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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理本專題主要知識,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式,熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進(jìn)一步體會柯西不等式與排序不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法1二維形式的柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使k時,等號成立(3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么.2一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù),則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2,n)或存在一個數(shù)k,使得aikbi(i1,2,n)時,等號成立3排序不等式設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,則a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.類型一利用柯西不等式證明不等式例1已知a,b,c,d為不全相等的正數(shù),求證:.證明由柯西不等式知,2,于是.等號成立abcd.又已知a,b,c,d不全相等,則中等號不成立即.反思與感悟利用柯西不等式證題的技巧(1)柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai,biR,i1,2,n),形式簡潔、美觀、對稱性強(qiáng),靈活地運(yùn)用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,運(yùn)用時要注意體會跟蹤訓(xùn)練1若n是不小于2的正整數(shù),求證:1.證明12,所以求證式等價于.由柯西不等式,有(n1)(n2)2nn2,于是,又由柯西不等式,有.綜上,1.類型二利用排序不等式證明不等式例2設(shè)A,B,C表示ABC的三個內(nèi)角弧度數(shù),a,b,c表示其對邊,求證:.證明不妨設(shè)0abc,于是ABC.由排序不等式,得aAbBcCaAbBcC,aAbBcCbAcBaC,aAbBcCcAaBbC.相加,得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc),得.引申探究若本例條件不變,求證:.證明不妨設(shè)0abc,于是ABC.由0bca,0abc,0acb,有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.反思與感悟利用排序不等式證明不等式的策略(1)在利用排序不等式證明不等式時,首先考慮構(gòu)造出兩個合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇(2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn),與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題,利用排序不等式解決往往很簡捷跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:a10b10c10.證明由a,b,c的對稱性,不妨設(shè)abc,于是a12b12c12,.由排序不等式,得.又因?yàn)閍11b11c11,再次由排序不等式,得.由得a10b10c10.類型三利用柯西不等式或排序不等式求最值例3(1)求實(shí)數(shù)x,y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2達(dá)到最小值(1)解由柯西不等式,得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21,即(y1)2(xy3)2(2xy6)2,當(dāng)且僅當(dāng),即x,y時,上式取等號故x,y.(2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整數(shù),求Ma1的最小值解設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一個排列,且b1b2b3b4b5.因此b11,b22,b33,b44,b55.又1.由排序不等式,得a1b11123451.即M的最小值為.反思與感悟利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定,其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時,要關(guān)注等號成立的條件,不能忽略跟蹤訓(xùn)練3已知正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范圍解.故的取值范圍是.1函數(shù)y2的最大值為()A.BC3D3答案D解析y2(1)2()212()2()2339.y3,y的最大值為3.2已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足abcd3,a22b23c26d25,則a的最大值是()A1B2C3D4答案B解析(2b23c26d2)(bcd)2,即2b23c26d2(bcd)2.5a2(3a)2.解得1a2.驗(yàn)證:當(dāng)a2時,等號成立3已知2x3y4z10,則x2y2z2取到最小值時的x,y,z的值為()A.,B.,C1,D1,答案B解析由柯西不等式得(223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2,即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以聯(lián)立可得x,y,z.4設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:abc.證明不妨設(shè)abc0,則,abacbc,abc,abc.1對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義,從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式,柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式2參數(shù)配方法是由舊知識得到的新方法,注意體會此方法的數(shù)學(xué)思想3對于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義:兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小,注意等號成立條件是其中一序列為常數(shù)序列4數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式,它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間,有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,體會數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系一、選擇題1已知a,b是給定的正數(shù),則的最小值為()A2a2b2B2abC(2ab)2D4ab答案C解析(sin2cos2)2(2ab)2,當(dāng)且僅當(dāng)sin cos時,等號成立故的最小值為(2ab)2.2已知a,b,c為正數(shù)且abc3,則的最小值為()A4B4C6D6答案C解析a,b,c為正數(shù),ab.同理bc,ca,相加得()2(bca)6,即6,當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號3已知(x1)2(y2)24,則3x4y的最大值為()A21B11C18D28答案A解析根據(jù)柯西不等式,得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2,(3x4y11)2100.可得3x4y21,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號4已知x,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù),若9x212y25z29,則函數(shù)u3x6y5z的最大值是()A9B10C14D15答案A解析(3x6y5z)212()2()2(3x)2(2y)2(z)29(9x212y25z2)81,當(dāng)且僅當(dāng)3x2yz時,等號成立故u3x6y5z的最大值為9.5已知x,y,zR,且1,則x的最小值為()A5B6C8D9答案D解析由柯西不等式知,(111)29,因?yàn)?,所以x9.即x的最小值為9.6設(shè)c1,c2,cn是a1,a2,an的某一排列(a1,a2,an均為正數(shù)),則的最小值是()AnB.C.D2n答案A解析不妨設(shè)a1a2an0,則,由排序不等式知,a1a2ann.二、填空題7設(shè)a,b,c,d,m,nR,P,Q,則P,Q的大小關(guān)系為_答案PQ解析由柯西不等式得PQ,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,PQ.8設(shè)x,y,zR,若x2y2z24,則x2y2z的最小值為_答案6解析由柯西不等式,得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2,故(x2y2z)24936.當(dāng)且僅當(dāng)k,k時,上式取得等號,當(dāng)k時,x2y2z取得最小值6.9已知點(diǎn)P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),它到三邊的距離分別為x,y,z,則x,y,z所滿足的關(guān)系式為_,x2y2z2的最小值是_答案xyz33解析利用三角形面積相等,得2(xyz)(2)2,即xyz3.由(111)(x2y2z2)(xyz)29,得x2y2z23,當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時取等號10若a,b,cR,設(shè)xa3b3c3,ya2bb2cc2a,則x,y的大小關(guān)系為_答案xy解析取兩組數(shù)a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小順序如何,a3b3c3都是順序和,a2bb2cc2a都是亂序和,a3b3c3a2bb2cc2a.三、解答題11(2018江蘇)若x,y,z為實(shí)數(shù),且x2y2z6,求x2y2z2的最小值解由柯西不等式,得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因?yàn)閤2y2z6,所以x2y2z24,當(dāng)且僅當(dāng)時,不等式取等號,此時x,y,z,所以x2y2z2的最小值為4.12已知a,b,c為正數(shù),求證:abc.證明考慮到正數(shù)a,b,c的對稱性,不妨設(shè)abc>0,則,bccaab,由排序不等式知,順序和亂序和,即abc.a,b,c為正數(shù),兩邊同乘以,得abc.13設(shè)a,b,c,dR,令S,求證:1S2.證明首先證明(ab0,m0)因?yàn)?,所以S2,所以S2.又S1,所以1S2.四、探究與拓展14已知5a23b2,則a22abb2的最大值為_答案1解析(a)2(b)22(ab)2a22abb2,當(dāng)且僅當(dāng)5a3b,即a,b時取等號(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.15已知a,b,c均為實(shí)數(shù),且abc22m0,a2b2c2m10.(1)求證:a2b2c2;(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍(1)證明由柯西不等式得(122232)(abc)2,當(dāng)且僅當(dāng)abc時,等號成立,即14(abc)2,a2b2c2.(2)解由已知得abc2m2,a2b2c21m,由(1)可知,14(1m)(2m2)2,即2m23m50,解得m1.又a2b2c21m0,m1,m1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

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