高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第6講 不等式的證明

精品資料第6講不等式的證明1求證：<2(nR*)證明 <，<1(1)()()1(1)2<2.2已知x22y23z2，求3x2yz的最小值解(x22y23z2)2(3x2yz)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y9z時(shí)，等號(hào)成立(3x2yz)212，即23x2yz2.當(dāng)x，y，z時(shí)，3x2yz2，最小值為2.3設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足a2ab1b23，求證：ab12.證明由a2ab1b23，得ab1(ab1)23，又正實(shí)數(shù)a、b滿足ab12，即ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”(ab1)23，ab12.4已知an(nN*)，求證：<an<.證明，>n，an>123n.<，an<(23n).綜上得：<an<.5已知x，y，z均為正數(shù)求證：.證明因?yàn)閤、y、z均為正數(shù)所以，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，以上三式等號(hào)都成立將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得.6已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且ab2.求證：(12a)(1b)9.證明法一因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，且ab2，所以2ab24.所以(12a)(1b)12ab2ab9.法二因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2.又ab2，所以(1)29.所以(12a)(1b)9.法三因?yàn)閍b2，所以(12a)(1b)(12a)52.因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a2 2.所以(12a)(1b)9.法四因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，所以(12a)(1b)(1aa)339.又ab2，所以(12a)(1b)9.7設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2y3z7，求x2y2z2的最小值證明由柯西不等式，得(x2y2z2)1222(3)2(x2y3z)2.x2y3z7，x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)，即x，y1，z時(shí)取等號(hào)x2y2z2的最小值為.8已知m、n是正數(shù)，證明：m2n2.證明m2n2，m、n均為正實(shí)數(shù)，0，m2n2.當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，等號(hào)成立9已知a、b、c滿足abc1，求證：(a2)(b2)(c2)27.證明(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立10已知x、y、z均為正數(shù)，求證： .證明由柯西不等式，得(121212)2.即 . .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立11已知a，b為實(shí)數(shù)，且a>0，b>0.(1)求證：9；(2)求(52a)24b2(ab)2的最小值(1)證明因?yàn)閍>0，b>0，所以ab33>0，同理可證：a23>0.由及不等式的性質(zhì)得339.(2)解(52a)24b2(ab)2121222(52a)12b1(ab)22.所以(52a)24b2(ab)2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即a，b.所以當(dāng)a，b時(shí)，(52a)24b2(ab)2取最小值.12已知a，b為正實(shí)數(shù)(1)求證：ab；(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y(0<x<1)的最小值(1)證明法一a>0，b>0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立法二(ab).又a>0，b>0，0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立ab.(2)解0<x<1，1x>0，由(1)的結(jié)論，函數(shù)y(1x)x1.當(dāng)且僅當(dāng)1xx，即x時(shí)等號(hào)成立函數(shù)y(0<x<1)的最小值為1.