2010高考數(shù)學導學練系列 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)教案 蘇教版

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)考綱導讀（一）函數(shù)1了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.2理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞唵蔚暮瘮?shù)。3了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來解決一些簡單的數(shù)學問題。4理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明一些簡單的函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷簡單的函數(shù)奇偶性。5理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡單的函數(shù)的最大（?。┲?6會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).（二）指數(shù)函數(shù)1了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。2理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。3理解指數(shù)函數(shù)的概念，會求與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題。4知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。（三）對數(shù)函數(shù)1理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用。2理解對數(shù)函數(shù)的概念；會求與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題.3知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4了解指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（ ）。（四）冪函數(shù)1了解冪函數(shù)的概念。2結(jié)合函數(shù) 的圖像，了解它們的變化情況。（五）函數(shù)與方程1了解函數(shù)零點的概念，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。2理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函數(shù)零點的個數(shù).（六）函數(shù)模型及其應用1了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征。知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用。3能利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實際問題。知識網(wǎng)絡高考導航根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).函數(shù)是高考數(shù)學的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢.考試熱點：考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖象.函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數(shù)模型并用來解決問題，是考試的熱點.考查運用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學思想.第1課時 函數(shù)及其表示基礎(chǔ)過關(guān)一、映射1映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關(guān)系f，對于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它對應，這樣的對應叫做 到 的映射，記作 .2象與原象：如果f:AB是一個A到B的映射，那么和A中的元素a對應的 叫做象， 叫做原象。二、函數(shù)1定義：設A、B是 ，f:AB是從A到B的一個映射，則映射f:AB叫做A到B的 ，記作 .2函數(shù)的三要素為 、 、 ，兩個函數(shù)當且僅當 分別相同時，二者才能稱為同一函數(shù)。3函數(shù)的表示法有 、 、 。典型例題例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）.A. B. C. D. 解：C變式訓練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=解：C例2.給出下列兩個條件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.解：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）設f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.變式訓練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.解：(1)令+1=t，則x=，f（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).（2）設f（x）=ax+b，則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， 把中的x換成，得2f（）+f（x）= ×2-得3f（x）=6x-，f（x）=2x-.例3. 等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，BAD=45°，作直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.解：作BHAD，H為垂足，CGAD，G為垂足，依題意，則有AH=，AG=a.（1）當M位于點H的左側(cè)時，NAB，由于AM=x，BAD=45°.MN=x.y=SAMN=x2（0x）.（2）當M位于HG之間時，由于AM=x，MN=，BN=x-.y=S AMNB =x+（x-）=ax-（3）當M位于點G的右側(cè)時，由于AM=x，MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN=綜上：y=變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.解：（1）分別作出f(x)在x0,x=0,x0段上的圖象，如圖所示，作法略.小結(jié)歸納（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.1了解映射的概念，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性2函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法（或湊配法）、解方程組法使用換元法時，要注意研究定義域的變化3在簡單實際問題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)的解析式，還要注意定義域若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數(shù)來表示第2課時 函數(shù)的定義域和值域基礎(chǔ)過關(guān)一、定義域：1函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合.2常見的三種題型確定定義域： 已知函數(shù)的解析式，就是 . 復合函數(shù)f g(x)的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的 域是外函數(shù)f (x)的 域.實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合.二、值域：1函數(shù)yf (x)中，與自變量x的值 的集合.2常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮 ，取決于 ，常用的方法有：觀察法；配方法；反函數(shù)法；不等式法；單調(diào)性法；數(shù)形法；判別式法；有界性法；換元法（又分為 法和 法）例如： 形如y，可采用 法； y，可采用 法或 法； yaf (x)2bf (x)c，可采用 法； yx，可采用 法； yx，可采用 法； y可采用 法等.典型例題例1. 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.解：（1）由題意得化簡得即故函數(shù)的定義域為x|x0且x-1.（2）由題意可得解得故函數(shù)的定義域為x|-x且x±.（3）要使函數(shù)有意義，必須有即x1,故函數(shù)的定義域為1，+）.變式訓練1：求下列函數(shù)的定義域：（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函數(shù)的定義域為（-3，1）(1,2).（2）由得函數(shù)的定義域為（3）由,得借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為例2. 設函數(shù)y=f(x)的定義域為0，1，求下列函數(shù)的定義域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）03x1,故0x,y=f(3x)的定義域為0, .（2）仿（1）解得定義域為1，+).（3）由條件，y的定義域是f與定義域的交集.列出不等式組故y=f的定義域為.（）由條件得討論：當即0a時，定義域為a,1-a;當即-a0時，定義域為-a,1+a.綜上所述：當0a時，定義域為a，1-a；當-a0時，定義域為-a，1+a.變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是0，1，則f(x+a)·f(x-a)（0a）的定義域是 （ ） A. B.a，1-a C.-a，1+a D.0，1解：B 例3. 求下列函數(shù)的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.解：（1）方法一 （配方法）y=1-而0值域為.方法二 （判別式法）由y=得(y-1)y=1時,1.又R，必須=(1-y)2-4y(y-1)0.函數(shù)的值域為.（2）方法一 （單調(diào)性法）定義域，函數(shù)y=x,y=-均在上遞增，故y函數(shù)的值域為.方法二 （換元法）令=t,則t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.（3）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函數(shù)的值域為y|-1y1.變式訓練3：求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=|x|.解：（1）(分離常數(shù)法)y=-，0,y-.故函數(shù)的值域是y|yR,且y-.(2)方法一 (換元法)1-x20,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|,故函數(shù)值域為0，.方法二 y=|x|·0y即函數(shù)的值域為.例4若函數(shù)f（x）=x2-x+a的定義域和值域均為1，b（b1），求a、b的值.解：f（x）=(x-1)2+a-. 其對稱軸為x=1，即1，b為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.f（x）min=f（1）=a-=1 f（x）max=f（b）=b2-b+a=b 由解得 變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函數(shù)的值域為0，+)時的a的值；（2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）函數(shù)的值域為0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.（2）對一切xR，函數(shù)值均非負,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函數(shù)f(a)在上單調(diào)遞減，f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，f(a)的值域為.小結(jié)歸納1求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.2求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.第3課時 函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)過關(guān)一、單調(diào)性1定義：如果函數(shù)yf (x)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1、<x2時，都有 ，則稱f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 ；都有 ，則稱f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 .若函數(shù)f(x)在整個定義域l內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則f(x)稱為 .2判斷單調(diào)性的方法：(1) 定義法，其步驟為： ； ； .(2) 導數(shù)法，若函數(shù)yf (x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導，若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1若f (x), g(x)均為增(減)函數(shù)，則f (x)g(x) 函數(shù)；2若f (x)為增(減)函數(shù)，則f (x)為 ；3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的單調(diào)性；4復合函數(shù)yf g(x)是定義在M上的函數(shù)，若f (x)與g(x)的單調(diào)相同，則f g(x)為 ，若f (x), g(x)的單調(diào)性相反，則f g(x)為 .5奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 .典型例題例1. 已知函數(shù)f(x)=ax+ (a1)，證明：函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù).證明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨設x1x2,則x2-x10, 1且0,，又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函數(shù)f(x)在（-1,+）上為增函數(shù).方法二 f(x)=ax+1-(a1),求導數(shù)得=axlna+,a1,當x-1時，axlna0,0,0在（-1，+）上恒成立，則f(x)在（-1,+）上為增函數(shù).方法三 a1,y=ax為增函數(shù)，又y=，在（-1，+）上也是增函數(shù).y=ax+在（-1，+）上為增函數(shù).變式訓練1：討論函數(shù)f（x）=x+（a0）的單調(diào)性.解：方法一 顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+）上的單調(diào)性，設x1x20,則f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.當0x2x1時，1,則f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0，上是減函數(shù).當x1x2時，01，則f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),故f（x）在，+）上是增函數(shù).f（x）是奇函數(shù)，f（x）分別在（-，-、，+）上為增函數(shù)；f（x）分別在-，0）、（0，上為減函數(shù).方法二 由=1-=0可得x=±當x或x-時，0f（x）分別在（，+）、（-，-上是增函數(shù).同理0x或-x0時，0即f（x）分別在（0，、-，0）上是減函數(shù).例2. 判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.解： 函數(shù)的定義域為x|x-1或x1,則f(x)= ,可分解成兩個簡單函數(shù).f(x)= =x2-1的形式.當x1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).f（x）=在1，+)上為增函數(shù).當x-1時，u（x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，f(x)=在（-,-1上為減函數(shù).變式訓練2：求函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)區(qū)間.解： 由4x-x20，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y=t.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是2，4），增區(qū)間是（0，2.又y=t在（0，+）上是減函數(shù)，函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2，單調(diào)增區(qū)間是2，4).例3. 求下列函數(shù)的最值與值域：（1）y=4-; (2)y=x+;(3)y=.解：（1）由3+2x-x20得函數(shù)定義域為-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0，4，0，2，從而，當x=1時，ymin=2，當x=-1或x=3時，ymax=4.故值域為2，4. (2)方法一 函數(shù)y=x+是定義域為x|x0上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點對稱,故只討論x0時,即可知x0時的最值.當x0時,y=x+2=4，等號當且僅當x=2時取得.當x0時，y-4,等號當且僅當x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域為（-，-44，+），無最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以當x-2或x2時，f(x)遞增,當-2x0或0x2時，f(x)遞減.故x=-2時，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函數(shù)的值域為（-，-44，+），無最大（?。┲?（3）將函數(shù)式變形為y=,可視為動點M（x,0）與定點A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點（橫坐標）即為所求的最小值點.ymin=|AB|=，可求得x=時，ymin=.顯然無最大值.故值域為，+）.變式訓練3：在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x（x0）臺的收入函數(shù)為R（x）=3 000x-20x2 (單位：元)，其成本函數(shù)為C（x）=500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000（x1，100且xN,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x1，100且xN）.（2）P（x）=-20(x-2+74 125，當x=62或63時，P(x)max=74 120（元）.因為MP（x）=2 480-40x是減函數(shù)，所以當x=1時，MP(x)max=2 440(元）.因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值.例4（2009·廣西河池模擬）已知定義在區(qū)間（0，+）上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當x1時，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解：（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,則1,由于當x1時，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集為x|x9或x-9.變式訓練4：函數(shù)f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x0時，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解：（1）設x1,x2R，且x1x2,則x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù). （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3， 原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22, 小結(jié)歸納解得-1m,故解集為（-1,）. 1證明一個函數(shù)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)的方法有：(1) 定義法.其過程是：作差變形判斷符號，而最常用的變形是將和、差形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)；(2) 求導法.其過程是：求導判斷導函數(shù)的符號下結(jié)論.2確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調(diào)區(qū)間）；(3)定義法；(4)求導法.注意：單調(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi).3含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參數(shù)的取值范圍.第4課時 函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)過關(guān)1奇偶性： 定義：如果對于函數(shù)f (x)定義域內(nèi)的任意x都有 ，則稱f (x)為奇函數(shù)；若 ，則稱f (x)為偶函數(shù). 如果函數(shù)f (x)不具有上述性質(zhì)，則f (x)不具有 . 如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f (x) . 簡單性質(zhì)：1） 圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 對稱.2） 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于 對稱.2與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為 ；的圖象關(guān)于點中心對稱或的圖象關(guān)于直線軸對稱，均可以得到周期 典型例題例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）x2-10且1-x20,x=±1,即f(x)的定義域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）方法一 易知f(x)的定義域為R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域為R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（3）由|x-2|0，得x2.f（x）的定義域x|x2關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).變式訓練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由0，得定義域為-2，2），關(guān)于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).（2）由得定義域為（-1，0）（0，1）.這時f（x）=.f（-x）=-f（x）為偶函數(shù).（3）x-1時，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1時，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1時，f（x）=0，-1-x1,f（-x）=0=f（x）.對定義域內(nèi)的每個x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù).例2 已知函數(shù)f(x),當x,yR時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值.（1）證明： 函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱.f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（2）解：方法一 設x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是減函數(shù).又f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是減函數(shù).f（-2）為最大值，f(6)為最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.方法二 設x1x2,且x1,x2R.則f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.f（-2）為最大值，f（6）為最小值.f（1）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.變式訓練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x(-,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：f（x）是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.當x0時，-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x) （x0）.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).例3 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x).（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)為奇函數(shù)，且當0x1時，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的個數(shù).（1）證明： f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），f（x）是以4為周期的周期函數(shù).（2）解： 當0x1時，f(x)=x,設-1x0,則0-x1,f（-x）=（-x）=-x.f(x)是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）,-f（x）=-x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1x1) 又設1x3,則-1x-21,f(x-2)=(x-2), 又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-f（x），-f（x）=（x-2），f（x）=-（x-2）（1x3）. f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.f（x）是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)=-的所有x=4n-1 (nZ). 令04n-12 009,則n,又nZ，1n502 （nZ）,在0，2 009上共有502個x使f(x)=-.變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,aR.（1）試判斷f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f(x)的最小值.解：(1)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時,f(x)為偶函數(shù).當a0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).（2）當xa時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函數(shù)f(x)在（-，a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在（-，a上的最小值為f(a)=a2+1.當xa時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函數(shù)f(x)在a，+）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在a，+)上的最小值為f(a)=a2+1. 綜上得，當-a時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.小結(jié)歸納1奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對一個函數(shù)首先應判斷它是否具有這種性質(zhì). 判斷函數(shù)的奇偶性應首先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性. 如果要證明一個函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對非零實數(shù)a與a，驗證f(a)±f(a)0.2對于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點研究y軸一側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對稱性得到整個定義域上的性質(zhì).3函數(shù)的周期性：第一應從定義入手，第二應結(jié)合圖象理解.第5課時 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)1根式：(1) 定義：若，則稱為的次方根 當為奇數(shù)時，次方根記作_； 當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作_(a>0).(2) 性質(zhì)： ； 當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時，_ 2指數(shù)：(1) 規(guī)定： a0 (a0)； a-p ； .(2) 運算性質(zhì)： (a>0, r、Q) (a>0, r、Q) (a>0, r、Q)注：上述性質(zhì)對r、R均適用.3指數(shù)函數(shù)： 定義：函數(shù) 稱為指數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為 ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當_時函數(shù)為減函數(shù)，當_時為增函數(shù). 函數(shù)圖像：1) 過點 ，圖象在 ；2) 指數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向 無限接近軸，當時，圖象向 無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱. 函數(shù)值的變化特征： 典型例題例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.÷a·= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去負指數(shù)后解. a=a+b=方法二 利用運算性質(zhì)解.a=a+b=變式訓練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2. 函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 （ ）A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx) D.大小關(guān)系隨x的不同而不同解：A變式訓練2：已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有 （ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解：B例3. 求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依題意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定義域是（-，14，+）.令u=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函數(shù)f(x)的值域是1，+）.u=,當x（-，1時，u是減函數(shù)，當x4，+）時，u是增函數(shù).而31,由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）=3在（-，1上是減函數(shù)，在4，+）上是增函數(shù).故f（x）的增區(qū)間是4，+），減區(qū)間是（-，1.（2）由g(x)=-(函數(shù)的定義域為R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等號成立的條件是t=2,即g(x)9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是減函數(shù)，要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.g（t）在（0，2上遞增，在2，+）上遞減，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上遞減，在（-，-1上遞增，故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-，-1，單調(diào)遞減區(qū)間是-1，+）.變式訓練3：求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函數(shù)的定義域為R.令u=6+x-2x2,則y=(.二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=,在區(qū)間，+）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)，又函數(shù)y=(u是減函數(shù)，函數(shù)y=(在，+）上是增函數(shù).故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為，+）.（2）令u=x2-x-6,則y=2u,二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=,在區(qū)間，+）上u=x2-x-6是增函數(shù).又函數(shù)y=2u為增函數(shù)，函數(shù)y=2在區(qū)間，+）上是增函數(shù).故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是，+）.例4設a0,f(x)=是R上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）求證：f(x)在（0，+）上是增函數(shù).（1）解： f（x）是R上的偶函數(shù)，f（-x）=f（x），（a-=0對一切x均成立，a-=0，而a0,a=1. （2）證明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 則f(x1)-f(x2)= +-= ( x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函數(shù). 變式訓練4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x(0,1)時，f(x)=. （1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù).（1）解： 當x(-1,0)時，-x(0,1).f（x）是奇函數(shù)，f（x）=-f（-x）=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在區(qū)間-1，1上，有f（x）=(2)證明 當x(0,1)時，f(x)=設0x1x21,則f(x1)-f(x2)=0x1x21,0，2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減.小結(jié)歸納1 a，abN，logaNb(其中N>0，a>0，a1)是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同底.2處理指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解.3含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4含有指數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.第6課時 對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)1對數(shù)：(1) 定義：如果，那么稱 為 ，記作 ，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù). 以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作_ 以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_(2) 基本性質(zhì)： 真數(shù)N為 (負數(shù)和零無對數(shù))； ； ； 對數(shù)恒等式： (3) 運算性質(zhì)： loga(MN)_； loga_； logaMn (nR). 換底公式：logaN (a>0，a1，m>0，m1，N>0) .2對數(shù)函數(shù)： 定義：函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為( ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當_時，函數(shù)為減函數(shù)，當_時為增函數(shù)；4) 函數(shù)與函數(shù) 互為反函數(shù). 1) 圖象經(jīng)過點( )，圖象在 ；2) 對數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；4) 函數(shù)ylogax與 的圖象關(guān)于x軸對稱 函數(shù)值的變化特征： 典型例題例1 計算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一 利用對數(shù)定義求值設=x,則(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)= lg10=.變式訓練1：化簡求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(例2 比較下列各組數(shù)的大小.（1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7;（3）已知logblogalogc,比較2b,2a,2c的大小關(guān)系.解：（1）log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=為減函數(shù)，且,bac,而y=2x是增函數(shù)，2b2a2c.變式訓練2：已知0a1,b1,ab1，則loga的大小關(guān)系是 （ ）A.loga B.C. D.解： C例3已知函數(shù)f(x)=logax(a0,a1)，如果對于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍.解：當a1時，對于任意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上為增函數(shù)，對于任意x3，+），有f(x)loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 當0a1時，對于x3，+），有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+）上為減函數(shù)，-f（x）在3，+）上為增函數(shù).對于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga,即3,a1.綜上，使|f(x)|1對任意x3，+）都成立的a的取值范圍是：(1，3，1）. 變式訓練3：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-,1-上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=x2-ax-a,則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關(guān)于直線x=對稱且此拋物線開口向上.因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)21,在區(qū)間（-,1-上是減函數(shù)，所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-,1-上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)0.解得2-2a2.故a的取值范圍是a|2-2a2.例4 已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點.（1）證明:點C、D和原點O在同一直線上；（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標.（1）證明 設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題設知x11,x21,則點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率為k1=,OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上.（2）解： 由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故x31=3x1,又因x11,解得x1=,于是點A的坐標為（，log8).變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定義域； （2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意義時，有由、得x1,由得xp,因為函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，故p1,f(x)的定義域是(1,p).（2）f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2-（x-）2+ (1xp),當1p，即p3時，0-(x-,log22log2(p+1)-2.當1，即1p3時，0-(x-log21+log2(p-1).綜合可知：當p3時，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2;當1p3時，函數(shù)f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).小結(jié)歸納1處理對數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解.2對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含對數(shù)式問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達到熟練、運用自如的水平，使用時常常要結(jié)合對數(shù)的特殊值共同分析.3含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4含有指數(shù)、對數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函