五年高考真題高考數(shù)學 復習 第四章 第二節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質 理全國通用

第二節(jié)第二節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質三角函數(shù)的圖象與性質 考點一 三角函數(shù)的圖象及其變換 1(20 xx山東，3)要得到函數(shù)ysin4x3的圖象，只需將函數(shù)ysin 4x的圖象( ) A向左平移12個單位 B向右平移12個單位 C向左平移3個單位 D向右平移3個單位 解析 ysin4x3sin4x12， 要得到y(tǒng)sin4x3的圖象，只需將函數(shù)ysin 4x的圖象向右平移12個單位 答案 B 2(20 xx湖南，9)將函數(shù)f(x)sin 2x的圖象向右平移02個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對滿足|f(x1)g(x2)|2 的x1，x2，有|x1x2|min3，則( ) A.512 B.3 C.4 D.6 解析 易知g(x)sin(2x2)，0，2， 由|f(x1)f(x2)|2 及正弦函數(shù)的有界性知， sin 2x11，sin（2x22）1或sin 2x11，sin（2x22）1， 由知x14k1，k24k2(k1，k2Z Z)， |x1x2|min2（k2k1）min3， 由0，2，223，6， 同理由得6.故選 D. 答案 D 3(20 xx浙江，4)為了得到函數(shù)ysin 3xcos 3x的圖象，可以將函數(shù)y 2cos 3x的圖象( ) A向右平移4個單位 B向左平移4個單位 C向右平移12個單位 D向左平移12個單位 解析 因為ysin 3xcos 3x 2cos3x4 2cos 3x12，所以將函數(shù)y 2cos 3x的圖象向右平移12個單位后，可得到y(tǒng) 2cos3x4的圖象，故選 C. 答案 C 4(20 xx遼寧，9)將函數(shù)y3sin2x3的圖象向右平移2個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)( ) A在區(qū)間12，712上單調遞減 B在區(qū)間12，712上單調遞增 C在區(qū)間6，3上單調遞減 D在區(qū)間6，3上單調遞增 解析 將y3sin2x3的圖象向右平移2個單位長度后得到y(tǒng)3sin2x23，即y3sin2x23的圖象，令22k2x2322k，kZ Z，化簡可得x12k，712k ，k Z Z ， 即 函 數(shù)y 3sin2x23的 單 調 遞 增 區(qū) 間 為12k，712k ，kZ Z，令k0，可得y3sin(2x23)在區(qū)間12，712上單調遞增，故選 B. 答案 B 5(20 xx四川，5)函數(shù)f(x)2sin(x)0，22的部分圖象如圖所示，則，的值分別是( ) A2，3 B2，6 C4，6 D4，3 解析 因為3T4512334，所以T.由此可得T2，解得2，由圖象知當x512時，25122k2(kZ Z)，即2k3(kZ Z)又因為22，所以3. 答案 A 6(20 xx浙江，4)把函數(shù)ycos 2x1 的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍(縱坐標不變)，然后向左平移 1 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度，得到的圖象是( ) 解析 ycos 2x1 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍得y1cos x1，再向左平移 1 個單位長度得y2cos(x1)1，再向下平移 1 個單位長度得y3cos(x1)，故相應的圖象為 A 項 答案 A 7 (20 xx 遼 寧 ， 16) 已 知 函 數(shù)f(x) Atan(x)0，|2，yf(x)的部分圖象如圖，則f24_ 解析 由題意，結合圖象知函數(shù)周期T38822，2. 由 238k(kZ Z)及|2，得4. f(x)Atan2x4.將點(0，1)代入上式，得 1Atan4，A1，即f(x)tan2x4. 故f24tan2424tan3 3. 答案 3 8(20 xx福建，19)已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)cos x的圖象經如下變換得到：先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，再將所得到的圖象向右平移2個單位長度 (1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程； (2)已知關于x的方程f(x)g(x)m在0，2)內有兩個不同的解，. 求實數(shù)m的取值范圍； 證明：cos()2m251. 解 法一 (1)將g(x)cos x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的 2 倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)2cos x的圖象，再將y2cos x的圖象向右平移2個單位長度后得到y(tǒng)2cosx2的圖象，故f(x)2sin x從而函數(shù)f(x)2sin x圖象的對稱軸方程為xk2(kZ Z) (2)f(x)g(x)2sin xcos x 525sin x15cos x 5sin(x)其中sin 15，cos 25. 依題意，sin(x)m5在0，2)內有兩個不同的解，當且僅當m51，故m的取值范圍是( 5， 5) 證明 因為，是方程 5sin(x)m在0，2)內的兩個不同的解 所以 sin()m5，sin()m5. 當 1m 5時，22， 即2()； 當 5m1 時，232， 即32() 所以 cos()cos 2()2sin2()1 2m5212m251. 法二 (1)解 同法一 (2)解 同法一 證明 因為，是方程 5sin(x)m在0，2)內的兩個不同的解， 所以 sin()m5，sin()m5. 當 1m 5時，22，即()； 當 5m1 時，232， 即3()； 所以 cos()cos() 于是 cos()cos()() cos()cos()sin()sin() cos2()sin()sin() 1m52m522m251. 考點二 三角函數(shù)的性質及其應用 1(20 xx四川，4)下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數(shù)是( ) Aycos2x2 Bysin2x2 Cysin 2xcos 2x Dysin xcos x 解析 A 選項：ycos2x2sin 2x，T，且關于原點對稱，故選 A. 答案 A 2(20 xx陜西，2)函數(shù)f(x)cos2x6的最小正周期是( ) A.2 B C2 D4 解析 T22，B 正確 答案 B 3(20 xx大綱全國，12)已知函數(shù)f(x)cos xsin 2x，下列結論中錯誤的是( ) Ayf(x)的圖象關于(，0)中心對稱 Byf(x)的圖象關于直線x2對稱 Cf(x)的最大值為32 Df(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù) 解析 對于 A 選項，因為f(2x)f(x)cos(2x)sin 2(2x)cos xsin 2xcos xsin 2xcos xsin 2x0，故yf(x)的圖象關于(，0)中心對稱，A 正確； 對于 B 選項，因為f(x)cos(x)sin 2(x)cos xsin 2xf(x)，故yf(x)的圖象關于x2對稱，故 B 正確； 對于 C 選項，f(x)cos xsin 2x2sin xcos2x2sin x(1sin2x)2sin x2sin3x，令tsin x1，1，則h(t)2t2t3，t1，1，則h(t)26t2，令h(t)0 解得33t33，故h(t)2t2t3，在33，33上遞增，在1，33與33，1 上遞減，又h(1)0，h334 39，故函數(shù)的最大值為4 39，故 C 錯誤； 對于 D 選項，因為f(x)f(x)cos xsin 2xcos xsin 2x0，故是奇函數(shù)，又f(x2)cos(2x)sin 2(2x)cos xsin 2x，故 2是函數(shù)的周期，所以函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，故 D 正確 綜上知，錯誤的結論只有 C，故選 C. 答案 C 4(20 xx湖南，6)函數(shù)f(x)sin xcosx6的值域為( ) A2，2 B 3， 3 C1，1 D.32，32 解析 f(x)sin xcosx6 sin x32cos x12sin x32sin x32cos x 332sin x12cos x 3sinx6 3， 3故選 B 項 答案 B 5(20 xx新課標全國，9)已知0，函數(shù)f(x)sinx4在2， 上單調遞減，則的取值范圍是( ) A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0，2 解析 由2x得，24x44， 又ysin 在2，32 上遞減， 所以242，432，解得1254，故選 A. 答案 A 6(20 xx新課標全國，11)設函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)0，|2的最小正周期為，且f(x)f(x)，則( ) Af(x)在0，2單調遞減 Bf(x)在4，34單調遞減 Cf(x)在0，2單調遞增 Df(x)在4，34單調遞增 解析 f(x)sin(x)cos(x) 2sinx4， 周期T2，2. 又f(x)f(x)，即f(x)為偶函數(shù)， 4k2，k4，kZ Z. 又|2，4， f(x) 2sin2x2 2cos 2x，易得f(x)在0，2上單調遞減，故選 A. 答案 A 7(20 xx浙江，11)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，單調遞減區(qū)間是_ 解析 38k，78k (kZ Z)f(x)1cos 2x212sin 2x122sin2x432，T22，由22k2x4322k，kZ Z，解得：38kx78k，kZ Z，單調遞減區(qū)間是38k，78k ，kZ Z. 答案 8(20 xx上海，1)函數(shù)y12cos2(2x)的最小正周期是_ 解析 y12cos2(2x)121cos 4x2cos 4x，則最小正周期為2. 答案 2 9(20 xx北京，15)已知函數(shù)f(x) 2sinx2cosx2 2sin2x2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間，0上的最小值 解 (1)因為f(x)22sin x22(1cos x) sinx422， 所以f(x)的最小正周期為 2. (2)因為x0，所以34x44. 當x42， 即x34時，f(x)取得最小值 所以f(x)在區(qū)間，0上的最小值為f34122. 10(20 xx重慶，18)已知函數(shù)f(x)sin2xsin x 3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在6，23上的單調性 解 (1)f(x)sin2xsin x 3cos2xcos xsin x32(1cos 2x) 12sin 2x32cos 2x32 sin2x332， 因此f(x)的最小正周期為，最大值為2 32. (2)當x6，23時，02x3，從而 當 02x32，即6x512時，f(x)單調遞增， 當22x3，即512x23時，f(x)單調遞減 綜上可知，f(x)在6，512上單調遞增；在512，23上單調遞減.