圖象與與 x 軸軸的的三個不同交點中三個不同交點中, 有一個為有一個為(2, 0), 另兩個關(guān)于點另兩個關(guān)于點 (2, 0) 對稱對稱. m+n+p=2+2 2=6. 即即 m+n+p 的值為的值為 0. 即即 m+n+p 的值為的值為 6. m, n, p 中中有一個為有一個為 2, 另兩個之和為另兩個之和為 2 的的 2 倍倍. 19.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)=x3+2x2, 若函數(shù)若函數(shù) g(x) 的圖象與的圖象與 f(x) 的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于點點 (2, 1) 對稱對稱, 求求 g(x) 的解析式的解析式.解解: 設(shè)設(shè) P(x, y) 是是 g(x) 圖象上任意一點圖象上任意一點, P 關(guān)于點關(guān)于點 (2, 1) 的對稱的對稱 點為點為 Q(u, v), 則由已知則由已知 v=u3+2u2 , 且有且有:代入代入得得 2- -y=(4- -x)3+2(4- -x)2. 整理得整理得 y=x3- -14x2+64x- -94.y+v 2=1. x+u 2=2, u=4- -x, v=2- -y. 即即 g(x)=x3- -14x2+64x- -94.o12xy- -2 - -1- -11 20.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖象的圖象 如圖所示如圖所示, 則則 ( ) A. b (- -, 0) B. b (0, 1) C. b (1, 2) D. b (2, +) A 解析解析: 根據(jù)圖象提供的信息根據(jù)圖象提供的信息, 可以發(fā)現(xiàn)以下關(guān)系及規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)以下關(guān)系及規(guī)律: f(0)=0, 即即 d=0; f(1)=0, 即即 a+b+c=0; f(2)=0, 即即 8a+4b+2c=0; f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x- -1)(x- -2); 當(dāng)當(dāng) x (-, 0)(1, 2) 時時, f(x)0, 有有 f(- -1)0, 即即 - -a+b- -c0, 有有 f(3)0, 得得 a0. 法一法一: 由由 , 解得解得: b=- -3a, 又由又由 知知: a0, b0. 法二法二: + 得得: 2b0, b0, b0.法四法四: 由由, 取特殊函數(shù)取特殊函數(shù): f(x)=x(x- -1)(x- -2), 得得: b=- -30. 21.若定義在區(qū)間若定義在區(qū)間 - - , 上的函數(shù)上的函數(shù) y=f(x) 的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x= 對稱對稱, 當(dāng)當(dāng) x 時時, 函數(shù)函數(shù) f(x)=sinx. (1)求求 f(- - ), f(- - )的值的值; (2)求求 y=f(x) 的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)表達(dá)式; (3)如果關(guān)于如果關(guān)于 x 的方程的方程 f(x)=a 有解有解, 將方程在將方程在 a 取某一確定值時求得所有解的和記為取某一確定值時求得所有解的和記為 Ma, 求求 Ma 的的所有可能取值及相對應(yīng)的所有可能取值及相對應(yīng)的 a 的取值范圍的取值范圍.2 4 4 2 4 2 解解: (1) f(- - )=f( )=sin =0, f(- - )=f( )=sin = ; 4 343422(2) 當(dāng)當(dāng) - - x 時時, f(x)=f( - -x) 4 2 2 =sin( - -x)=cosx, 2 sinx, x , . 4 cosx, x - - , ), 4 2 f(x)=解解: (3) 作出函數(shù)作出函數(shù) f(x) 的圖象的圖象, 顯然顯然, 若若 f(x)=a 有解有解, 則則 a 0, 1, 0a 時時, f(x)=a 有兩解有兩解, Ma= ; 222 a= 時時, f(x)=a 有三解有三解, Ma= ; 2234 a1時時, f(x)=a 有四解有四解, Ma= ; 22 a=1 時時, f(x)=a 有兩解有兩解, Ma= .2 xyo 2 4 - - 21.若定義在區(qū)間若定義在區(qū)間 - - , 上的函數(shù)上的函數(shù) y=f(x) 的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x= 對稱對稱, 當(dāng)當(dāng) x 時時, 函數(shù)函數(shù) f(x)=sinx. (1)求求 f(- - ), f(- - )的值的值; (2)求求 y=f(x) 的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)表達(dá)式; (3)如果關(guān)于如果關(guān)于 x 的方程的方程 f(x)=a 有解有解, 將方程在將方程在 a 取某一確定值時求得所有解的和記為取某一確定值時求得所有解的和記為 Ma, 求求 Ma 的的所有可能取值及相對應(yīng)的所有可能取值及相對應(yīng)的 a 的取值范圍的取值范圍.2 4 4 2 4 22.若若 1x3, a 為何值時為何值時, x2- -5x+3+a=0 有兩解有兩解, 一解一解, 無解無解? 解解: 原方程即為原方程即為 a=- -x2+5x- -3 (1) 作出函數(shù)作出函數(shù) y=- -x2+5x- -3( (1x3) )的圖象的圖象, 顯然該顯然該圖象與直線圖象與直線 x=a 的交點的橫坐標(biāo)是方程的交點的橫坐標(biāo)是方程 (1) 的解的解. 由由圖象知圖象知: 當(dāng)當(dāng) 3a 時時, 原方程有兩解原方程有兩解; 413當(dāng)當(dāng) 1 時時, 原方程無解原方程無解. 413123xy13o413y=a 23.已知函數(shù)已知函數(shù) y=f(x)= ( (a, b, c R, a0, b0) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), 當(dāng)當(dāng) x0時時, f(x) 有最小值有最小值 2, 其中其中b N*且且 f(1)0, b0, f(x)= bx ax2+1 = x+ bx 1ba2 , b2 a當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x= 時時, 等號成立等號成立. a12 =2, b2 af(x)有最小值有最小值 2, a=b2. 由由 f(1) 得得,52b a+1 , 52b b2+1 , 52即即2b2- -5b+20, 解得解得b0, b0) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), 當(dāng)當(dāng) x0時時, f(x) 有最小值有最小值 2, 其中其中b N*且且 f(1) , (1)試求函數(shù)試求函數(shù)y=f(x) 的解析式的解析式; (2)問函數(shù)問函數(shù) f(x) 圖象上是否存在關(guān)于點圖象上是否存在關(guān)于點 (1, 0) 對稱的對稱的兩點兩點? 若存在若存在, 求出點的坐標(biāo)求出點的坐標(biāo); 若不存在若不存在, 說明理由說明理由.52bx+c ax2+1