2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則的推導(dǎo)過程.2.會運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則兩個函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)特別提醒：(1)兩個導(dǎo)數(shù)的和差運(yùn)算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算(2)對于較復(fù)雜的函數(shù)式，應(yīng)先進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃危癁檩^簡單的函數(shù)式后再求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)過程知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則1若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f(x)和g(x)，則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(2).2kf(x)kf(x)1若f(x)a22axx2，則f(a)2a2x.()2運(yùn)用法則求導(dǎo)時，不用考慮f(x)，g(x)是否存在()3f(x)g(x)f(x)g(x)()題型一利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y；(3)y(x1)(x3)(x5)；(4)yxsinx.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)乘除法則的混合運(yùn)用解(1)yx1，yx2.(2)方法一y.方法二y1，y.(3)方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.(4)y(xsinx)xsinxx(sinx)sinxxcosx.反思感悟1.解答利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo)問題時常因?qū)?shù)的四則運(yùn)算法則不熟而失分2對一個函數(shù)求導(dǎo)時，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時，應(yīng)先對函數(shù)進(jìn)行化簡(恒等變換)，然后求導(dǎo)這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程3利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)xlnx；(2)y；(3)y2x3log3x；(4)yxsincos.解(1)f(x)(xlnx)lnxxlnx1.(2)方法一y.方法二y1，y.(3)y(2x3log3x)(2x3)(log3x)6x2.(4)yxsincosxsinx，y1cosx.題型二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用命題角度1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式例2(1)已知函數(shù)f(x)2xf(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關(guān)系；(2)設(shè)f(x)(axb)sinx(cxd)cosx，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f(x)xcosx.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)由題意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.所以f(x)2x，得f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e2<0，得f(e)<f(1)(2)由已知f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sinx(axb)(sinx)(cxd)cosx(cxd)(cosx)asinx(axb)cosxccosx(cxd)sinx(acxd)sinx(axbc)cosx.又f(x)xcosx，即解得ad1，bc0.反思感悟解決利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式的題目的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2exf(1)3lnx，則f(1)等于()A3B2eC.D.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案D解析f(x)2exf(1)，令x1，得f(1)2ef(1)3，f(1).命題角度2與切線有關(guān)的問題例3(1)設(shè)曲線y在點(diǎn)處的切線與直線xay10垂直，則a_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)若曲線yxlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案(1)1(2)(e，e)解析(1)y，當(dāng)x時，y1，直線xay10的斜率是(a0)，由題意1，所以a1.(2)設(shè)P(x0，y0)，則yxlnx在xx0處的導(dǎo)數(shù)為lnx012，x0e，則y0e，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(e，e)反思感悟1.與切線有關(guān)的問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個主要元素其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系2準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確3分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時的易錯點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線的斜率為_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案4解析因為曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y2x1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知g(1)2，又因為f(x)g(x)x2，所以f(x)g(x)2xf(1)g(1)24，所以yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線的斜率為4.求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的技巧典例有下列命題：若函數(shù)h(x)cos4sin4，則h；若函數(shù)g(x)(x1)(x2)(x6)，則g(6)120；函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)P(4，y0)處的切線方程是y2x6，則f(4)f(4)1.其中真命題的序號是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析中h(x)cos4sin4cosx，h(x)(cosx)sinx.hsin，不正確中g(shù)(x)(x2)(x3)(x6)(x1)(x3)(x6)(x1)(x2)(x4)(x5)(x6)(x1)(x2)(x3)(x5)(x6)(x1)(x2)(x3)(x4)(x6)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，g(6)54321120，故正確中f(4)2，f(4)2，f(4)f(4)4，故不正確素養(yǎng)評析導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，許多同學(xué)雖然導(dǎo)數(shù)公式、運(yùn)算法則記得比較熟悉，但遇到復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，就容易出現(xiàn)錯誤，因此，需要把數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用結(jié)合起來，同時還要掌握必要的運(yùn)算技巧，有助于學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.1下列運(yùn)算中正確的是()A(lnx3sinx)(lnx)3(sinx)B(ax2bxc)a(x2)bxC.D(cosxsinx)(sinx)cosx(cosx)cosx考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案B2對于函數(shù)f(x)lnx，若f(1)1，則k等于()A.B.CD考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案A解析f(x)，f(1)e12k1，解得k，故選A.3設(shè)曲線y在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a等于()A2B.CD2考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案D解析y，在x3處，函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為，曲線y在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為，由題意得(a)1，a2.4已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(0)的值為_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案3解析由題意得f(x)(2x3)ex，得f(0)3.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案3解析yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時速度等問題.一、選擇題1下列結(jié)論不正確的是( )A若y3，則y0B若f(x)3x1，則f(1)3C若yx，則y1D若ysinxcosx，則ycosxsinx答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解D項，ysinxcosx，y(sinx)(cosx)cosxsinx.2函數(shù)y(a>0)在xx0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0等于()AaBaCaDa2考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)除法法則及運(yùn)算答案B解析y1，在xx0處，函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)是10，x0a.3已知物體的運(yùn)動方程為st2(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t2時的速度為()A.B.C.D.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案D解析s2t，在t2處，函數(shù)st2的導(dǎo)數(shù)是4.即物體在時刻t2時的速度為.4若曲線f(x)xsinx1在x處的切線與直線ax2y10互相垂直，則實數(shù)a等于()A2B1C1D2考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案D解析f(x)sinxxcosx，由題意知f1，a2.5若函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值等于()A0B1C.D不存在考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案C解析f(x)，由題意知f(x0)f(x0)0，即0，解得x0.6函數(shù)yf(x)sinxex的圖像上一點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為()A1B2C3D0答案B解析因為函數(shù)yf(x)sinxex的導(dǎo)數(shù)為ycosxex，所以f(0)cos0e02.所以函數(shù)ysinxex的圖像上一點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2.7函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線有( )A1條B2條C3條D不確定答案B解析f(x)3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3x1，得x0，即在點(diǎn)和點(diǎn)處有斜率為1的切線8在下面的四個圖像中，其中一個圖像是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(a0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像，則f(1)等于()A.BC.D或考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案B解析f(x)x22ax(a21)，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像開口向上又a0，f(x)不是偶函數(shù)，其圖像不關(guān)于y軸對稱，故其圖像必為.由圖像特征知f(0)0，且對稱軸a>0，a1，則f(1)11，故選B.二、填空題9已知函數(shù)f(x)fcosxsinx，則f的值為_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案1解析f(x)fsinxcosx，ff，得f1.f(x)(1)cosxsinx，f1.10曲線yf(x)xex2x1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案3xy10解析f(x)exxex2，kf(0)e0023，所以切線方程為y13(x0)，即3xy10.11已知f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，則f(0)_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)乘法法則及運(yùn)算答案120解析因為f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，所以f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，所以f(0)12345120.三、解答題12若曲線yx2axlnx存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解yx2axlnx，y2xa，由題意可知存在實數(shù)x>0使得2xa0，即a2x成立，a2x2.實數(shù)a的取值范圍是2，)13已知函數(shù)f(x)ax2bx3(a0)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)exsinxf(x)，求曲線g(x)在x0處的切線方程考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)因為f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsinxx28x3，所以g(x)exsinxexcosx2x8，所以g(0)e0sin0e0cos02087，又g(0)3，所以曲線g(x)在x0處的切線方程為y37(x0)，即7xy30.14已知點(diǎn)P在曲線y上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案解析y，設(shè)tex(0，)，則y，t2(當(dāng)且僅當(dāng)t1時，等號成立)，y1,0)，.15設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)由7x4y120，得yx3.當(dāng)x2時，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由得解得故f(x)x.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y1知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，從而得切線與直線x0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形面積為|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.