三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第九章 第三節(jié) 橢圓及其性質(zhì) 理全國通用

第三節(jié)第三節(jié) 橢圓及其性質(zhì)橢圓及其性質(zhì) A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx武漢模擬)已知橢圓的長軸長是 8，離心率是34，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) A.x216y271 B.x216y271 或x27y2161 C.x216y2251 D.x216y2251 或x225y2161 解析 a4，e34，c3. b2a2c21697. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216y271 或x27y2161. 答案 B 2(20 xx青島模擬)已知以F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x 3y40 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為( ) A3 2 B2 6 C2 7 D. 7 解析 根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為x2b24y2b21(b0)， 則將x 3y4 代入橢圓方程， 得 4(b21)y28 3b2yb412b20， 橢圓與直線x 3y40 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， (8 3b2)244(b21)(b412b2)0， 即(b24)(b23)0，b23.長軸長為 2b242 7. 答案 C 3(20 xx嘉興二模)已知橢圓x2my21 的離心率e12，1 ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.0，34 B.43， C.0，3443， D.34，1 1，43 解析 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21m1， 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得m43； 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得 0m0，n0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為12，則此橢圓的方程為_ 解析 拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2，0)，m2n24，e122m，m4，代入得，n212，橢圓方程為x216y2121. 答案 x216y2121 一年創(chuàng)新演練 6已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為x24ay2a211，隨著a的增大該橢圓的形狀( ) A越接近于圓 B越扁 C先接近于圓后越扁 D先越扁后接近于圓 解析 由題意得到a1，所以橢圓的離心率e24aa214a1141aa(a1)遞減，則隨著a的增大，離心率e越小，所以橢圓越接近于圓，故選 A. 答案 A B 組 專項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 7(20 xx黃岡質(zhì)檢)F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2y2b21(ab0)的焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)P，且PF1F230，則橢圓的離心率為( ) A.33 B.22 C.12 D.32 解析 不妨設(shè)|PF2|1，則|PF1|2，|F1F2|2c 3， 由橢圓的定義得 2a3，因此eca2c2a33. 答案 A 二、填空題 8(20 xx棗莊模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2y2b21(0bb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且 2F1F2F2Q0. (1)求橢圓C的離心率； (2)若過A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線x 3y30 相切，求橢圓C的方程； (3)在(2)的條件下，過右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(4，0)，求PMN面積的最大值 解 (1)設(shè)Q(x0，0)F2(c，0)，A(0，b)， 則F2A(c，b)，AQ(x0，b)， 又F2AAQ，cx0b20， 故x0b2c，又 2F1F2F2Q0， F1為F2Q的中點(diǎn)，故2cb2cc， 即b23c2a2c2，eca12. (2)eca12，a2c，b 3c， 則F2(c，0)，Q(3c，0)，A(0， 3c) AQF2的外接圓圓心為(c，0)，半徑 r12|F2Q|2ca.|c3|22c，解得c1， a2，b 3， 橢圓方程為x24y231. (3)設(shè)直線MN的方程為： xmy1，代入x24y231 得 (3m24)y26my90. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， y1y26m3m24，y1y293m24， |y1y2| （y1y2）24y1y2 4 3 3m233m24. SPMN12|PF2|y2y1|6 3 3m233m24， 令 3m23 3， SPMN6 3216 316 331392， PMN面積的最大值為92，此時(shí)m0. 11(20 xx惠州調(diào)研)已知橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為63，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為5 23. (1)求橢圓C的方程； (2)已知?jiǎng)又本€yk(x1)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn) 若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12，求斜率k的值； 已知點(diǎn)M73，0 ，求證：MAMB為定值 解 (1)x2a2y2b21(ab0)滿足a2b2c2， 又ca63，12b2c5 23，解得a25，b253， 則橢圓方程為x253y251. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) 將yk(x1)代入x253y251， 得(13k2)x26k2x3k250， 48k2200，x1x26k23k21， AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12， 6k23k211，解得k33. 證明 由(1)知x1x26k23k21，x1x23k253k21， MAMBx173，y1x273，y2 x173x273y1y2 x173x273k2()x11）（x21 (1k2)x1x273k2(x1x2)499k2 (1k2)3k253k2173k26k23k21499k2 3k416k253k21499k249(定值) 一年創(chuàng)新演練 12.如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D. (1)設(shè)e12，求|BC|與|AD|的比值； (2)當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由 解 (1)因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) C1：x2a2y2b21，C2：b2y2a4x2a21，(ab0)， 設(shè)直線l：xt(|t|a)， 分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 At，aba2t2，Bt，baa2t2， 當(dāng)e12時(shí)，b32a，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標(biāo)， 可知|BC|AD|2|yB|2|yA|b2a234. (2)t0 時(shí)，l不符合題意，t0 時(shí)， BOAN，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即baa2t2taba2t2ta， 解得tab2a2b21e2e2a， 因?yàn)閨t|a，又 0e1， 所以1e2e21，解得22e1， 所以當(dāng) 0e22時(shí)，不存在直線l， 使得BOAN；當(dāng)22e1 時(shí)，存在直線l， 使得BOAN.