2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

一比較法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解比較法證明不等式的理論依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟.3.體會(huì)比較法所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)點(diǎn)一作差比較法思考比差法的理論依據(jù)是什么？答案abab0；abab0；abab0.梳理作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù)：ab0ab；ab0ab；ab0ab.(2)作差比較法解題的一般步驟：作差；變形整理；判定符號(hào)；得出結(jié)論其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定與0的大小關(guān)系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等知識(shí)點(diǎn)二作商比較法思考1對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a，b，若1，能夠判斷a，b的大小嗎？答案能，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，對(duì)于正數(shù)a，b，1ab.思考2類比作差比較法，請(qǐng)談?wù)勛魃瘫容^法答案對(duì)于正數(shù)a，b，1ab；1ab；1ab.梳理(1)作商比較法：若a0，b0，要證明ab，只要證明1；要證明ba，只要證明1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法(2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：b0，若1，則ab；若1，則ab；b0，若1，則ab；若1，則ab.(3)作商比較法解題的一般步驟：判定a，b符號(hào)；作商；變形整理；判定與1的大小關(guān)系；得出結(jié)論.類型一作差比較法證明不等式例1已知正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2b2c2(abc)2.證明因?yàn)檎龜?shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，b，又(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20，所以a2b2c2(abc)2.反思與感悟作差比較法的關(guān)鍵是作差后的變形，一般通過分解因式或?qū)⒉钍睫D(zhuǎn)化為積商式，以便與0比較大小跟蹤訓(xùn)練1已知a1，求證：.證明()()0，.類型二作商比較法證明不等式例2已知a0，b0，求證：aabb.證明因?yàn)閍abb0，0，所以.當(dāng)ab時(shí)，顯然有1；當(dāng)ab0時(shí)，1，0，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，1；當(dāng)ba0時(shí)，01，0，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，1.綜上可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有aabb.引申探究1若a0，b0，求證：abba.證明因?yàn)閍bba0，0，所以所以當(dāng)ab時(shí)，顯然有當(dāng)ab0時(shí)，1，0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得01；當(dāng)ba0時(shí)，01，0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得01，綜上可知，對(duì)任意a0，b0，都有abba.2當(dāng)a0，b0時(shí)，比較aabb與abba的大小解由例2和探究1知，aabbabba.反思與感悟作商比較法證明不等式的一般步驟(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商(2)變形：化簡商式到最簡形式(3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.(4)得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知a0，b0，求證：.證明.又a2b22ab，1，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取等號(hào)，.類型三比較法的應(yīng)用例3證明：若a，b，m都是正數(shù)，并且ab，則(糖水不等式)證明.a，b，m都是正數(shù)，且ab，ba0，b(bm)0，0，即0，.反思與感悟比較法理論上便于理解，實(shí)用時(shí)便于操作，故應(yīng)用比較廣泛跟蹤訓(xùn)練3甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？解設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1，t2，依題意有mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20，即t1t2.從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)1已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab1)其中正確的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析x232x(x1)220，故正確；取ab1，則a5b52，a3b2a2b32，故不正確；a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正確2.1成立的充要條件是()Aa1Ba0Ca0Da1或a0答案D解析1100a0或a1.3若x，yR，記wx23xy，u4xyy2，則()AwuBwuCwuD無法確定答案C解析wux2xyy220，wu.4a，b都是正數(shù)，P，Q，則P，Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案D解析a，b都是正數(shù)，P0，Q0，P2Q22()20.(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))P2Q20，PQ.5設(shè)ab0，求證：.證明方法一0(ab0)，原不等式成立方法二ab0，a2b20.左邊0，右邊0.11.原不等式成立1作差比較法證明不等式的技巧(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡或值是多少(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào)2適用作商比較法證明的不等式的特點(diǎn)適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等式或某些不同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較一、選擇題1設(shè)a，bR，且ab，若P，Qab，則()APQBPQCPQDPQ答案B解析PQab.因?yàn)閍，bR，且ab，所以PQ0.2已知ab1，則與的大小關(guān)系為()A.B.C.D.答案B解析0，.3已知ab0，cd0，m，n，則m與n的大小關(guān)系是()AmnBmnCmnDmn答案C解析m2n2(ac2bd)(acbdadbc)ad2bc()20，m2n2.又m0，n0，mn.4當(dāng)ab0時(shí)，下列關(guān)系式中成立的是()A.Blgb2lga2C.1D.答案B解析方法一取特殊值a4，b1，則選項(xiàng)A，C，D不正確，選項(xiàng)B正確，故選B.方法二ab0，a2b2.而函數(shù)ylgx(x0)為增函數(shù)，lgb2lga2，B項(xiàng)正確5已知a0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，則P，Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQD大小不確定答案A解析PQloga(a31)loga(a21)loga.當(dāng)0a1時(shí)，0a31a21，則01，loga0，即PQ0.PQ.當(dāng)a1時(shí)，a31a210，1，loga0，即PQ0.PQ.綜上可知，PQ.6已知ab0且ab1，設(shè)c，Plogca，Nlogcb，Mlogc(ab)，則()APMNBMPNCNPMDPNM答案A解析令a2，b，則c，則Mlogc(ab)0，Plog20，Nlog0，PMN.二、填空題7設(shè)abc0，x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系為_答案xyz解析abc0，x0，y0，z0.而x2y2a2b22bcc2(b2c22aca2)2bc2ac2c(ba)0，x2y2，即xy；又y2z2b2(ca)2c2(ab)22ac2ab2a(cb)0，yz.xyz.8已知a0,0b1，abab，則與的大小關(guān)系是_答案解析a0,0b1，abab，(1a)(1b)1abab1.從而1，.9某家電廠家為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其生產(chǎn)的某種型號(hào)的彩電進(jìn)行降價(jià)銷售，現(xiàn)有四種降價(jià)方案：(1)先降價(jià)a%，再降價(jià)b%；(2)先降價(jià)b%，再降價(jià)a%；(3)先降價(jià)%，再降價(jià)%；(4)一次性降價(jià)(ab)%.其中a0，b0，且ab，則上述四種方案中，降價(jià)幅度最小的是_答案方案(3)解析設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1，按四種方案降價(jià)后彩電的價(jià)格依次為x1，x2，x3，x4，則x1(1a%)(1b%)1(ab)%a%b%；x2(1b%)(1a%)x1；x31(ab)%2；x41(ab)%1(ab)%a%b%x1x2.又x3x12a%b%0，x3x1x2x4.故降價(jià)幅度最小的是方案(3)三、解答題10設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3b3(a2b2)證明由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5當(dāng)ab時(shí)，從而()5()5，則()()5()50；當(dāng)ab時(shí)，從而()5()5，則()()5()50，所以a3b3(a2b2)11已知b，m1，m2都是正數(shù)，ab，m1m2，求證：.證明.因?yàn)閎0，m10，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，m1m2，所以ab0，m2m10，從而(ab)(m2m1)0.于是0，所以.12已知函數(shù)f(x)|x1|x1|，P為不等式f(x)4的解集(1)求P；(2)證明：當(dāng)m，nP時(shí)，|mn4|2|mn|.(1)解f(x)|x1|x1|由f(x)4，得x2或x2.所以不等式f(x)4的解集Px|x2或x2(2)證明由(1)可知|m|2，|n|2，所以m24，n24，(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0，所以(mn4)24(mn)2，所以|mn4|2|mn|.13若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|xm|ym|，則稱x比y接近m.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：a2bab2比a3b3接近2ab.證明因?yàn)閍0，b0，且ab，所以a2bab22ab，a3b32ab.所以a2bab22ab0，a3b32ab0.所以|a2bab22ab|a3b32ab|a2bab22aba3b32aba2bab2a3b3a2(ba)b2(ab)(ab)(b2a2)(ab)2(ab)0，所以|a2bab22ab|a3b32ab|，所以a2bab2比a3b3接近2ab.四、探究與拓展14已知a2，求證：loga(a1)log(a1)a.證明a2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)22.a2，0loga(a21)logaa22.221.即1.log(a1)a0，loga(a1)log(a1)a.