第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則

1 1極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1.6 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限2 21. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,ayn, 0 準(zhǔn)則準(zhǔn)則滿足下列條件滿足下列條件:),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn )( ,nazn, 01 N, 02 N使得使得一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則如果數(shù)列如果數(shù)列那末數(shù)列那末數(shù)列的極限存在的極限存在,且且,nnnzyx及及3 3,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)函數(shù)的極限的極限., a annnzxy )1(4 4稱為稱為準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果如果)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .o0(1)(, )xU x當(dāng)),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則和和00,;,xxxxxx ：定理中把自變量變化的過程改為注。定理仍成立5 5例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由由夾逼定理夾逼定理得得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn26 6 注注利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個(gè)重要手段利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個(gè)重要手段,將復(fù)雜的函數(shù)將復(fù)雜的函數(shù) f (x)做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小化簡做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù)找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù) g(x)和和h(x)即可即可.7 7x1x2x3x1 nxnx2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 幾何解釋幾何解釋:AM單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限.:nx對數(shù)列對數(shù)列單調(diào)有界單調(diào)有界有極限有極限有界有界8 8例例2 2的的重根式重根式證明數(shù)列證明數(shù)列)(333nxn 證證,1nnxx nx31 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 nxnnx lim極限存在極限存在.并求出極限。并求出極限。顯然顯然(1)是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的;(2), 3 是有界的是有界的;存在存在.9 9,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)的的重根式重根式證明數(shù)列證明數(shù)列)(333nxn 極限存在極限存在.),3(limnnx Axnn lim設(shè)設(shè)2131 A解得解得1010(1)1sinlim0 xxx,O設(shè)單位圓設(shè)單位圓,sinBDx 于是有于是有,作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形的的高高為為OAB 作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則 的應(yīng)用的應(yīng)用的面積的面積圓扇形圓扇形AOB)20(, xxAOB圓心角圓心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的面積的面積AOC 的面積的面積AOB,BD二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限xOABDC1111,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夾逼定理夾逼定理該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn):;00)1(型未定式型未定式(2)sin.xx與與分分?jǐn)?shù)數(shù)線線另另一一側(cè)側(cè)的的變變量量形形式式一一致致0lim1sinxxx，或12121sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非 一般有一般有( )x( ) x( )0 x0 正確正確 xxxsinlim sinlim11313注注: : 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?在極限)()(sinlimxx中 只要(x)是無窮小 就有 1)()(sinlimxx )()(sinlimxx1sinlim0uuu v 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限1sinlim0 xxx 于是于是( ),0uxu令則141420cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例例3 3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 例例4 4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 15153 30sinlim3xxx解：3330sinlim31 xxx31 2(1)lim sinnnnnnn22sin2lim 2 例例5例例63 30sinlim3xxx求221sin 3(1)(2)lim(1)xxx求221sin 3(1)lim(1)xxx解：21sin3(1)9lim3(1)xxx21sin3(1)9lim3(1)xxx29 19 16 xxxxxxcos1cos1sinlim20111122 (3) 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原式原式1717 2cos1lim)1(xxx 求求解解, xt 令令,時(shí)時(shí)則則 x, 0t故故 2cos1limxxx 20cos1limttt 201 coslimttt21112220cos1limxxx 21 222002sinsin122=limlim22tttttt1818解解 由于由于 以及以及,limaan 夾逼定理夾逼定理.limaxnn a13lim1 aannn3 an 3limann.lim, 0)2(nnnnnnxcbaxcba 求求設(shè)設(shè)nx1919(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 設(shè)設(shè)作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則 的應(yīng)用的應(yīng)用可證明數(shù)列可證明數(shù)列xn單調(diào)增加單調(diào)增加且且有界有界.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)045459828281718. 2( e無理數(shù)無理數(shù)2020M 準(zhǔn)則準(zhǔn)則II的幾何解釋的幾何解釋x1x5x4x3x2xnA 以單調(diào)增加數(shù)列為例以單調(diào)增加數(shù)列為例，數(shù)列，數(shù)列的點(diǎn)只可能向右的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)方向移動(dòng)，或者無限向右移動(dòng)或者無限向右移動(dòng)，或者無限趨或者無限趨近于某一定點(diǎn)近于某一定點(diǎn)A，而對有界數(shù)列只可能后者情況而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生發(fā)生。 212112510501001000022.252.48832.59372.69152.71692.7181n11nn1lim 1nnen從表格可看出，數(shù)列單調(diào)遞增，且從表格可看出，數(shù)列單調(diào)遞增，且 3nx 22ennn )11(lim1(1)nnxn證：設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 23類似地類似地,1111 1(1)2!11121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nxnnnnnnnnnnn ,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e2424v 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限v 準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 我們還可以證明我們還可以證明這就是第二個(gè)重要極限這就是第二個(gè)重要極限 根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列數(shù)列xn必有極限必有極限 此極限用此極限用e來表示來表示 即即ennn)11 (lim 已證明已證明 (2)xn 3 (1)xn xn 1 n N 設(shè)nnnx)11 ( exxx )11(lim2525exxx)1 (lim1說明說明: : 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim01,zx若令,0 xz 則當(dāng)時(shí)，1lim,xxex同理可得： （1- ）10lim(1)xxxe2626 “以以1加非零無窮小為底加非零無窮小為底,指數(shù)是無窮小的指數(shù)是無窮小的倒數(shù)倒數(shù),其極限為數(shù)其極限為數(shù)e”.exxx )11(lim該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn):;1)1(型未定式型未定式 exxx 10)1(lim(2) 括號中括號中1后的變量后的變量(包括符號包括符號)與冪互為倒數(shù)與冪互為倒數(shù). 注注若極限呈若極限呈,1 型型 但第二個(gè)特點(diǎn)不具備但第二個(gè)特點(diǎn)不具備,通常通常湊湊指數(shù)冪使指數(shù)冪使(2) 成立成立.這個(gè)重要極限應(yīng)靈活的記為這個(gè)重要極限應(yīng)靈活的記為:則則一般有一般有exxx )()(1)()1(lim 1( )( )0lim 1( )xxxe或2727v 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限v 準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 exxx)11 (lim 注注: : 在極限)(1)(1limxx中 只要(x)是無窮小 就有 exx)(1)(1lim 2828 解解 exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例例 7 例例 3 求xxx)11 (lim 令令tx 則則x 時(shí)時(shí) t 于是于是 xxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (limexxx 2929nnn211lim 2 e例例82 n nn11lim例例9 xxxx 21lim xlim2 eexx 11xx 213e )1( )1( 1lim 1xxx( 2)22lim 1xxx30302211 lim21nnnnn（ ） 12221lim2nnnn例例10nnn22122 12)22(2 nnnn)1( 2( 22)212limnn nnnee 202 lim 1 sinxxx（ ）0sin2lim2xxxee xxxsin10sin1limxxsin2)1( 31311. 選擇題選擇題).(sin1sinlim)1(20的值為的值為xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C3232).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原式原式222limeexxxxxxx22131lim 或或xxxxx222131lim 33332. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .三、小結(jié)三、小結(jié)1. 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則( )x( )x( )0 xe 1 lim( )x( )0 x1( )x sinlim13434作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題1-6 (551-6 (55頁頁) ) 1. 2. 4.(2) (3) (4)35352.2.exxx)1(lim1證證: : 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), , 設(shè)設(shè), 1nxn則則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim13636當(dāng)當(dāng)x, ) 1( tx則則,t從而有從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1說明說明: : 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時(shí)時(shí), , 令令