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華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列及無窮級數(shù)

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華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列及無窮級數(shù)

第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)(一) 數(shù)列1 數(shù)列極限的定義若>0,正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)成立<,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限,或稱數(shù)列收斂于,記為。否則稱數(shù)列發(fā)散。2 數(shù)列極限的運(yùn)算法則若,c是常數(shù),則; ; ; 。3 數(shù)列極限的性質(zhì)(1)若>0則,當(dāng)時(shí)成立>0;,則。(2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。4數(shù)列極限的存在性準(zhǔn)則(1) 夾逼準(zhǔn)則(夾逼定理): (2)單調(diào)有界準(zhǔn)則(數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理): 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。5 數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系對于數(shù)列,若存在定義域包含的函數(shù),使,且,且。6 數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系(1)若,是的一個(gè)子數(shù)列,則。(2)若,則。(二)無窮級數(shù)的基本概念1級數(shù)斂散性的定義 稱為級數(shù)的前項(xiàng)部分和,而稱數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列。 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂,即,則稱級數(shù)收斂,稱s為該級數(shù)的和,記為,同時(shí)稱為級數(shù)的余和。 若級數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散,則稱級數(shù)發(fā)散。2級數(shù)的基本性質(zhì)()若,是常數(shù),則。(2)若=s,則。(3)若收斂,則也收斂,其中任一正整數(shù);反之亦成立。(4)收斂級數(shù)添加括弧后仍收斂于原來的和。(5)級數(shù)收斂的必要條件:若收斂,則。(三)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1正項(xiàng)級數(shù)(1)正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界。(2)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法及其極限形式 設(shè),()若收斂,則收斂;()若發(fā)散,則發(fā)散。 設(shè)與均是正項(xiàng)級數(shù),若,則與具有相同的斂散性。(3)正項(xiàng)級數(shù)的積分判別法 對于正項(xiàng)級數(shù),若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù),使得,則級數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。(4)正項(xiàng)級數(shù)比值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且, 則(a)<1時(shí),級數(shù)收斂; (b)當(dāng)>1(包含)時(shí),級數(shù)收斂; (c)當(dāng)時(shí),本判別法失效。(5)正項(xiàng)級數(shù)根值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且,則(a)當(dāng)<1時(shí),級數(shù)收斂; (b) 當(dāng)>1(包含)時(shí),級數(shù)發(fā)散; ( c) 當(dāng)時(shí),本判別法失效。2交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法 若正數(shù)列單調(diào)減少,且, 則交錯(cuò)級數(shù)(及)收斂,且余和。3.絕對收斂與條件收斂 若收斂,則稱絕對收斂; 若發(fā)散,而收斂,則稱條件收斂。 絕對收斂級數(shù)必收斂。 絕對收斂級數(shù)的任一更序級數(shù)仍絕對收斂于原級數(shù)的和。(四)冪級數(shù) 1冪級數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間和收斂域 (1)阿貝爾定理 若冪級數(shù)在某點(diǎn)(0)處收斂,則在區(qū)間()內(nèi)的任一點(diǎn)處均絕對收斂;若冪級數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散,則在滿足的任一點(diǎn)處均發(fā)散。 (2)收斂半徑的定義 若冪級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0處收斂,也不是在()內(nèi)的任一點(diǎn)處均收斂,則存在正數(shù)r,使當(dāng)時(shí),收斂;而當(dāng)時(shí),發(fā)散,稱此正數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。當(dāng)僅在點(diǎn)=0處收斂時(shí),定義收斂半徑=0; 當(dāng)在()上都收斂時(shí),定義收斂半徑=+。(3) 收斂半徑的計(jì)算設(shè)冪級數(shù)滿足,(這里的是某個(gè)正整數(shù)),且,則(a)當(dāng)L>0時(shí),=; (b) 當(dāng)L=0時(shí),= +; (c) 當(dāng)L= +時(shí),=0。 ()收斂區(qū)間與收斂域當(dāng)冪級數(shù)的收斂半徑r>0時(shí),稱()是它的收斂區(qū)間;當(dāng)判定在=處的斂散性后,可確定其收斂域。2冪級數(shù)的運(yùn)算(1)代數(shù)運(yùn)算設(shè),收斂域?yàn)?,收斂半?gt;,收斂域,收斂半徑>,則a) ,收斂域?yàn)?;b) ,收斂半徑 (這里兩個(gè)冪級數(shù)的乘積是柯西乘積)。(2)、分析運(yùn)算設(shè),收斂域,收斂半徑,則a) 和函數(shù)在上連續(xù);b) 和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且可逐項(xiàng)求導(dǎo): ;)和函數(shù)在內(nèi)可積,且可逐項(xiàng)積分:=,;3 冪級數(shù)的展開 (1)函數(shù)的泰勒級數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),則稱冪級數(shù)=+為f(x)在點(diǎn)x的泰勒級數(shù)。而稱=+為f(x)的麥克勞林級數(shù)(=0時(shí)的泰勒級數(shù))。(2)函數(shù)的冪級數(shù)展開(間接展開法)利用五個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式,通過冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,分析運(yùn)算, 變量代換等手段,求給定函數(shù)的冪級數(shù)展開式。復(fù)習(xí)指導(dǎo):第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)(一)、數(shù)列計(jì)算數(shù)列的極限,通??衫么鷶?shù)恒等變形、數(shù)列極限的運(yùn)算法則和利用函數(shù)極限的方法。這里必須注意的是:由于數(shù)列是定義域?yàn)殡x散點(diǎn)集的函數(shù),故不能直接使用洛必達(dá)法則,如需使用此法則,必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù),再利用函數(shù)極限計(jì)算數(shù)列極限。假定數(shù)列由遞推公式定義,則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。如果數(shù)列的通項(xiàng)是由n個(gè)項(xiàng)的和構(gòu)成,通??煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義,也可以考慮先將和求出來,再求極限。(二)、無窮級數(shù)的基本概念1、級數(shù)斂散性的定義每個(gè)級數(shù)涉及到兩個(gè)數(shù)列:一是由其項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列u,二是由其部分和構(gòu)成的數(shù)列s。級數(shù)的斂散性是用s的斂散性定義的。一般,即使級數(shù)收斂,要求其和也是很困難的。但只要級數(shù)收斂,我們就可以用部分和近似表示它的和,其誤差為。故我們首先關(guān)心的是判斷級數(shù)的斂散性。、級數(shù)的基本性質(zhì)()、在級數(shù)的每一項(xiàng)上同乘以一不為零的常數(shù),級數(shù)的斂散性不變。()、收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加。而且,若收斂,發(fā)散,則必有發(fā)散。()、在級數(shù)的前面添上或去掉有限項(xiàng),不影響級數(shù)的斂散性。()、收斂級數(shù)可以加括弧,即滿足加法的結(jié)合律。若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散。()、是級數(shù)收斂的必要條件,但不是充分條件。因此由可推得級數(shù)發(fā)散。若需證明數(shù)列 收斂于零,也可考慮以下方法:證明級數(shù)收斂,再利用級數(shù)收斂的必要條件得 收斂于零。(三)、數(shù)項(xiàng)級數(shù)、正項(xiàng)級數(shù)()、首先得注意多種正項(xiàng)級數(shù)判斂法使用的前提,就是必須是正項(xiàng)級數(shù)。()、一般,對于通項(xiàng)含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式的正項(xiàng)級數(shù),可優(yōu)先考慮利用比值判別法;對于通項(xiàng)含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式,但不含階乘因式的正項(xiàng)級數(shù),可考慮利用根值判別法;以n的冪(整數(shù)冪或分?jǐn)?shù)冪)有理式為通項(xiàng)的正項(xiàng)級數(shù),因?yàn)閚時(shí),通項(xiàng)關(guān)于無窮小的階數(shù)易觀察而得,應(yīng)優(yōu)先考慮與p級數(shù)比較,(利用比較判別法或其極限形式)。()、比較判別法的比較對象,一般可取等比級數(shù)和p級數(shù),故下列結(jié)論應(yīng)牢記。等比級數(shù)當(dāng)<1時(shí),收斂于,當(dāng) 1時(shí)發(fā)散。 P級數(shù),當(dāng)p>時(shí)收斂,當(dāng)p時(shí)發(fā)散。、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法這里需指出,與其他的判別法一樣,萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。對于萊布尼茲型級數(shù),其“截?cái)嗾`差”有估計(jì)式、絕對收斂與條件收斂()、判斷變號級數(shù)的斂散性,是指判斷其絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。()、若發(fā)散,且此結(jié)論是由正項(xiàng)級數(shù)的比值或根值判別法而得,則必有,因而立即可得 發(fā)散。(四)、冪級數(shù)1、冪級數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間和收斂域(1)、冪級數(shù)的條件收斂點(diǎn)必是其收斂域的端點(diǎn)。(2)、對于“缺項(xiàng)”的冪級數(shù),不能直接利用公式求收斂半徑,我們可以將任意取定為一常數(shù),再利用正項(xiàng)級數(shù)的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。2、冪級數(shù)的運(yùn)算利用冪級數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的運(yùn)算,可能會(huì)改變其收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性。3冪級數(shù)的展開通常利用間接法展開。這里首先需要注意的是基點(diǎn),如果是將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù),是指將表達(dá)成 的形式。一般,對數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級數(shù),指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級數(shù)等等,又,反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常先求導(dǎo)再展開。若在展開過程中,利用了冪級數(shù)的乘法,逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算,則收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性需重新判斷。求所得冪級數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級數(shù)展開的必要步驟之一,千萬不要遺漏。4求冪級數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 若在冪級數(shù)的項(xiàng)中沒出現(xiàn)階乘記號,通常利用冪級數(shù)的運(yùn)算,將其化為等比級數(shù),利用等比級數(shù)收斂性的結(jié)論求冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。若在冪級數(shù)的項(xiàng)中出現(xiàn)階乘記號,則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級數(shù)展開式,通過冪級數(shù)的運(yùn)算,求其在收斂域上的和函數(shù)。求收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和,可以利用級數(shù)斂散性的定義,即計(jì)算。也可構(gòu)造冪級數(shù),使收斂的數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)某點(diǎn)處的值,通過計(jì)算冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)達(dá)到目的。9 / 9文檔可自由編輯打印

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