華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列及無窮級數(shù)

第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)（一） 數(shù)列1 數(shù)列極限的定義若>0，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)成立<,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為。否則稱數(shù)列發(fā)散。2 數(shù)列極限的運(yùn)算法則若，c是常數(shù)，則； ； ； 。3 數(shù)列極限的性質(zhì)(1)若>0則，當(dāng)時(shí)成立>0；，則。(2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。4數(shù)列極限的存在性準(zhǔn)則(1) 夾逼準(zhǔn)則（夾逼定理）: （2）單調(diào)有界準(zhǔn)則（數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理）: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。5 數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系對于數(shù)列，若存在定義域包含的函數(shù)，使，且，且。6 數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系（1）若，是的一個(gè)子數(shù)列，則。（2）若，則。（二）無窮級數(shù)的基本概念1級數(shù)斂散性的定義 稱為級數(shù)的前項(xiàng)部分和，而稱數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列。 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即，則稱級數(shù)收斂，稱s為該級數(shù)的和，記為，同時(shí)稱為級數(shù)的余和。 若級數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散。2級數(shù)的基本性質(zhì)（）若，是常數(shù)，則。（2）若=s，則。（3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數(shù)；反之亦成立。（4）收斂級數(shù)添加括弧后仍收斂于原來的和。（5）級數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則。（三）數(shù)項(xiàng)級數(shù)1正項(xiàng)級數(shù)（1）正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界。（2）正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法及其極限形式 設(shè)，（）若收斂，則收斂；（）若發(fā)散，則發(fā)散。 設(shè)與均是正項(xiàng)級數(shù)，若，則與具有相同的斂散性。（3）正項(xiàng)級數(shù)的積分判別法 對于正項(xiàng)級數(shù)，若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則級數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。（4）正項(xiàng)級數(shù)比值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且, 則（a）<1時(shí)，級數(shù)收斂； （b）當(dāng)>1（包含）時(shí)，級數(shù)收斂； （c）當(dāng)時(shí)，本判別法失效。（5）正項(xiàng)級數(shù)根值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且,則（a）當(dāng)<1時(shí)，級數(shù)收斂； (b) 當(dāng)>1（包含）時(shí)，級數(shù)發(fā)散； ( c) 當(dāng)時(shí)，本判別法失效。2交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法 若正數(shù)列單調(diào)減少，且, 則交錯(cuò)級數(shù)（及）收斂，且余和。3.絕對收斂與條件收斂 若收斂，則稱絕對收斂； 若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。 絕對收斂級數(shù)必收斂。 絕對收斂級數(shù)的任一更序級數(shù)仍絕對收斂于原級數(shù)的和。（四）冪級數(shù) 1冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）阿貝爾定理 若冪級數(shù)在某點(diǎn)(0)處收斂，則在區(qū)間（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均絕對收斂；若冪級數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散，則在滿足的任一點(diǎn)處均發(fā)散。 （2）收斂半徑的定義 若冪級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0處收斂，也不是在（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均收斂，則存在正數(shù)r，使當(dāng)時(shí)，收斂；而當(dāng)時(shí)，發(fā)散，稱此正數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。當(dāng)僅在點(diǎn)=0處收斂時(shí)，定義收斂半徑=0; 當(dāng)在（）上都收斂時(shí)，定義收斂半徑=+。(3) 收斂半徑的計(jì)算設(shè)冪級數(shù)滿足,（這里的是某個(gè)正整數(shù)）,且，則（a）當(dāng)L>0時(shí)，=; (b) 當(dāng)L=0時(shí)，= +; (c) 當(dāng)L= +時(shí)，=0。 （）收斂區(qū)間與收斂域當(dāng)冪級數(shù)的收斂半徑r>0時(shí)，稱（）是它的收斂區(qū)間；當(dāng)判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。2冪級數(shù)的運(yùn)算（1）代數(shù)運(yùn)算設(shè)，收斂域?yàn)?，收斂半?gt;，收斂域，收斂半徑>，則a) ，收斂域?yàn)?；b) ，收斂半徑 （這里兩個(gè)冪級數(shù)的乘積是柯西乘積）。（2）、分析運(yùn)算設(shè)，收斂域，收斂半徑，則a) 和函數(shù)在上連續(xù)；b) 和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且可逐項(xiàng)求導(dǎo)： ；）和函數(shù)在內(nèi)可積，且可逐項(xiàng)積分：=，；3 冪級數(shù)的展開 （1）函數(shù)的泰勒級數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)=+為f(x)在點(diǎn)x的泰勒級數(shù)。而稱=+為f(x)的麥克勞林級數(shù)（=0時(shí)的泰勒級數(shù)）。（2）函數(shù)的冪級數(shù)展開（間接展開法）利用五個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，分析運(yùn)算， 變量代換等手段，求給定函數(shù)的冪級數(shù)展開式。復(fù)習(xí)指導(dǎo)：第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)（一）、數(shù)列計(jì)算數(shù)列的極限，通?？衫么鷶?shù)恒等變形、數(shù)列極限的運(yùn)算法則和利用函數(shù)極限的方法。這里必須注意的是：由于數(shù)列是定義域?yàn)殡x散點(diǎn)集的函數(shù)，故不能直接使用洛必達(dá)法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)極限計(jì)算數(shù)列極限。假定數(shù)列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。如果數(shù)列的通項(xiàng)是由n個(gè)項(xiàng)的和構(gòu)成，通?？煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來，再求極限。（二）、無窮級數(shù)的基本概念1、級數(shù)斂散性的定義每個(gè)級數(shù)涉及到兩個(gè)數(shù)列：一是由其項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列u，二是由其部分和構(gòu)成的數(shù)列s。級數(shù)的斂散性是用s的斂散性定義的。一般，即使級數(shù)收斂，要求其和也是很困難的。但只要級數(shù)收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先關(guān)心的是判斷級數(shù)的斂散性。、級數(shù)的基本性質(zhì)（）、在級數(shù)的每一項(xiàng)上同乘以一不為零的常數(shù)，級數(shù)的斂散性不變。（）、收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。（）、在級數(shù)的前面添上或去掉有限項(xiàng)，不影響級數(shù)的斂散性。（）、收斂級數(shù)可以加括弧，即滿足加法的結(jié)合律。若加括弧后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。（）、是級數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由可推得級數(shù)發(fā)散。若需證明數(shù)列 收斂于零，也可考慮以下方法：證明級數(shù)收斂，再利用級數(shù)收斂的必要條件得 收斂于零。（三）、數(shù)項(xiàng)級數(shù)、正項(xiàng)級數(shù)（）、首先得注意多種正項(xiàng)級數(shù)判斂法使用的前提，就是必須是正項(xiàng)級數(shù)。（）、一般，對于通項(xiàng)含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式的正項(xiàng)級數(shù)，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對于通項(xiàng)含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式，但不含階乘因式的正項(xiàng)級數(shù)，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數(shù)冪或分?jǐn)?shù)冪）有理式為通項(xiàng)的正項(xiàng)級數(shù)，因?yàn)閚時(shí)，通項(xiàng)關(guān)于無窮小的階數(shù)易觀察而得，應(yīng)優(yōu)先考慮與p級數(shù)比較，（利用比較判別法或其極限形式）。（）、比較判別法的比較對象，一般可取等比級數(shù)和p級數(shù)，故下列結(jié)論應(yīng)牢記。等比級數(shù)當(dāng)<1時(shí)，收斂于，當(dāng) 1時(shí)發(fā)散。 P級數(shù)，當(dāng)p>時(shí)收斂，當(dāng)p時(shí)發(fā)散。、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。對于萊布尼茲型級數(shù)，其“截?cái)嗾`差”有估計(jì)式、絕對收斂與條件收斂（）、判斷變號級數(shù)的斂散性，是指判斷其絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。（）、若發(fā)散，且此結(jié)論是由正項(xiàng)級數(shù)的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。（四）、冪級數(shù)1、冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域（1）、冪級數(shù)的條件收斂點(diǎn)必是其收斂域的端點(diǎn)。（2）、對于“缺項(xiàng)”的冪級數(shù)，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數(shù)，再利用正項(xiàng)級數(shù)的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。2、冪級數(shù)的運(yùn)算利用冪級數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，可能會(huì)改變其收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性。3冪級數(shù)的展開通常利用間接法展開。這里首先需要注意的是基點(diǎn)，如果是將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù)，是指將表達(dá)成 的形式。一般，對數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級數(shù)，指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級數(shù)等等，又，反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常先求導(dǎo)再展開。若在展開過程中，利用了冪級數(shù)的乘法，逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，則收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性需重新判斷。求所得冪級數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級數(shù)展開的必要步驟之一，千萬不要遺漏。4求冪級數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 若在冪級數(shù)的項(xiàng)中沒出現(xiàn)階乘記號，通常利用冪級數(shù)的運(yùn)算，將其化為等比級數(shù)，利用等比級數(shù)收斂性的結(jié)論求冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。若在冪級數(shù)的項(xiàng)中出現(xiàn)階乘記號，則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運(yùn)算，求其在收斂域上的和函數(shù)。求收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，可以利用級數(shù)斂散性的定義，即計(jì)算。也可構(gòu)造冪級數(shù)，使收斂的數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)某點(diǎn)處的值，通過計(jì)算冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)達(dá)到目的。9 / 9文檔可自由編輯打印