江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線學(xué)案.doc

第2講圓錐曲線考情考向分析圓錐曲線中的基本問題一般以定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等作為考查的重點(diǎn)，多為填空題橢圓的有關(guān)知識(shí)為B級(jí)要求，雙曲線、拋物線的有關(guān)知識(shí)為A級(jí)要求熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是y2x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y220x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程是_答案1解析由題意得2，c5，再由c2a2b2得a25，b220，故雙曲線的方程是1.(2)(2018南通等六市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C與雙曲線x21有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)P，則雙曲線C的焦距為_答案4解析雙曲線C 與雙曲線x21有公共的漸近線，設(shè)雙曲線C的方程為x2(0)，雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P，413，雙曲線C的方程為1.雙曲線C的焦距為24.思維升華(1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義要求PF1PF2F1F2，雙曲線的定義中要求|PF1PF2|F1F2.(2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖跟蹤演練1(1)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是_答案(1,3)解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1<n<3.(2)如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若BC2BF，且AF3，則此拋物線方程為_答案y23x解析如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G，設(shè)BFa，則由已知得BC2a，由拋物線定義，得BDa，故BCD30，在RtACE中，AEAF3，AC33a，由2AEAC，得33a6，從而得a1，F(xiàn)C3a3.pFGFC，因此拋物線方程為y23x.熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為_答案解析設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，a3c，e(2)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a_.答案2解析設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示四邊形OABC為正方形且邊長(zhǎng)為2，cOB2.又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.思維升華解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、圖形的結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等跟蹤演練2(1)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB3BC，則E的離心率是_答案2解析由已知得AB，BC2c，232c，又b2c2a2，整理得2c23ac2a20，兩邊同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e(舍去)(2)(2018江蘇省鹽城中學(xué)模擬)已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_.答案解析設(shè)P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，(*)將y2b2x2代入(*)式，解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線例3已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若AFBF4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是_答案解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形AFBF4，AFAF04，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e.思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求等求解，解題中要注意使用條件0.涉及中點(diǎn)問題也可以用點(diǎn)差法跟蹤演練3(1)過雙曲線1上任意一點(diǎn)P，引與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于R，Q兩點(diǎn)，則的值為_答案a2解析設(shè)P，則R，Q，于是 x2y2a2.(2)已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b_.答案解析由雙曲線x21知漸近線方程為y2x，又橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，橢圓方程可化為b2x2(b25)y2(b25)b2，聯(lián)立漸近線與橢圓方程消去y，得x2，又C1將線段AB三等分，2，解得b2.b.1(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為_答案2解析雙曲線的漸近線方程為bxay0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離db.bc，ac，e2.2(2017江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y21的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_答案2解析漸近線方程為yx，右準(zhǔn)線方程為x，得P，Q坐標(biāo)分別為.PQ，F(xiàn)1F22c4，所以四邊形F1PF2Q的面積等于42.3已知雙曲線C：1(a>0，b>0)，過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作C的漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)FM與y軸交于點(diǎn)P，且FM4PM，則雙曲線C的離心率為_答案解析雙曲線C：1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，右焦點(diǎn)F，過F與漸近線垂直的直線為y，由可解得xM，yM，在y中，令x0，可得yP，F(xiàn)M4PM，4，c4，整理得5a2c2，則e25，e，即雙曲線C的離心率為.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90，則該橢圓的離心率是_答案解析聯(lián)立方程組解得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B，C，又F(c,0)，則，又由BFC90，可得0，代入坐標(biāo)可得c2a20，(*)又因?yàn)閎2a2c2.代入(*)式可化簡(jiǎn)為，則橢圓離心率為e.5(2018無錫期末)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)與橢圓1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則的最小值為_答案8解析由已知c2，F(xiàn)1，F(xiàn)2，e .又雙曲線C與橢圓焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，a2b2c24，ec2，a21，b23 ，則雙曲線C: 1.P 在右支上，PF1>PF2，根據(jù)雙曲線的定義有PF1PF22a2，PF12PF2 ，PF2PF4PF24， PF24248，當(dāng)且僅當(dāng)PF22時(shí)等號(hào)成立故的最小值為8.A組專題通關(guān)1若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a1，b2m，c，故雙曲線的離心率e，1m3，解得m2.2(2018淮安等四市模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率為_答案解析yxx，所以，得離心率e.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：1(a0)的一條漸近線與直線y2x1平行，則實(shí)數(shù)a的值是_答案1解析由雙曲線的方程可知其漸近線方程為yx.因?yàn)橐粭l漸近線與直線y2x1平行，所以2，解得a1.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_答案解析由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，又因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,3)，則p.即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為_答案4解析設(shè)右焦點(diǎn)為F(4,0)把x3代入雙曲線方程得y，即M(3，)由兩點(diǎn)間距離公式得MF4.6已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為_答案1解析雙曲線1的漸近線方程為yx，又漸近線過點(diǎn)(2，)，所以，即2ba，拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x，由已知，得，即a2b27，聯(lián)立，解得a24，b23，所以雙曲線的方程為1.7直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為_答案解析如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtFOB中，OFOBBFOD，即cbab，解得a2c，故橢圓離心率e.8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為_答案解析設(shè)直線l的方程為 yk，即ykx，與橢圓方程聯(lián)立可得 x24kx20，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則28>0，解得k的取值范圍為.9(2018揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2y26y50沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_答案解析圓的方程可化為x224，雙曲線的漸近線方程為bxay0，依題意有 >2，整理得3a2c，e<，又e>1，雙曲線離心率的取值范圍是.10已知橢圓方程為1，若點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P，則的取值范圍是_答案解析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，則1，4x04，1，的取值范圍是.B組能力提高11已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線與直線3xy30垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓(xc)2y22與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為_答案2解析由已知，得1，所以.由點(diǎn)F(c,0)到漸近線yx的距離d，可得c，則2c2.12已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_答案1解析由圓C：x2y26x50，得(x3)2y24，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心(3,0)，所以c3，又雙曲線的兩條漸近線bxay0均和圓C相切，所以2，即2，又因?yàn)閏3，所以b2，即a25，所以該雙曲線的方程為1.13已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3，則滿足條件的點(diǎn)M有_個(gè)答案2解析由橢圓方程1可得a225，b216，a5，b4，c3.由橢圓的定義可得MF1MF22a10，且F1F22c6，MF1F2的周長(zhǎng)為MF1MF2F1F210616.設(shè)MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，由題意可得2r3，解得r.設(shè)M(x0，y0)，則(MF1MF2F1F2)rF1F2|y0|，即166|y0|，解得|y0|4.y04，M(0,4)或M(0，4)即滿足條件的點(diǎn)M有2個(gè)14(2018江蘇省鹽城中學(xué)期末)已知橢圓C1：1與圓C2：x2y2b2，若橢圓C1上存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓C2所作的兩條切線為PA, PB且APB60，則橢圓C1的離心率的取值范圍是_答案解析因?yàn)锳PB60，所以POB60，在Rt POB中，由OBb，得PO2b，由點(diǎn)P在橢圓上知， b<PO2ba，所以4b24a2，解得e，又知0<e<1，故橢圓C1的離心率的取值范圍是.15(2018全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)已知M，N是離心率為2的雙曲線1(a>0，b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k20，則|k1|4|k2|的最小值為_答案4解析設(shè)M(p，q)，N(p，q)，P(s，t)，則1, 1，兩式相減整理得，又雙曲線1的離心率為2，2，4，3，由斜率公式可得k1k23，k1與k2同號(hào)，|k1|4|k2|244，當(dāng)且僅當(dāng)|k1|4|k2|，即k14k2時(shí)等號(hào)成立，|k1|4|k2|的最小值為4.16.如圖，已知橢圓C1：1(ab0)和圓C2：x2y2r2都過點(diǎn)P(1,0)，且橢圓C1的離心率為，過點(diǎn)P作斜率為k1，k2的直線分別交橢圓C1，圓C2于點(diǎn)A，B，C，D，且k1k2，若直線BC恒過定點(diǎn)Q(1,0)，則_.答案2解析因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(1,0)，所以a1，又橢圓的離心率為，所以c，則b21，故C1：x22y21，又由題意得圓C2：x2y21.由x2y21與yk1(x1)聯(lián)立，消去y得(k1)x22kxk10，解得x1或x，故B，同理可得C.因?yàn)锽，C，Q三點(diǎn)共線，所以，解得k12k2，故2.